Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
student_92 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46) Postovi: (B9)16
|
|
[Vrh] |
|
matkec Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 05. 2010. (16:21:29) Postovi: (8C)16
|
Postano: 19:14 pon, 20. 1. 2014 Naslov: |
|
|
Nemam pametniji način, ali svejedno imam dobre vijesti.
Naime, nešto što skraćuje posao je činjenica da su svojstveni potprostori različitih svojstvenih vrijednosti kod normalnih operatora međusobno okomiti.
Odnosno, kada tražiš ONB za normalni operator, da istina, trebaš naći 4 svojstvena vektora. No, ono što trebaš ortonormirati je samo vektore unutar istog sv. potrpostora odnosno vektore koji su svojstveni za istu vrijednost. Ostale vektore treba samo normirati.
Mislim da konkretno u 4. zadatku iz kolokvija 2012., mislim da je 0 dva puta sv. vrijednost, pa ćeš morati jednom lupiti gramšmita za vektore unutar tog potrostora. Druge dvije sv. vrijednosti su različite, pa ne moraš raditi ništa osim normirati.
Nemam pametniji način, ali svejedno imam dobre vijesti.
Naime, nešto što skraćuje posao je činjenica da su svojstveni potprostori različitih svojstvenih vrijednosti kod normalnih operatora međusobno okomiti.
Odnosno, kada tražiš ONB za normalni operator, da istina, trebaš naći 4 svojstvena vektora. No, ono što trebaš ortonormirati je samo vektore unutar istog sv. potrpostora odnosno vektore koji su svojstveni za istu vrijednost. Ostale vektore treba samo normirati.
Mislim da konkretno u 4. zadatku iz kolokvija 2012., mislim da je 0 dva puta sv. vrijednost, pa ćeš morati jednom lupiti gramšmita za vektore unutar tog potrostora. Druge dvije sv. vrijednosti su različite, pa ne moraš raditi ništa osim normirati.
|
|
[Vrh] |
|
student_92 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46) Postovi: (B9)16
|
|
[Vrh] |
|
RonnieColeman Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 04. 2006. (10:35:00) Postovi: (20B)16
Spol:
Lokacija: |R^3
|
Postano: 16:32 uto, 21. 1. 2014 Naslov: |
|
|
Imam dva pitanja, vezana uz zadatke gornjeg tipa, prvo mi je bitnije:
1. Kada na kraju postupka dobivanja ONB za normalni operator pišem matricu,
jeli svejedno kojim redoslijedom trpam svojstvene vrijednosti(naravno na dijagonali i iste svojstvene idu jedna do druge na dijagonali) u matricu dok god poredak tih vrijednosti u matrici(odozgo iz lijevog kuta po dijagonali) odgovara poretku vektora u bazi za cijeli prostor tj. ako u matricu operatora prvo smještam one vrijednosti koje su za svojstveni potprostor čiji su vektori prvo napisani u n-torci ortonormirane baze?
Konkretno za zad sa vježbi:
onb za prostor je (f1, f2, f3) gdje su f1 i f2 (ortonormirani)vektori baze za svojstveni potprostor svojstvene vrijednosti -1, a f3 je vektor baze za svojstveni potprostor sv.vrijed 8 pa matrica normalnog operatora na dijagonali ima vrijednosti -1 -1 8.
Pa ako sam onb za prostor napisao ovako (f3, f1, f2), dakle prvo vektor baze za svojstveni potprostor svojstvene vrijednosti 8, bili onda matrica na dijagonali imala vrijednosti 8 -1 -1
2. Jeli svejedno ako prvo ortonormiram svaku bazu za svojstveni potprostor zasebno, pa onda dobivene ortonormirane baze "spojim"(unija skupova) u bazu za cijeli prostor i ako prvo spojim sve vektore svih baza za svojstveni potprostor i onda ortonormiram tu bazu?
Evo neka moja riješenja za 4. zadatak sa pretprošlogodišnjeg:
L := lambda
karakteristični polinom: L^2 (L-i)(L+i)
dakle spektar {0, i, -i}
svojstveni potprostori
V(0)=[{(0,0,1,0), (1,-2,0,1)}]
V(i) = [{(-1,0,0,1)}]
V(-i) = [{(1,1,0,1)}]
Imam dva pitanja, vezana uz zadatke gornjeg tipa, prvo mi je bitnije:
1. Kada na kraju postupka dobivanja ONB za normalni operator pišem matricu,
jeli svejedno kojim redoslijedom trpam svojstvene vrijednosti(naravno na dijagonali i iste svojstvene idu jedna do druge na dijagonali) u matricu dok god poredak tih vrijednosti u matrici(odozgo iz lijevog kuta po dijagonali) odgovara poretku vektora u bazi za cijeli prostor tj. ako u matricu operatora prvo smještam one vrijednosti koje su za svojstveni potprostor čiji su vektori prvo napisani u n-torci ortonormirane baze?
Konkretno za zad sa vježbi:
onb za prostor je (f1, f2, f3) gdje su f1 i f2 (ortonormirani)vektori baze za svojstveni potprostor svojstvene vrijednosti -1, a f3 je vektor baze za svojstveni potprostor sv.vrijed 8 pa matrica normalnog operatora na dijagonali ima vrijednosti -1 -1 8.
Pa ako sam onb za prostor napisao ovako (f3, f1, f2), dakle prvo vektor baze za svojstveni potprostor svojstvene vrijednosti 8, bili onda matrica na dijagonali imala vrijednosti 8 -1 -1
2. Jeli svejedno ako prvo ortonormiram svaku bazu za svojstveni potprostor zasebno, pa onda dobivene ortonormirane baze "spojim"(unija skupova) u bazu za cijeli prostor i ako prvo spojim sve vektore svih baza za svojstveni potprostor i onda ortonormiram tu bazu?
Evo neka moja riješenja za 4. zadatak sa pretprošlogodišnjeg:
L := lambda
karakteristični polinom: L^2 (L-i)(L+i)
dakle spektar {0, i, -i}
svojstveni potprostori
V(0)=[{(0,0,1,0), (1,-2,0,1)}]
V(i) = [{(-1,0,0,1)}]
V(-i) = [{(1,1,0,1)}]
_________________ ...He never had looked less like captain of any-thing, even his own soul.
|
|
[Vrh] |
|
RonnieColeman Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 04. 2006. (10:35:00) Postovi: (20B)16
Spol:
Lokacija: |R^3
|
Postano: 19:37 sri, 22. 1. 2014 Naslov: |
|
|
4. zad u kontra grupi:
karakteristični polinom: L* (L-1)^2 * (L+1)
svojstveni potprostori:
V_0 = [{(0,0,1,0)}]
V_1 = [{(2,1,0,0),(-1,0,0,1)}]
V_-1 = [{1,-2,0,1}]
4. zad u kontra grupi:
karakteristični polinom: L* (L-1)^2 * (L+1)
svojstveni potprostori:
V_0 = [{(0,0,1,0)}]
V_1 = [{(2,1,0,0),(-1,0,0,1)}]
V_-1 = [{1,-2,0,1}]
_________________ ...He never had looked less like captain of any-thing, even his own soul.
|
|
[Vrh] |
|
RonnieColeman Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 04. 2006. (10:35:00) Postovi: (20B)16
Spol:
Lokacija: |R^3
|
|
[Vrh] |
|
nuclear Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 11. 2011. (17:40:12) Postovi: (74)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
nuclear Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 11. 2011. (17:40:12) Postovi: (74)16
Spol:
|
Postano: 15:30 sub, 25. 1. 2014 Naslov: |
|
|
Još jedan zadatak..zapela sam na pola, ne vidim gdje griješim.
(drugačije su oznake jer ne znam baš pisati u latexu,za min polinom sam stavila y i umjesto lambde x)
Za A={{2,0,1},{2,3,-2},{-1,0,4}} €L(C^3) u kanonskoj bazi nađi polinom najmanjeg mogućeg stupnja td: e^(p(A))=1/A
ovo su moji računi:
k_A(x)=-(x-3)^3
y_A(x)=(x-3)^2
f(A)=f(3)p1+f'(3)p2
p1=I
p2=A-3I
do tud bi trebalo biti točno, sad sam dobila sljedeće i tu nastaje problem, dakle svaki f(A) € F(A) je oblika:
f(A)=f(3)p1+f'(3)p2
pa za funkciju e^(p(A)) imam sljedeće:
e^(p(A))=e^(p(3))*I+ p'(3)*e^(p(3))*(A-3I)
e^(p(x))=e^(p(3)) + p'(3) * e^(p(3)*x - 3*p'(3)*e^(p(3))
kada bi primijenila ln na tu jednadžbu, dobila bi
p(x)=p(3) + ln(p'(3)*e^(p(3))*x) -ln(3*p'(3)*e^(p(3))
a treba se dobiti:
p(x)=p(3) + p'(3)x - 3*p'(3)
zašto?
Još jedan zadatak..zapela sam na pola, ne vidim gdje griješim.
(drugačije su oznake jer ne znam baš pisati u latexu,za min polinom sam stavila y i umjesto lambde x)
Za A={{2,0,1},{2,3,-2},{-1,0,4}} €L(C^3) u kanonskoj bazi nađi polinom najmanjeg mogućeg stupnja td: e^(p(A))=1/A
ovo su moji računi:
k_A(x)=-(x-3)^3
y_A(x)=(x-3)^2
f(A)=f(3)p1+f'(3)p2
p1=I
p2=A-3I
do tud bi trebalo biti točno, sad sam dobila sljedeće i tu nastaje problem, dakle svaki f(A) € F(A) je oblika:
f(A)=f(3)p1+f'(3)p2
pa za funkciju e^(p(A)) imam sljedeće:
e^(p(A))=e^(p(3))*I+ p'(3)*e^(p(3))*(A-3I)
e^(p(x))=e^(p(3)) + p'(3) * e^(p(3)*x - 3*p'(3)*e^(p(3))
kada bi primijenila ln na tu jednadžbu, dobila bi
p(x)=p(3) + ln(p'(3)*e^(p(3))*x) -ln(3*p'(3)*e^(p(3))
a treba se dobiti:
p(x)=p(3) + p'(3)x - 3*p'(3)
zašto?
|
|
[Vrh] |
|
student_92 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46) Postovi: (B9)16
|
|
[Vrh] |
|
Loo Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07) Postovi: (D0)16
Spol:
|
Postano: 12:20 ned, 26. 1. 2014 Naslov: |
|
|
Tu koristiš samo činjenicu da je [tex]\sigma(f(A))=f(\sigma(A))[/tex],
tj., sve svojstvene vrijednosti od [tex]A^2-3A+3I[/tex] su oblika [tex]\lambda^2-3\lambda+3[/tex] za [tex]\lambda \in \sigma(A)[/tex].
Znači da bi bilo [tex]1 \in \sigma(A^2-3A+3I)[/tex], mora postojati [tex]\lambda \in \sigma(A)[/tex] t.d. [tex]\lambda^2-3\lambda+3=1[/tex], odnosno mora biti [tex]1 \in \sigma(A)[/tex] ili [tex]2 \in \sigma(A)[/tex] (uključivo).
Također, svojstvene vrijednosti od [tex](A-2I)^{2010}+(A-I)^{50}[/tex] su oblika [tex](\lambda-2)^{2010}+(\lambda-1)^{50}[/tex] za [tex]\lambda \in \sigma(A)[/tex].
I onda uvrstiš [tex]\lambda=2[/tex] i [tex]\lambda=1[/tex] gore i dobiješ da je to jednako [tex]1[/tex] u oba slučaja, pa mora biti [tex]1\in \sigma((A-2I)^{2010}+(A-I)^{50})[/tex].
[size=9][color=#999999]Added after 18 minutes:[/color][/size]
[quote="nuclear"]
pa za funkciju e^(p(A)) imam sljedeće:
e^(p(A))=e^(p(3))*I+ p'(3)*e^(p(3))*(A-3I)
e^(p(x))=e^(p(3)) + p'(3) * e^(p(3)*x - 3*p'(3)*e^(p(3))
kada bi primijenila ln na tu jednadžbu, dobila bi
p(x)=p(3) + ln(p'(3)*e^(p(3))*x) -ln(3*p'(3)*e^(p(3))
a treba se dobiti:
p(x)=p(3) + p'(3)x - 3*p'(3)
zašto?[/quote]
Ne možeš samo zamijeniti [tex]A[/tex] s [latex]x[/latex].
Iz definicije funkcije operatora [tex]f(A)[/tex] se vidi da [u]ne vrijedi[/u] [tex]f(A)=g(A) \Rightarrow f(x)=g(x), \forall x[/tex].
Tj, svaki operator [latex]f(A)[/latex] je linearna kombinacija [u]istih[/u] polinoma od [tex]A[/tex], a koeficijenti su vrijednosti nekih derivacija funkcije u točkama iz spektra.
Tj., u ovom konkretnom slučaju, da bi bilo [tex]e^{p(A)}=\frac{1}{A}[/tex], za [tex]f(x)=e^{p(x)}, \; g(x)=\frac{1}{x}[/tex] mora vrijediti [tex]f(3)p_1+f'(3)p_2=g(3)p_1+g'(3)p_2[/tex], odnosno:
[tex]f(3)=g(3), \; f'(3)=g'(3)[/tex] (jer su [tex]p_1[/tex] i [tex]p_2[/tex] linearno nezavisni)
I sad iz ovih jednadžbi nađeš traženi polinom.
Tu koristiš samo činjenicu da je [tex]\sigma(f(A))=f(\sigma(A))[/tex],
tj., sve svojstvene vrijednosti od [tex]A^2-3A+3I[/tex] su oblika [tex]\lambda^2-3\lambda+3[/tex] za [tex]\lambda \in \sigma(A)[/tex].
Znači da bi bilo [tex]1 \in \sigma(A^2-3A+3I)[/tex], mora postojati [tex]\lambda \in \sigma(A)[/tex] t.d. [tex]\lambda^2-3\lambda+3=1[/tex], odnosno mora biti [tex]1 \in \sigma(A)[/tex] ili [tex]2 \in \sigma(A)[/tex] (uključivo).
Također, svojstvene vrijednosti od [tex](A-2I)^{2010}+(A-I)^{50}[/tex] su oblika [tex](\lambda-2)^{2010}+(\lambda-1)^{50}[/tex] za [tex]\lambda \in \sigma(A)[/tex].
I onda uvrstiš [tex]\lambda=2[/tex] i [tex]\lambda=1[/tex] gore i dobiješ da je to jednako [tex]1[/tex] u oba slučaja, pa mora biti [tex]1\in \sigma((A-2I)^{2010}+(A-I)^{50})[/tex].
Added after 18 minutes:
nuclear (napisa): |
pa za funkciju e^(p(A)) imam sljedeće:
e^(p(A))=e^(p(3))*I+ p'(3)*e^(p(3))*(A-3I)
e^(p(x))=e^(p(3)) + p'(3) * e^(p(3)*x - 3*p'(3)*e^(p(3))
kada bi primijenila ln na tu jednadžbu, dobila bi
p(x)=p(3) + ln(p'(3)*e^(p(3))*x) -ln(3*p'(3)*e^(p(3))
a treba se dobiti:
p(x)=p(3) + p'(3)x - 3*p'(3)
zašto? |
Ne možeš samo zamijeniti [tex]A[/tex] s .
Iz definicije funkcije operatora [tex]f(A)[/tex] se vidi da ne vrijedi [tex]f(A)=g(A) \Rightarrow f(x)=g(x), \forall x[/tex].
Tj, svaki operator je linearna kombinacija istih polinoma od [tex]A[/tex], a koeficijenti su vrijednosti nekih derivacija funkcije u točkama iz spektra.
Tj., u ovom konkretnom slučaju, da bi bilo [tex]e^{p(A)}=\frac{1}{A}[/tex], za [tex]f(x)=e^{p(x)}, \; g(x)=\frac{1}{x}[/tex] mora vrijediti [tex]f(3)p_1+f'(3)p_2=g(3)p_1+g'(3)p_2[/tex], odnosno:
[tex]f(3)=g(3), \; f'(3)=g'(3)[/tex] (jer su [tex]p_1[/tex] i [tex]p_2[/tex] linearno nezavisni)
I sad iz ovih jednadžbi nađeš traženi polinom.
|
|
[Vrh] |
|
student_92 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46) Postovi: (B9)16
|
|
[Vrh] |
|
nuclear Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 11. 2011. (17:40:12) Postovi: (74)16
Spol:
|
Postano: 13:23 ned, 26. 1. 2014 Naslov: |
|
|
[quote="Loo"]
Ne možeš samo zamijeniti [tex]A[/tex] s [latex]x[/latex].
Iz definicije funkcije operatora [tex]f(A)[/tex] se vidi da [u]ne vrijedi[/u] [tex]f(A)=g(A) \Rightarrow f(x)=g(x), \forall x[/tex].
Tj, svaki operator [latex]f(A)[/latex] je linearna kombinacija [u]istih[/u] polinoma od [tex]A[/tex], a koeficijenti su vrijednosti nekih derivacija funkcije u točkama iz spektra.
Tj., u ovom konkretnom slučaju, da bi bilo [tex]e^{p(A)}=\frac{1}{A}[/tex], za [tex]f(x)=e^{p(x)}, \; g(x)=\frac{1}{x}[/tex] mora vrijediti [tex]f(3)p_1+f'(3)p_2=g(3)p_1+g'(3)p_2[/tex], odnosno:
[tex]f(3)=g(3), \; f'(3)=g'(3)[/tex] (jer su [tex]p_1[/tex] i [tex]p_2[/tex] linearno nezavisni)
I sad iz ovih jednadžbi nađeš traženi polinom.[/quote]
gle, nadam se da ne gnjavim puno, ali ako bi mi mogao/la raspisati do kraja to? jer ja ne znam stvarno više šta da radim, negdje griješim a da ni ne znam. dobijem to što si rekao/la:
f(A)=1/A
g(A)=e^(p(A))
f(3)=1/3 f'(3)=-1/9
e^(p(3))=1/3
(e^(p(3)))'=-1/9
p(3)=-ln 3
i dalje više ne znam šta bi.
znam da mora biti g(A)=g(3)*p1+g'(3)*p2
odnosno
g(A)=1/3 * I - 1/9 * (A-3I)
iiiiii..sad više ne znam ništa ko prvašić :)
jer ne dobivam ono što se kao treba dobiti.
Loo (napisa): |
Ne možeš samo zamijeniti [tex]A[/tex] s .
Iz definicije funkcije operatora [tex]f(A)[/tex] se vidi da ne vrijedi [tex]f(A)=g(A) \Rightarrow f(x)=g(x), \forall x[/tex].
Tj, svaki operator je linearna kombinacija istih polinoma od [tex]A[/tex], a koeficijenti su vrijednosti nekih derivacija funkcije u točkama iz spektra.
Tj., u ovom konkretnom slučaju, da bi bilo [tex]e^{p(A)}=\frac{1}{A}[/tex], za [tex]f(x)=e^{p(x)}, \; g(x)=\frac{1}{x}[/tex] mora vrijediti [tex]f(3)p_1+f'(3)p_2=g(3)p_1+g'(3)p_2[/tex], odnosno:
[tex]f(3)=g(3), \; f'(3)=g'(3)[/tex] (jer su [tex]p_1[/tex] i [tex]p_2[/tex] linearno nezavisni)
I sad iz ovih jednadžbi nađeš traženi polinom. |
gle, nadam se da ne gnjavim puno, ali ako bi mi mogao/la raspisati do kraja to? jer ja ne znam stvarno više šta da radim, negdje griješim a da ni ne znam. dobijem to što si rekao/la:
f(A)=1/A
g(A)=e^(p(A))
f(3)=1/3 f'(3)=-1/9
e^(p(3))=1/3
(e^(p(3)))'=-1/9
p(3)=-ln 3
i dalje više ne znam šta bi.
znam da mora biti g(A)=g(3)*p1+g'(3)*p2
odnosno
g(A)=1/3 * I - 1/9 * (A-3I)
iiiiii..sad više ne znam ništa ko prvašić
jer ne dobivam ono što se kao treba dobiti.
|
|
[Vrh] |
|
Loo Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07) Postovi: (D0)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
nuclear Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 11. 2011. (17:40:12) Postovi: (74)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Studoš Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 05. 2012. (15:14:14) Postovi: (11)16
|
|
[Vrh] |
|
M a j a Forumaš(ica)
Pridružen/a: 03. 11. 2010. (22:08:11) Postovi: (7)16
|
|
[Vrh] |
|
RonnieColeman Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 04. 2006. (10:35:00) Postovi: (20B)16
Spol:
Lokacija: |R^3
|
|
[Vrh] |
|
M a j a Forumaš(ica)
Pridružen/a: 03. 11. 2010. (22:08:11) Postovi: (7)16
|
|
[Vrh] |
|
RonnieColeman Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 04. 2006. (10:35:00) Postovi: (20B)16
Spol:
Lokacija: |R^3
|
|
[Vrh] |
|
M a j a Forumaš(ica)
Pridružen/a: 03. 11. 2010. (22:08:11) Postovi: (7)16
|
|
[Vrh] |
|
|