|
[b]2. domaća zadaća iz Konačnih geometrija[/b]
1. Tema: nužni uvjeti postojanja simetričnog dizajna 2-(v, k, λ), reda n = k - λ.
(a) Ispitajte ispunjavaju li trojke (61,16,4), (71,21,6), (85, 28, 9), (85,36,15),
(103, 34, 11), (113, 49, 21) i (365, 169, 78 ) poznate nužne uvjete za
postojanje simetričnog (v, k, λ) dizajna
(b) Pokušajte naći neke četvorke parametara v, k, λ, n za koje su
ispunjeni poznati nužni uvjeti postojanja simetričnog dizajna, a da su
sva četiri prim brojevi. Isto pitanje ako su (samo) v, k, λ prim brojevi.
2. Tema: primjena Teorema 3.16 iz skripti (teorem je iskazan i dokazan na
predavanju) za konstrukciju t-(v, k, λ) dizajna pomoću djelovanja t-homogene
permutacijske grupe na v-člani skup.
Uzmimo grupu AGL(1,q) (afina grupa), F je konačno polje GF(q), grupa
se sastoji od preslikavanja oblika φ (x) = ax+b, pri čemu su a, b iz F, a ≠ 0.
To je strogo dvostruko tranzitivna grupa na F, što znači da postoji točno
jedan element grupe koji zadani uređeni par (x1,y1) različitih elemenata
grupe preslikava u zadani uređeni par (x2,y2) različitih elemenata grupe.
Red grupe je stoga q(q-1).
Za slučaj q=11 ispitajte kakvi bi se sve 2-dizajni (tj. za koje vrijednosti parametara
k i λ, jer ovdje je v = 11) mogli u načelu konstruirati tom metodom. Pokušajte
konstruirati neki od tih dizajna.
3. Neka je p prim broj i v = 2p+1. Ako je D simetrični (v,k, λ) dizajn u kojem
je v > k+1, dokažite da je D Hadamardov dizajn ili komplementarni dizajn
Hadamardovog dizajna.
4. PG(2,3) je projektivna ravnina reda 3, konstruirana na standardni način
nad poljem GF(3) (točke su 1-dim, a pravci 2-dim. potprostori 3-dim. vektorskog
prostora nad poljem GF(3)). Znamo da regularni linearni operatori induciraju
automorfizme te ravnine. Izaberite neki takav operator (različit od jediničnog)
te ispitajte njegovo djelovanje na točke i pravce ravnine, tako da odredite
sve orbite na skupovima točaka i pravaca.
(
2. domaća zadaća iz Konačnih geometrija
1. Tema: nužni uvjeti postojanja simetričnog dizajna 2-(v, k, λ), reda n = k - λ.
(a) Ispitajte ispunjavaju li trojke (61,16,4), (71,21,6), (85, 28, 9), (85,36,15),
(103, 34, 11), (113, 49, 21) i (365, 169, 78 ) poznate nužne uvjete za
postojanje simetričnog (v, k, λ) dizajna
(b) Pokušajte naći neke četvorke parametara v, k, λ, n za koje su
ispunjeni poznati nužni uvjeti postojanja simetričnog dizajna, a da su
sva četiri prim brojevi. Isto pitanje ako su (samo) v, k, λ prim brojevi.
2. Tema: primjena Teorema 3.16 iz skripti (teorem je iskazan i dokazan na
predavanju) za konstrukciju t-(v, k, λ) dizajna pomoću djelovanja t-homogene
permutacijske grupe na v-člani skup.
Uzmimo grupu AGL(1,q) (afina grupa), F je konačno polje GF(q), grupa
se sastoji od preslikavanja oblika φ (x) = ax+b, pri čemu su a, b iz F, a ≠ 0.
To je strogo dvostruko tranzitivna grupa na F, što znači da postoji točno
jedan element grupe koji zadani uređeni par (x1,y1) različitih elemenata
grupe preslikava u zadani uređeni par (x2,y2) različitih elemenata grupe.
Red grupe je stoga q(q-1).
Za slučaj q=11 ispitajte kakvi bi se sve 2-dizajni (tj. za koje vrijednosti parametara
k i λ, jer ovdje je v = 11) mogli u načelu konstruirati tom metodom. Pokušajte
konstruirati neki od tih dizajna.
3. Neka je p prim broj i v = 2p+1. Ako je D simetrični (v,k, λ) dizajn u kojem
je v > k+1, dokažite da je D Hadamardov dizajn ili komplementarni dizajn
Hadamardovog dizajna.
4. PG(2,3) je projektivna ravnina reda 3, konstruirana na standardni način
nad poljem GF(3) (točke su 1-dim, a pravci 2-dim. potprostori 3-dim. vektorskog
prostora nad poljem GF(3)). Znamo da regularni linearni operatori induciraju
automorfizme te ravnine. Izaberite neki takav operator (različit od jediničnog)
te ispitajte njegovo djelovanje na točke i pravce ravnine, tako da odredite
sve orbite na skupovima točaka i pravaca.
(
|
