|
Pozdrav ekipica, prije drugog testa iz linearne volio bih naglasiti par stvari
iz zadaća koje vidim muče mnoge studente pa često za jedan zadatak
zaprimim n mailova, pri čemu je n dovoljno velik prirodan broj da bude
motivacija za ovu objavu.
Dakle, nadam se da je nakon više susreta s linearnim operatorima sada
jasno kako ustvrditi je li nešto linearni operator ili ne, te da se odredi
njegova matrica. Nakon opetovanog rješavanja brojnih zadataka i
komentara, mislim da s petom zadaćom nema problema. :) Ili se barem
nadam. Ovo nisu (cjelovita) rješenja zadataka, samo neke napomene
koje stižu malo prije od "5 do 12". :)
Šesta zadaća je već druga priča.
1.(d) je napravio dosta pomutnje. S obzirom da je S linearni operator,
znamo neka svojstva koja trebaju biti zadovoljena pa imamo niz implikacija:
Ako je S(v)=S(-v) onda je S(v)-S(-v)=0 => S(v-(-v))=0 => S(2v)=0
=> 2S(v)=0 => S(v)=0, a to bi značilo da je v po definiciji iz jezgre od S.
2. Ako je operator zadan svojim djelovanjem na bazi, to je razlog za sreću,
a ne za brigu :) Za početak, s obzirom da je {i,j,k} baza za V3(O) onda
znamo da je slika operatora T linearna ljuska [{T(i),T(j),T(k)}] (ovo smo
posebno komentirali na demonstraturama). Pritom dobijemo, ako se ne
varam, 4T(i)-2T(j)=3T(k). Ali to znači da je 4T(i)-2T(j)-3T(k)=0 pa opet
zbog svojstava lin. operatora imamo T(4i-2j-3k)=0. Posebno, kako je
dimenzija slike, odnosno rang jednak 2, znamo da je defekt onda jednak 1
pa možemo i zaključiti da je KerT baš linearna ljuska [{4i-2j-3k}].
4. Ako pomno promotrimo, rang operatora A je 3, odnosno slika je baš cijeli
prostor. Pa će KerB "presječen" s cijelim prostorom opet davati KerB. Iz te
informacije lako možemo zaključiti onda kako bi mogao izgledati neki naš
traženi vektor.
I napokon, sedma zadaća :)
1.(b) Nazvat ću ovaj dio b-dijelom, trivijalno je jasno na što mislim. :)
S obzirom da radimo u V3(0), mi ovdje de facto imamo zadanu normalu
ravnine kroz ishodište. I sada se sjetimo geometrijske interpretacije
GS-postupka :) Odnosno zašto smo radili tamo to što smo radili. Ali čak i
bez toga možemo preživjet, dovoljno je shvatiti da možemo odrediti jedinični
vektor normale te potom skalarno pomnožiti neki općeniti vektor s njim te
taj skalarni produkt ponovno pomnožiti s jediničnim vektorom normale - to
je ukratko projekcija vektora na normalu. No onda "samo" od općenitog
vektora oduzmemo njegovu projekciju na normalu i dobijemo baš projekciju
na ravninu (dobro bi bilo nacrtati ovo ako niste bili na demonstraturama). :)
4. Ako znamo da vrijedi R^3=I, odnosno kada neki vektor rotiramo 3 puta za
neki kut da dobijemo opet taj vektor, sigurno će vrijediti i R^4=R. Tu se dakle
možemo zapitati za koji kut neki vektor možemo rotirati 3 puta oko ishodišta
tako da se "vratimo na početak". Zatim dobijemo neke lijepe i prostojne
brojeve, odnosno kutove poput 120° i 240° koje potom možemo ubaciti u
onu "matricu za rotacije" (ono sa sinusima i kosinusima) :)
Zrcaljenje stvara veći problem, barem po facijalnim ekspresijama ljudi na
demonstraturama. Dakle, kada ne znate šta bi, najbolje je malo nacrtati s
čim baratate, a mi imamo vektore -i i j. Nacrtate to u V2(0) i primijetite da
bi baš vektor -i+j mogao određivati smjer traženog pravca kroz ishodište.
Dobro bi to bilo i dokazati, ali onda se problem samo svede na to da odredite
kako operator Z koji označava zrcaljenje s obzirom na pravac određen vektorom
-i+j djeluje na općeniti vektor, tako se i uvjerite da doista vrijedi Z(j)=-i, a
lagano dobijete i kako Z djeluje na i (a to je vidljivo i iz dobre skice) :)
Eto, nadam se da je ovo bilo od pomoći :) Dakako, nemojte se prepast
ako ste do nekih rješenja došli na drugi način :) Sve je to za ljude.
A možda i za idući kolokvij dobro dođe.
Sretno svima na testiću :)
Pozdrav ekipica, prije drugog testa iz linearne volio bih naglasiti par stvari
iz zadaća koje vidim muče mnoge studente pa često za jedan zadatak
zaprimim n mailova, pri čemu je n dovoljno velik prirodan broj da bude
motivacija za ovu objavu.
Dakle, nadam se da je nakon više susreta s linearnim operatorima sada
jasno kako ustvrditi je li nešto linearni operator ili ne, te da se odredi
njegova matrica. Nakon opetovanog rješavanja brojnih zadataka i
komentara, mislim da s petom zadaćom nema problema.  Ili se barem
nadam. Ovo nisu (cjelovita) rješenja zadataka, samo neke napomene
koje stižu malo prije od "5 do 12".
Šesta zadaća je već druga priča.
1.(d) je napravio dosta pomutnje. S obzirom da je S linearni operator,
znamo neka svojstva koja trebaju biti zadovoljena pa imamo niz implikacija:
Ako je S(v)=S(-v) onda je S(v)-S(-v)=0 ⇒ S(v-(-v))=0 ⇒ S(2v)=0
⇒ 2S(v)=0 ⇒ S(v)=0, a to bi značilo da je v po definiciji iz jezgre od S.
2. Ako je operator zadan svojim djelovanjem na bazi, to je razlog za sreću,
a ne za brigu Za početak, s obzirom da je {i,j,k} baza za V3(O) onda
znamo da je slika operatora T linearna ljuska [{T(i),T(j),T(k)}] (ovo smo
posebno komentirali na demonstraturama). Pritom dobijemo, ako se ne
varam, 4T(i)-2T(j)=3T(k). Ali to znači da je 4T(i)-2T(j)-3T(k)=0 pa opet
zbog svojstava lin. operatora imamo T(4i-2j-3k)=0. Posebno, kako je
dimenzija slike, odnosno rang jednak 2, znamo da je defekt onda jednak 1
pa možemo i zaključiti da je KerT baš linearna ljuska [{4i-2j-3k}].
4. Ako pomno promotrimo, rang operatora A je 3, odnosno slika je baš cijeli
prostor. Pa će KerB "presječen" s cijelim prostorom opet davati KerB. Iz te
informacije lako možemo zaključiti onda kako bi mogao izgledati neki naš
traženi vektor.
I napokon, sedma zadaća
1.(b) Nazvat ću ovaj dio b-dijelom, trivijalno je jasno na što mislim.
S obzirom da radimo u V3(0), mi ovdje de facto imamo zadanu normalu
ravnine kroz ishodište. I sada se sjetimo geometrijske interpretacije
GS-postupka Odnosno zašto smo radili tamo to što smo radili. Ali čak i
bez toga možemo preživjet, dovoljno je shvatiti da možemo odrediti jedinični
vektor normale te potom skalarno pomnožiti neki općeniti vektor s njim te
taj skalarni produkt ponovno pomnožiti s jediničnim vektorom normale - to
je ukratko projekcija vektora na normalu. No onda "samo" od općenitog
vektora oduzmemo njegovu projekciju na normalu i dobijemo baš projekciju
na ravninu (dobro bi bilo nacrtati ovo ako niste bili na demonstraturama).
4. Ako znamo da vrijedi R^3=I, odnosno kada neki vektor rotiramo 3 puta za
neki kut da dobijemo opet taj vektor, sigurno će vrijediti i R^4=R. Tu se dakle
možemo zapitati za koji kut neki vektor možemo rotirati 3 puta oko ishodišta
tako da se "vratimo na početak". Zatim dobijemo neke lijepe i prostojne
brojeve, odnosno kutove poput 120° i 240° koje potom možemo ubaciti u
onu "matricu za rotacije" (ono sa sinusima i kosinusima)
Zrcaljenje stvara veći problem, barem po facijalnim ekspresijama ljudi na
demonstraturama. Dakle, kada ne znate šta bi, najbolje je malo nacrtati s
čim baratate, a mi imamo vektore -i i j. Nacrtate to u V2(0) i primijetite da
bi baš vektor -i+j mogao određivati smjer traženog pravca kroz ishodište.
Dobro bi to bilo i dokazati, ali onda se problem samo svede na to da odredite
kako operator Z koji označava zrcaljenje s obzirom na pravac određen vektorom
-i+j djeluje na općeniti vektor, tako se i uvjerite da doista vrijedi Z(j)=-i, a
lagano dobijete i kako Z djeluje na i (a to je vidljivo i iz dobre skice)
Eto, nadam se da je ovo bilo od pomoći Dakako, nemojte se prepast
ako ste do nekih rješenja došli na drugi način Sve je to za ljude.
A možda i za idući kolokvij dobro dođe.
Sretno svima na testiću
_________________
Teorem. Svi prirodni brojevi su zanimljivi.
Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da postoji neki prirodan broj n koji nije zanimljiv. Ali upravo zato je zanimljiv. Kontradikcija.
QED
|
Molimo vas ipak da zadaće pokušate sami riješiti
