Nekoliko primjera povezanih s Pappusovim teoremom

[Juraj Siftar]

Evo nekoliko primjera i zadataka povezanih s
Pappusovim teoremom.

1. Gravesovi trovrsi

Jedan lijepi ekvivalent Pappusove konfiguracije je
figura koja se sastoji od tri trovrha, takva da je svaki
od njih upisan sljedećem, u cikličkom poretku: dakle,
prvi je upisan drugom, drugi trećem, a treći prvom.
(Termini "upisan" odnosno "opisan" uzimaju se, dakako,
u smislu projektivne geometrije, dakle samo pomoću
incidencije točka-pravac, a ne gledajući "unutar" stranice kao
dužine).

Najprije, prepoznajmo Gravesove trovrhe u Pappusovoj
konfiguraciji (na jedan način). Umjesto s A1 A2... A6
označimo vrhove Pappusovog šesterovrha ovako:

X1 Y3 Z2 X2 Y2 Z3
(prva, treća i peta točka su na jednom pravcu,
ostale na drugom).
Nadalje, neka se X1 Y3 i X2 Y2 sijeku u točki Z1,
Z2 Y3 i Z3 Y2 u točki X3, a Z2 X2 i Z3 X1 u točki Y1.

U Pappusovoj konfiguraciji točke X3, Y1 i Z1 su
kolinearne.

Tada su trovrsi X1 Y1 Z1, X2 Y2 Z2 i X3 Y3 Z3 Gravesovi.
(Skicirajte, provjerite. Možete zatim potražiti Gravesove
trovrhe i ako se za početni Pappusov šesterovrh uzmu
oznake A1 A2... A6).

Sad zadatak: Pretpostavimo da u projektivnoj ravnini vrijedi
Pappusov teorem. Neka je trovrh X1 Y1 Z1 upisan
trovrhu X2 Y2 Z2 (s tim da je X1 incidentna s Y2 Z2 itd).
Dokažite da se tada svaka točka T pravca Y2 Z2
(različita od tih dviju točaka) može uzeti za vrh X3 trovrha
X3 Y3 Z3 koji je treći trovrh u Gravesovoj trojki.

Dodatno, pomoću prethodnog, formulirajte precizno iskaz tvrdnje
da je Pappusov teorem ekvivalentan postojanju Gravesovih
trovrha.

2. (zadatak s 1. kolokvija iz 2016., ovdje prethodno naveden
radi vježbanja analitičke metode, no ovo je "prava stvar" -
dokazati pomoću (duala) Pappusovog teorema).

Neka su A, B, C, D, E i F različite točke, takve da su AB, CD
i EF različiti pravci, konkurentni (prolaze jednom točkom).
Dokažite tvrdnju: ako su pravci AC, BF i DE konkurentni,
onda su i pravci AE, BD i CF konkurentni.

3. Ispitajte je li tvrdnja prethodnog zadatka povezana
(možda je preformulacija?) sa sljedećim zadatkom koji
se nalazio u 1. skupini zadataka za vježbu, s
predavanja:

Neka su ABC i A'B'C' dva trovrha u projektivnoj ravnini. Trovrsi su
centralno perspektivni ako su spojnice tri para odgovarajućih vrhova
konkurentni (kopunktalni) pravci. Osim pridruživanja vrhova tako da
su redom pridruženi A i A', B i B' te C i C' može se za drugi trovrh
odabrati, cikličkim pomakom, poredak vhova B'C'A' ili C'A'B'.
Na taj način dolaze u obzir tri relacije centralne perspektivnosti
ovih trovrha.
Dokažite: ako su zadani trovrsi centralno perspektivni na bilo koja
dva od ta tri načina, onda su perspektivni i na treći način.

4. Neka projektivitet točkama A, B, C pravca p pridružuje
redom točke A', B', C' pravca p' (različitog od p).
Želimo konstruirati sliku bilo koje točke X pravca p u tom
projektivitetu. Razmotrite je li korektna ovakva konstrukcija:
Spojnice točaka pravca p i pravca p' presijecamo
"cik-cak" (engl. zig-zag ) : AB' s BA', AC' s A'C itd.
Tada X' dobivamo tako da se XA' i A'X sijeku na Pappusovom
pravcu određenom šesterovrhom AB'CA'BC'.
(Ako je korektan, ovaj postupak pruža vrlo jednostavnu
metodu za konstrukciju slike bilo koje točke u zadanom
projektivitetu).