Linearna Algebra (zadatak)

[pmfst]

Neka je T : R3 → P1 linearni operator. Neka je {(2,−1,2),(0,1,−1),(1,0,0)} jedna baza za R3 i {(1−t),(1 + t)} jedna baza za P1. Nadite matriˇcni prikaz operatora T u kanonskoj bazi ako on vektore baze za R3 prevodi redom u {(1),(1−t),(1 + t)}.
Molim vas pomozite

[Gost]

Ovo je standardni zadatak o zapisu linearnog operatora
u različitim parovima baza. (Formalno spada u LA2, nebitno sad).
Praktično se rješava pomoću matrica (iako to nije obavezno).

Imamo dvije matrice prijelaza baza, iz kanonske od R^3 u ovu
zadanu i također iz standardne {1, t} za P1 u {1-t, 1+t}.

Prva navedena matrica, označimo je M, glasi:

2 0 1
-1 1 0
2 -1 0

a druga, označimo je S,

1 1
-1 1

Označimo li s A matricu operatora T u standardnom paru baza
(kanonskih), a s B matricu istog operatora u zadanom paru (nestandardnih)
baza, vrijedi relacija

B = S^(-1) A M.

(Naravno, matrice A i B su tipa 2 x 3).

(v. npr. str. 49 s formulom i primjerom 26. u skriptama

web.math.pmf.unizg.hr/~fran/predavanja-LA2.pdf).

Napominjem da sam s M označio matricu koja ima ulogu kao
matrica T u tim skriptama, zato što je u zadatku s T označen
linearni operator.

Mislim da se dalje možete snaći sami, prateći primjer 26.
koji je sasvim sličan, s tim što je malo složeniji jer su prostori
dimenzija 4 i 3.

Sve se to može i bez matrica, samo treba razumijeti što se
radi pa pretvarati zapise u različitim bazama izravnim
računom (što je napornije od množenja matrica i jednog
izračunavanja inverzne matrice).

[Gost]

Napomena, da ne bude zabune:

Traži se matrica A u ovom slučaju, a matricu B treba napisati
iz zadanih podataka. Onda se iz formule dobiva:

A = S B M^(-1).

Matricu B pokušajte napisati sami, korisno je.

[pmfst]

Hvala puno na pomoći

[Gost]

Za kontrolu, ovo je rezultat.

Matrica A

1 1 0
1 -4 -3