|
Sljedeći zadaci čine najavljeni "jedan mogući primjer" 1. kolokvija.
Kolokvij je, podsjećam, zakazan za ponedjeljak 4. prosinca,
u predavaonici A002, u 13.15 sati.
Savjet: pokušajte samostalno riješiti zadatke i po potrebi javite mi se
mailom za upute, tumačenja i slično. Također još možete doći i na
konzultacije na fakultet sutra, u petak 1. prosinca u 15h.
1. Formulirajte tvrdnju za realnu projektivnu ravninu iz koje se kao posebni
slučaj dobiva poznata propozicija u euklidskoj ravnini:
Srednjica trapeza paralelna je s njegovim osnovicama (srednjica – spojnica polovišta krakova).
Objasnite vezu i dokažite tvrdnju u projektivnoj ravnini.
2. Zadan je trovrh ABC i točke A', B' tako da se pravci AA' i BB' sijeku u točki S
i svih 6 navedenih točaka su različite. Ako je X varijabilna točka pravca SC,
različita od S i C, trovrsi ABC i A'B'X centralno su perspektivni pa su i
osno perspektivni. Ispitajte da li sve takve osi perspektiviteta,
za varijabilnu X. pripadaju jednom pramenu, tj. jesu li svi ti pravci konkurentni.
(Zadatak se odnosi na dezargovsku projektivnu ravninu, dakle ravninu u
kojoj vrijedi Desarguesov teorem, a prihvaća se i rješenje u ravnini PG(2,F)).
3. U četverovrhu PQRS dijagonalne točke su PS x QR = A,
PR x QS = B i PQ x RS = C. Dokažite da su točke K = QR x BC, L = PR x AC
i M = PQ x AB kolinearne.
(Napomena jednaka kao za 2. zadatak).
4. U ravnini PG(2,[b]R[/b]) zadane su točke [i]S[/i]1 (1:1:1) i [i]S[/i]2 (0:0:1) te pravci
[i]p[/i] [0:0:1] (tj. pravac jednadžbe x2 = 0) i [i]q[/i] [1:1:1] (tj. x0 + x1 + x2 = 0).
Preslikavanje φ skupa točaka pravca [i]p[/i] na sebe definirano je
kao kompozicija perspektiviteta α (centralne projekcije) pravca [i]p[/i]
iz točke S1 na pravac [i]q[/i] i perspektiviteta β pravca [i]q[/i] iz
točke [i]S[/i]2 na pravac [i]p[/i].
Izvedite jednadžbu preslikavanja φ u pogodnoj parametrizaciji skupa
točaka pravca [i]p[/i]. (Uputa: na pravcu [i]p[/i] mogu se, uobičajeno,
točkama pridružiti homogene koordinate oblika (t0 : t1)
odnosno nehomogene[i] t[/i] = t1/t0 pa je onda [i]t[/i] pogodan parametar.)
Sljedeći zadaci čine najavljeni "jedan mogući primjer" 1. kolokvija.
Kolokvij je, podsjećam, zakazan za ponedjeljak 4. prosinca,
u predavaonici A002, u 13.15 sati.
Savjet: pokušajte samostalno riješiti zadatke i po potrebi javite mi se
mailom za upute, tumačenja i slično. Također još možete doći i na
konzultacije na fakultet sutra, u petak 1. prosinca u 15h.
1. Formulirajte tvrdnju za realnu projektivnu ravninu iz koje se kao posebni
slučaj dobiva poznata propozicija u euklidskoj ravnini:
Srednjica trapeza paralelna je s njegovim osnovicama (srednjica – spojnica polovišta krakova).
Objasnite vezu i dokažite tvrdnju u projektivnoj ravnini.
2. Zadan je trovrh ABC i točke A', B' tako da se pravci AA' i BB' sijeku u točki S
i svih 6 navedenih točaka su različite. Ako je X varijabilna točka pravca SC,
različita od S i C, trovrsi ABC i A'B'X centralno su perspektivni pa su i
osno perspektivni. Ispitajte da li sve takve osi perspektiviteta,
za varijabilnu X. pripadaju jednom pramenu, tj. jesu li svi ti pravci konkurentni.
(Zadatak se odnosi na dezargovsku projektivnu ravninu, dakle ravninu u
kojoj vrijedi Desarguesov teorem, a prihvaća se i rješenje u ravnini PG(2,F)).
3. U četverovrhu PQRS dijagonalne točke su PS x QR = A,
PR x QS = B i PQ x RS = C. Dokažite da su točke K = QR x BC, L = PR x AC
i M = PQ x AB kolinearne.
(Napomena jednaka kao za 2. zadatak).
4. U ravnini PG(2,R) zadane su točke S1 (1:1:1) i S2 (0:0:1) te pravci
p [0:0:1] (tj. pravac jednadžbe x2 = 0) i q [1:1:1] (tj. x0 + x1 + x2 = 0).
Preslikavanje φ skupa točaka pravca p na sebe definirano je
kao kompozicija perspektiviteta α (centralne projekcije) pravca p
iz točke S1 na pravac q i perspektiviteta β pravca q iz
točke S2 na pravac p.
Izvedite jednadžbu preslikavanja φ u pogodnoj parametrizaciji skupa
točaka pravca p. (Uputa: na pravcu p mogu se, uobičajeno,
točkama pridružiti homogene koordinate oblika (t0 : t1)
odnosno nehomogene t = t1/t0 pa je onda t pogodan parametar.)
|
