|
Ako je [tex]D_4[/tex] diedralna grupa reda 4, onda ona mora biti izomorfna ili ciklickoj grupi reda 4 ili Kleinovoj cetvornoj grupi. U oba slucaja ce biti abelova grupa pa ce centar biti citava grupa.
Ako je [tex]D_4[/tex] diedralna grupa reda 8, onda je ona generirana s dva elementa [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] koji zadovoljavaju relacije
[dtex]a^4=1,\quad b^2=1,\quad bab=a^{-1}.[/dtex]Prema tome, [tex]g\in D_4[/tex] ako i samo ako je [tex]g=a^ib^j[/tex] pri cemu je [tex]0\leq i \leq 3[/tex] te [tex]0\leq j\leq 1[/tex].
Jednostavno je pokazati da ce [tex]g[/tex] biti u centru grupe ako i samo ako komutira s generatorima te grupe (dokazi to!). Dakle,[dtex]g\in \text{Z}(D_4) \iff ga=ag\quad\&\quad gb=bg \iff b^ja=ab^j\quad\&\quad a^ib=ba^i.[/dtex]Zadnju jednakost mozemo pojednostaviti tako da promatramo dva slucaja, [tex]j=0[/tex] te [tex]j=1[/tex]. No, ako je [tex]j=1[/tex], onda je [tex]bab=a[/tex]. Kako u [tex]D_4[/tex] vrijedi [tex]bab=a^{-1}[/tex], onda mora biti [tex]a=a^{-1}[/tex], odnosno [tex]a^2=1[/tex] sto je u kontradikciji s definicijom grupe [tex]D_4[/tex]. Prema tome [tex]j=0[/tex].
Jednakost [tex]a^ib=ba^i[/tex] mozemo pisati kao [tex]ba^ib=a^i[/tex], odnosno [tex](bab)^i=a^i[/tex]. Kako je po definiciji [tex]bab=a^{-1}[/tex], onda je takodjer [tex](bab)^i=a^{-i}[/tex], prema tome [tex]a^i=a^{-i}[/tex], odnosno [tex]a^{2i}=1[/tex].
Dakle, 4 dijeli [tex]2i[/tex] pri cemu je [tex]i=0,1,2,3[/tex]. Prema tome, jedine vrijednosti koje [tex]i[/tex] moze primiti su 0 i 2. Dakle, [tex]\text{Z}(D_4)=\{1,a^2\}[/tex].
Ako je [tex]D_4[/tex] diedralna grupa reda 4, onda ona mora biti izomorfna ili ciklickoj grupi reda 4 ili Kleinovoj cetvornoj grupi. U oba slucaja ce biti abelova grupa pa ce centar biti citava grupa.
Ako je [tex]D_4[/tex] diedralna grupa reda 8, onda je ona generirana s dva elementa [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] koji zadovoljavaju relacije
[dtex]a^4=1,\quad b^2=1,\quad bab=a^{-1}.[/dtex]Prema tome, [tex]g\in D_4[/tex] ako i samo ako je [tex]g=a^ib^j[/tex] pri cemu je [tex]0\leq i \leq 3[/tex] te [tex]0\leq j\leq 1[/tex].
Jednostavno je pokazati da ce [tex]g[/tex] biti u centru grupe ako i samo ako komutira s generatorima te grupe (dokazi to!). Dakle,[dtex]g\in \text{Z}(D_4) \iff ga=ag\quad\&\quad gb=bg \iff b^ja=ab^j\quad\&\quad a^ib=ba^i.[/dtex]Zadnju jednakost mozemo pojednostaviti tako da promatramo dva slucaja, [tex]j=0[/tex] te [tex]j=1[/tex]. No, ako je [tex]j=1[/tex], onda je [tex]bab=a[/tex]. Kako u [tex]D_4[/tex] vrijedi [tex]bab=a^{-1}[/tex], onda mora biti [tex]a=a^{-1}[/tex], odnosno [tex]a^2=1[/tex] sto je u kontradikciji s definicijom grupe [tex]D_4[/tex]. Prema tome [tex]j=0[/tex].
Jednakost [tex]a^ib=ba^i[/tex] mozemo pisati kao [tex]ba^ib=a^i[/tex], odnosno [tex](bab)^i=a^i[/tex]. Kako je po definiciji [tex]bab=a^{-1}[/tex], onda je takodjer [tex](bab)^i=a^{-i}[/tex], prema tome [tex]a^i=a^{-i}[/tex], odnosno [tex]a^{2i}=1[/tex].
Dakle, 4 dijeli [tex]2i[/tex] pri cemu je [tex]i=0,1,2,3[/tex]. Prema tome, jedine vrijednosti koje [tex]i[/tex] moze primiti su 0 i 2. Dakle, [tex]\text{Z}(D_4)=\{1,a^2\}[/tex].
_________________
The Dude Abides
|
..Zahvaljujem