Neka je [tex]q = (q_1, q_2, q_3\dots)[/tex] niz koji sadrži sve racionalne brojeve, svaki točno jednom.
Tvrdim da je tražena injekcija [tex]f \mapsto \big(f(q_1)[1], f(q_2)[2], f(q_3)[3],\dots\big)[/tex] pri čemu je [tex]x[k][/tex] oznaka za realan broj [tex]x[/tex] zaokružen na [tex]k[/tex] decimalnih mjesta.
Dokažimo injektivnost. Pretpostavimo da smo dobili dva jednaka niza [tex]\big( f(q_1)[1], f(q_2)[2], f(q_3)[3],\dots \big)[/tex] i [tex]\big(g(q_1)[1], g(q_2)[2], g(q_3)[3],\dots\big)[/tex]. Tvrdimo da je [tex]f=g[/tex].
Uzmimo proizvoljan [tex]x\in \mathbb{R}[/tex] i neki niz racionalnih brojeva [tex]r_1, r_2, r_3,\dots[/tex] koji teži u [tex]x[/tex]. Neka su [tex]k_1, k_2, k_3,\dots[/tex] indeksi elemenata tog niza u nizu [tex]q[/tex]. Po pretpostavci je [tex]f(r_i)[k_i] = g(r_i)[k_i][/tex].
Zbog neprekidnosti funkcija [tex]f[/tex] i [tex]g[/tex] te zbog toga što su [tex]k_1, k_2, k_3,\dots[/tex] međusobno različiti prirodni brojevi koji postaju po volji veliki, imamo [dtex]f(x) = \lim f(r_i) = \lim f(r_i)[k_i] = \lim g(r_i)[k_i] = \lim g(r_i) = g(x)[/dtex] i injektivnost je dokazana.
Neka je [tex]q = (q_1, q_2, q_3\dots)[/tex] niz koji sadrži sve racionalne brojeve, svaki točno jednom.
Tvrdim da je tražena injekcija [tex]f \mapsto \big(f(q_1)[1], f(q_2)[2], f(q_3)[3],\dots\big)[/tex] pri čemu je [tex]x[k][/tex] oznaka za realan broj [tex]x[/tex] zaokružen na [tex]k[/tex] decimalnih mjesta.
Dokažimo injektivnost. Pretpostavimo da smo dobili dva jednaka niza [tex]\big( f(q_1)[1], f(q_2)[2], f(q_3)[3],\dots \big)[/tex] i [tex]\big(g(q_1)[1], g(q_2)[2], g(q_3)[3],\dots\big)[/tex]. Tvrdimo da je [tex]f=g[/tex].
Uzmimo proizvoljan [tex]x\in \mathbb{R}[/tex] i neki niz racionalnih brojeva [tex]r_1, r_2, r_3,\dots[/tex] koji teži u [tex]x[/tex]. Neka su [tex]k_1, k_2, k_3,\dots[/tex] indeksi elemenata tog niza u nizu [tex]q[/tex]. Po pretpostavci je [tex]f(r_i)[k_i] = g(r_i)[k_i][/tex].
Zbog neprekidnosti funkcija [tex]f[/tex] i [tex]g[/tex] te zbog toga što su [tex]k_1, k_2, k_3,\dots[/tex] međusobno različiti prirodni brojevi koji postaju po volji veliki, imamo [dtex]f(x) = \lim f(r_i) = \lim f(r_i)[k_i] = \lim g(r_i)[k_i] = \lim g(r_i) = g(x)[/dtex] i injektivnost je dokazana.
|