Integral?

[markann]

[room]

U 2.19. kad dođem do [dtex]\int \frac{tgte^t}{(tg^2t+1)^{1/2})}dx[/dtex] što dalje?

U 2.20. mi nije jasan taj tvoj 4) korak. Znači sredim parcijalne razlomke (užas živi) i onda stanem. Ovi trikovi kasnije sa nadopunjavanjem do kvadrata i supstitucijom da mogu dobiti arctg su mi jasni, ali mi fali taj korak između.

Ugl došla sam do ovog i što sad: [dtex]\frac{1}{9} \int \frac{3-x}{x^2-x+1}dx+\frac{1}{3}\int \frac{x-1}{(x^2-x+1)^2}dx+\frac{1}{9} \int \frac{1}{x+1}dx - \frac{1}{9}\int \frac{1}{(x+1)^2}dx[/dtex]

Zadnja dva si rekao da je trivijalno, a prva dva nisam shvatila što trebam napraviti.

I hvala na trudu i objašnjenju.

[markann]

[dtex]\int \frac{tgte^t}{(tg^2t+1)^{1/2})}dx = \int \frac{\frac{sint}{cost}e^tdt}{\sqrt{\frac{sin^2t}{cos^2t}+1}} = \int \frac{\frac{sint}{cost}e^tdt}{\sqrt{\frac{1}{cos^2t}}} = \int sinte^tdt[/dtex]
(Naravno to bi bilo [tex]|cost|[/tex] ali posto je t element [tex]< -pi/2,pi/2>[/tex] cos je pozitivan)

Rjesit cu ih bez ovih konstanti ispred, da mi ne smetaju jer se zivciram bezveze

[dtex] \int \frac{3-x}{x^2-x+1}dx = -\frac{1}{2} \int \frac{2x-1-5}{x^2-x+1}dx = -\frac{1}{2} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx +\frac{5}{2} \int \frac {dx}{x^2-x+1} = -\frac{1}{2}\ln{(x^2-x+1)}+\frac{5}{2}\int \frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} = ... [/dtex]
Rekla si da ti je sad jasno
Drugi, SASVIM analogno
Zadnja dva su stvarno lagana:
Opcenito za linearni polinom u nazivniku koji je ujedno i normiran vrijedi
[dtex]\int \frac{dx}{(x+A)^n} = - \frac{1}{(n-1)(x+A)^{n-1}}[/dtex] ako je n razlicit od 1.
Ako je [tex]n=1[/tex]
[dtex]\int \frac{dx}{x+A}= \ln{(x+A)}[/dtex]
Specijalno, za tvoj zadatak
[dtex]\int \frac{dx}{x+1}=\ln{(x+1)}[/dtex]
[dtex]\int \frac{dx}{(x+1)^2}= -\frac{1}{x+1}[/dtex]

[room]

2.19. sam uspjela (napokon) i provjerila s wolframom. Ne znam zašto mi sad na kraju nije palo na pamet napisat tg kao sinus kroz kosinus.

Okeej, još samo zadnje pitanje za kraj za taj 2.20 (muka mi je više od ovog zadatka, al ga oću skroz shvatit, pa oprosti na glupim pitanjima ).

[markann]

Supstitucija t=s*(korjen iz 3)/2

[room]

Ajme hvala ti puno, napokon sam ga uspjela do kraja i točan je. (dođe mi da plačem od sreće što sam ga napokon dovršila hahaha)

Još uvijek mi ovo objašnjenje treba ako netko zna:

[Ljubičica]

Zar u 2.19.d) u nazivniku nije ta zagrada na 3/2 (a ne na 1/2) i onda dobijemo integral od ? :))

[markann]

Zad 2.62 ima greske neke, nezz sta je snjim, uglavnom nemoj ga rjesavat hahaha

Za ovaj integral neznam kak bi rjesio pomocu tvog nacina, ali ja bi se drzo "sablone" i samo rastavljo na parcijalne

[dtex] \frac{1}{(x^2-2)^2} = \frac{1}{(x-\sqrt{2})^2(x+\sqrt{2})^2}[/dtex]

[alenand]

Evo, da i ja bacim koji komentar na sve ovo. Isprike zbog ne praćenja foruma. Uglavnom, valjda sam pohvatao ove teže zadatke:

1. ovo što je kolegica već skoro izračunala do kraja. Samo da primijetim, drugi način je još malo dijelit te polinome - koliko je to već moguće. Konkretno, onaj razlomak pod integralom možemo ovako raspisati:
[dtex]\frac{4x^3+4x^2-4x-6}{(x^2-2)^2}=\frac{4x^3-8x+8x+4x^2-8+8-4x-6}{(x^2-2)^2}=\frac{4x(x^2-2)+4(x^2-2)+4x-2}{(x^2-2)^2}=\frac{4x}{x^2-2}+\frac{4}{x^2-2}+\frac{4x}{(x^2-2)^2}+\frac{2}{(x^2-2)^2}[/dtex]

Iako u suštini nije nešto bolje. Iduće se odnosi kako računati integrale poput zadnjeg:

2. Napisat ću dio izvoda kako reducirati sljedeći integral [dtex]\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx[/dtex] za n, u pripadni za n-1. Analogno za slične integrale:
[dtex]I_n=\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx=\frac{1}{a^2}\int \frac{a^2}{(x^2+a^2)^n}dx=\frac{1}{a^2}\int\frac{a^2+x^2-x^2}{(x^2+a^2)^n}=\frac{1}{a^2}\int\frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}}dx-\frac{1}{a^2}\int\frac{x^2}{(x^2+a^2)^n}dx=I_{n-1}-\frac{1}{a^2}\int\frac{x^2}{(x^2+a^2)^n}dx[/dtex]
I sad je poanta da je ovaj prvi dio upravo traženi integral za n-1, a drugi dio znamo (donekle) parcijalno integrirati. I tako negdje na desnoj strani se pojavi integral [tex]I_n[/tex] , prebaciš ga na drugu stranu itd. Nadam se da su daljni koraci jasni, ne znam kako ostalima, ali naporno je pisati sve te \frac...
Rezultat bi trebala bit sljedeća redukcijska formula:
[dtex]I_n=\frac{1}{2(n-1)a^2}\left(\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}+(2n-3)I_{n-1}\right)[/dtex]
U svakom slučaju, za konkretne integrale postaje bolje, samo treba imati na pamet tako neku ideju.

Za primjer uzmimo 2.34a)
[dtex]\int\frac{x^2}{(x^2+1)^3}dx[/dtex]
Ovo već je pogodno za parcijalnu integraciju poput u općenitom gornjem postupku, pa imamo
[dtex]\int\frac{x^2}{(x^2+1)^3}dx=\frac{-1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{4}\int\frac{1}{(x^2+1)^2}dx[/dtex]
I sad se je stvar svela na računanje integrala sličnog gore, za a=1, n=2. Vidimo da parcijalna integracija funkcionira kad je u brojniku x^2, pa probamo ga odnekud stvorit i vidjet što se događa:
[dtex]=\frac{-1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{4}\int\frac{1+x^2-x^2}{(x^2+1)^2}dx=\frac{-1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{4}\int\frac{1}{(x^2+1)}dx+\frac{-1}{4}\int\frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx=\frac{-1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{4}\arctan{x}+\frac{-1}{4}\int\frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx[/dtex]
A ovaj zadnji integral opet parcijalnom integracijom itd. Tako bi se slično moglo i onaj [dtex]\frac{1}{(x^2-2)^2}=\frac{1}{2}\frac{2-x^2+x^2}{(x^2-2)}[/dtex] i tako dalje. Nadam se da je jasno, ako ne, molim te pitaj me uživo.

3. Ok, samo kratki postupak za ovaj 2.20b) što ga malo pojednostavljuje. Primijetimo da bi ovo bilo lako da je u brojniku [tex]x^2[/tex]. Ustvari toliko bi nam pojednostavnilo stvar da upravo tu ideju možemo iskoristit u parcijalnoj integraciji:

[dtex]\int\frac{x^3}{(x^3+1)^2}dx=-\frac{1}{3}\frac{x}{1+x^3}+\frac{1}{3}\int\frac{1}{x^3+1}dx[/dtex]

Dalje se ovo svakako mora riješavat parcijalnim razlomcima.

4. U ovom integralu je ideja prvo raspisati sin2x, onda supstituirati t^2=tan x (yup, strpljenje s LaTeX mi je na kraju, sorry ).
[dtex]\int\frac{\cos x}{\sqrt{\sin2x}}dx=\int\sqrt{\frac{\cos x}{2\sin x}}dx[/dtex]
Stavimo najavljeni t^2=tan x, pa dobivamo:
[dtex]2tdt=\frac{1}{\cos^2x}dx=(1+\tan^2x)dx[/dtex]
No sad, tan x=t^2 ⇒ (tan x)^2= t^4 pa napokon:
[dtex]dx=\frac{2t}{1+t^4}dt[/dtex]
Pa integral postaje:
[dtex]\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{2}{1+t^4}dt[/dtex]
A to je jedan dosadan integral koji je riješen negdje u skripti, mislim u poglavlju s racionalnim funkcijama. Uglavnom, vrlo dosadno rastavljanje na parcijalne razlomke

I napokon samo da primijetim, 2.62. je krivo izračunat, ali inače je trivijalan zadatak, a 2.35.a) nije u suštini težak (rastav na parcijalne razlomke), ali je poprilično nemoguć za čovjeka. U svakom slučaju, ne isplati se računati ga ikako osim s wolframom.

[room]

Hvala na prijedlogu markann, ali bilo mi je bolje po alenandovom, sad ću ubuduće znat sređivat ovakve integrale. Stvarno hvala puno alenand na raspisivanju (i meni je naporno pisat sve to u latexu, sve pet ). Uspjela sam ga dobit isto kao wolfram alpha.

I hvala za 2.45. c), ne da mi se dalje to sređivat jer je neki dugačak raspis, ali bitan mi je bio početak.

I prihvatit ću savjet da preskočim 2.35 a) jer je dosadan i da je 2.62. krivi.

Sutra/preksutra se javim s novim zadacima koji mi neće bit jasni, moram još neke opet probat ili provjerit, da ne odustanem odmah.

[Ljubičica]

Ups, markann i room hvala!

[Tomy007]

Kako izračunati ?

[hendrix]

Sve ovo "ispod korijena" supstituiraj ([tex]u = a^2 - x^2[/tex]), samim time ces si "ponistiti" dio van korijena i dobiti tablicni integral (integrirat ces [tex]-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{u}[/tex]).

[relax]

Nije u vezi integrala, ali je gradivo za drugi kol:
ako imamo red tipa
[dtex]\Sigma n!x^{n!}[/dtex] i racunamo radijus konvergencije, mozemo li supstituirati [tex]t = n! [/tex] pa dalje provjeravati (D'Alembert):
[dtex]R = lim_{t \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} = \frac{t}{t+1} = 1[/dtex]

Ako provjeravam
[dtex]R = lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} = 0[/dtex], a to nije ispravno rjesenje
Je li onda ispravno ono prvo? Moze li se to opcenito koristiti kada je potencija od [tex](x-c) [/tex]razlicita od [tex]n[/tex], kao u ovom slucaju [tex]n![/tex] ?

EDIT: ispravljeno iz [tex]\infty[/tex] u [tex]0[/tex], moj previd

[room]

Ali [dtex]\frac{1}{n+1}=\frac{1}{\infty}=0[/dtex]

Što se tiče ovog da je potencija [tex]n![/tex] i mene buni..

EDIT:
Zna li netko iz nepravih integrala 2.59. b) i 2.60. a i d? http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_6.pdf

[Shirohige]

[room]

Našla sam 2.59, hvala.

I shvatila sve, čini mi se da sve ima logike, thanks.

I trebale bi mi ideje kako započeti 2.46. b i c) i 2.48. a i c): http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_5.pdf

(Hoću finishirati zadatke iz skriptica koliko god mogu. )

[Shirohige]

[room]

[Shirohige]