Matematicka logika (informacija)

[student_92]

Evo sarma +

Imam još tri stvari prije usmenog.

1) "Neka je [tex]T[/tex] teorija prvog reda čija je signatura [tex]\sigma[/tex].
Neka je [tex]S[/tex] konzistentan skup [tex]\sigma[/tex]-formula i [tex]F[/tex] zatvorena [tex]\sigma[/tex]-formula.
Tada je barem jedan od skupova [tex]S \cup \{ F \}[/tex] i [tex]S \cup \{ \neg F \}[/tex] konzistentan u [tex]T[/tex]."

Moj postupak:
Pretpostavim da nijedan od skupova [tex]S \cup \{ F \}[/tex] i [tex]S \cup \{ \neg F \}[/tex] nije konzistentan u [tex]T[/tex]. [tex](*)[/tex]
Pretpostavim da je [tex]F[/tex] zatvorena formula (tada je i [tex]\neg F[/tex] zatvorena). [tex](**)[/tex]
Želim dokazati da je skup [tex]S[/tex] inkonzistentan, tj. da je iz njega moguće izvesti svaku formulu.
Uzmem neku formulu [tex]G[/tex] i želim pronaći izvod za nju iz skupa [tex]S[/tex].
Iz [tex](*)[/tex], [tex](**)[/tex] i teorema dedukcije zaključujem da za bilo koju formulu [tex]A[/tex] vrijedi:
- [tex]S \vdash (F \to A)[/tex]
- [tex]S \vdash (\neg F \to A) [/tex].

Moje je pitanje sljedeće: koje formule [tex]A[/tex] odabrati tako da izvedem [tex]G[/tex] iz [tex]S[/tex]?

2) Primjer skupa formula [tex]S[/tex] i dvije teorije [tex]T_1[/tex] i [tex]T_2[/tex] t. da je [tex]S[/tex] konzistentan u [tex]T_1[/tex], a inkonzistentan u [tex]T_2[/tex].

3) Ako u teoremu dedukcije za teorije prvog reda izostavimo pretpostavku da je [tex]A[/tex] zatvorena, onda isti ne vrijedi. Potkrijepiti to primjerom.

[luka_m]

Za prvo - Dovoljno je znati da možeš uzeti:

S |- F -> ~F
S |- ~F -> G

(dakle ~F, G), jer prva formula je ekvivalentna ~F, pa modus ponensom s drugom dobijemo G. To nije pravi dokaz jer treba demonstrirati da RS može "vidjeti" tu ekvivalenciju, ali više od toga prof sigurno neće pitati.

Drugo - recimo da je sigma = (R), da su T1, T2 sigma-teorije sa skupovima aksioma {AxRxx} i {~AxRxx}. Tada je skup {Ax~Rxx} inkonzistentan u prvoj a konzistentan u drugoj.

Može i npr. prazan skup u praznoj sigma teoriji i sigma teoriji koja sadrži {Rxx, ~Rxx}.

Treće - primjer je dan u skripti, ako treba objašnjenje javi.

[jopi]

Pozdrav

Ovaj semestar demonstrature iz Matematičke logike držat ću srijedom od 12 do 14h. Molim vas da se najavite mailom na josip.novak94@gmail.com. Nalazimo se kod oglasne ploče, a za one koji kasne, tamo ću i ostaviti broj učionice koju nađemo.
Naravno, uvijek mi možete slati pitanja i mailom.
Vidimo se!

Josip Novak

[Ryssa]

Zna li se kada otprilike dolaze rezultati? I je li usmeni ovaj tjedan ili sljedeći?

[palisana]

Ovaj semestar demostrature će biti srijedom od 12 do 14 h. (Iznimno 26.10. od 14 do 16 sati).
Možete se najaviti na mail anapaliska5@gmail.com (najkasnije dan prije), a na isti mail mi možete slati i pitanja.
Nalazimo se kod oglasne ploče. Vidimo se

Ana

[palisana]

Zbog više upita za promjenom termina, ovu srijedu će demonstrature biti umjesto u 12 sati od 14 do 16 sati.
Vidimo se

[fabcde]

jel zna tko zašto iz generaliziranog tma potpunosti slijeda da za konzistentan skup te teorije postoji model? (u dokazu tma kompaktnosti)

[luka_m]

Pozadinska teorija u teoremu kompaktnosti (barem verziji koja je u udžbeniku) je logika prvog reda. Iz definicija se vidi da je teorija čiji su aksiomi točno formule (danog) skupa S konzistentna, ako i samo ako je S konzistentan (s obzirom na logiku prvog reda).

Ako bi se ipak promatrala arbitrarna teorija T, onda bi se moglo pokazati, recimo slično kao u Lindenbaumovoj lemi, da je teorija proširena arbitrarnim konzistentnim skupom S ponovno konzistentna.

Dakle, u oba slučaja se može doći do konzistentne teorije, koja je onda "ulaz" za generalizirani teorem potpunosti.

[Loo]

Dragi studenti,

Nova web stranica kolegija Matematička logika nalazi se na sljedećem linku
https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/ml/index.php

Lucija Validžić