Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
ludamath Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 02. 2008. (16:00:14) Postovi: (3E)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
ludamath Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 02. 2008. (16:00:14) Postovi: (3E)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
Postano: 23:25 pon, 21. 4. 2014 Naslov: |
|
|
Ono sto znas je da centar ima barem jedan element: jedinicnu 2x2 matricu. Neka je [tex]A=\left(\matrix{a & b\\ 0 & c}\right)[/tex] element centra. Po definiciji centra, sljedece mora vrijediti: [dtex]AX=XA, \text{ za svaki }X=\left(\matrix{x & y \\ 0 & z}\right).[/dtex]
Nakon sto izracunamo AX i XA zakljucujemo da mora vrijediti
[dtex]
\begin{align}
ax &= xa,\\
cz &= zc,\\
ay+bz &= bx+cy,
\end{align}[/dtex]
za [b]svaki[/b] x,y,z iz R, uz ne-nul x i z. Prve dvije jednadzbe ocito vrijede jer je R polje. Kako treca jednadzba mora vrijediti za svaki izbor x,y,z, uz ne-nul x i z, onda mora vrijediti i za [tex]x=x_0[/tex], [tex]z=z_0[/tex] i [tex]y=0[/tex]. Prema tome, mora vrijediti [tex]bz_0=bx_0[/tex], odnosno
[dtex]b(z_0-x_0)=0.[/dtex]
Prethodna jednadzba mora vrijediti za bilo koji izbor brojeva [tex]x_0[/tex] i [tex]z_0[/tex] pa tako i za onaj izbor za koji je [tex]x_0\neq z_0[/tex]. Prema tome, b mora biti jednako nuli.
Kako smo zakljucili da je b=0, onda iz trece jednadzbe sljedi [dtex]ay=cy, \text{ za svaki }y\in\mathbb{R}.[/dtex]
To znaci da ta jednadzba mora vrijediti i za svaki [tex]y\neq 0[/tex]. Prema tome, mora biti a=c.
Iz svega zakljucujemo da je centar sadrzan u skupu
[dtex]\mathcal{Z}(G)\subseteq\left\{\left(\matrix{a & 0 \\ 0 & a}\right)=a\cdot\text{I}_2~|~a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\right\}.[/dtex]
Potrebno je jos provjeriti da i obratna inkluzija vrijedi, tj. da svaka matrica iz prethodnog skupa komutira sa svakom matricom iz G. To ti ne bi smio biti problem, tako da to tebi ostavljam.
Ono sto znas je da centar ima barem jedan element: jedinicnu 2x2 matricu. Neka je [tex]A=\left(\matrix{a & b\\ 0 & c}\right)[/tex] element centra. Po definiciji centra, sljedece mora vrijediti: [dtex]AX=XA, \text{ za svaki }X=\left(\matrix{x & y \\ 0 & z}\right).[/dtex]
Nakon sto izracunamo AX i XA zakljucujemo da mora vrijediti
[dtex]
\begin{align}
ax &= xa,\\
cz &= zc,\\
ay+bz &= bx+cy,
\end{align}[/dtex]
za svaki x,y,z iz R, uz ne-nul x i z. Prve dvije jednadzbe ocito vrijede jer je R polje. Kako treca jednadzba mora vrijediti za svaki izbor x,y,z, uz ne-nul x i z, onda mora vrijediti i za [tex]x=x_0[/tex], [tex]z=z_0[/tex] i [tex]y=0[/tex]. Prema tome, mora vrijediti [tex]bz_0=bx_0[/tex], odnosno
[dtex]b(z_0-x_0)=0.[/dtex]
Prethodna jednadzba mora vrijediti za bilo koji izbor brojeva [tex]x_0[/tex] i [tex]z_0[/tex] pa tako i za onaj izbor za koji je [tex]x_0\neq z_0[/tex]. Prema tome, b mora biti jednako nuli.
Kako smo zakljucili da je b=0, onda iz trece jednadzbe sljedi [dtex]ay=cy, \text{ za svaki }y\in\mathbb{R}.[/dtex]
To znaci da ta jednadzba mora vrijediti i za svaki [tex]y\neq 0[/tex]. Prema tome, mora biti a=c.
Iz svega zakljucujemo da je centar sadrzan u skupu
[dtex]\mathcal{Z}(G)\subseteq\left\{\left(\matrix{a & 0 \\ 0 & a}\right)=a\cdot\text{I}_2~|~a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\right\}.[/dtex]
Potrebno je jos provjeriti da i obratna inkluzija vrijedi, tj. da svaka matrica iz prethodnog skupa komutira sa svakom matricom iz G. To ti ne bi smio biti problem, tako da to tebi ostavljam.
_________________ The Dude Abides
Zadnja promjena: goranm; 16:29 sri, 23. 4. 2014; ukupno mijenjano 2 put/a.
|
|
[Vrh] |
|
ludamath Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 02. 2008. (16:00:14) Postovi: (3E)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
ludamath Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 02. 2008. (16:00:14) Postovi: (3E)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
ludamath Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 02. 2008. (16:00:14) Postovi: (3E)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
ludamath Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 02. 2008. (16:00:14) Postovi: (3E)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
vsego Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09) Postovi: (3560)16
Spol:
Lokacija: /sbin/init
|
Postano: 7:57 čet, 24. 4. 2014 Naslov: |
|
|
Ako je skup prazan, tj. ne sadrzi niti jedan element, sadrzi li onda neutralni element?
Fun fact: inverze sadrzi. :D Zasto?
[spoiler]Tvrdnja: Za svaki x iz skupa, nas skup sadrzi njegov inverz.
Suprotna tvrdnja: Postoji x cijeg inverza nema.
Posto je skup prazan, ne mozemo naci takav protuprimjer (ne postoji nikakav x, pa tako niti onaj cijeg inverza nema), pa je tvrdnja (da sadrzi inverz svakog svog elementa) istinita.
Iz slicnog razloga vrijede i zatvorenost i asocijativnost.
No, kad je u pitanju neutralni element, definicija kaze "[b]postoji element[/b] takav da...", a to nije tocno, neovisno o tome koje se svojstvo trazi.[/spoiler]
Ako je skup prazan, tj. ne sadrzi niti jedan element, sadrzi li onda neutralni element?
Fun fact: inverze sadrzi. Zasto?
Spoiler [hidden; click to show]: | Tvrdnja: Za svaki x iz skupa, nas skup sadrzi njegov inverz.
Suprotna tvrdnja: Postoji x cijeg inverza nema.
Posto je skup prazan, ne mozemo naci takav protuprimjer (ne postoji nikakav x, pa tako niti onaj cijeg inverza nema), pa je tvrdnja (da sadrzi inverz svakog svog elementa) istinita.
Iz slicnog razloga vrijede i zatvorenost i asocijativnost.
No, kad je u pitanju neutralni element, definicija kaze "postoji element takav da...", a to nije tocno, neovisno o tome koje se svojstvo trazi. |
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.
|
|
[Vrh] |
|
Swerz Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 02. 2009. (21:30:28) Postovi: (182)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
|