1. (a) Pokažite da se Desarguesova konfiguracija može “rastaviti” u jedan
potpuni četverovrh (4 točke i njihovih 6 spojnica – stranice) i jedan potpuni
četverostran (4 pravca i njihovih 6 sjecišta – vrhovi) tako da svaka stranica
četverovrha prolazi po jednim vrhom četverostrana.
(b) U Desarguesovoj konfiguraciji neka su K, L i M sjecišta odgovarajućih
parova stranica perspektivnih trovrha. Konstruirajte točku N tako da vrijedi
H(L,M;K,N). Neka ta konstrukcija sadrži, po mogućnosti, najviše
tri “poteza ravnalom” tj. operacija spajanja dviju točaka pravcem.
2. Iskažite i dokažite tvrdnju za proširenu euklidsku (projektivnu) ravninu
iz koje se kao posebni slučaj dobiva poznata propozicija u
euklidskoj (afinoj) ravnini:
Dijagonale paralelograma sijeku se u zajedničkom polovištu.
3. U realnoj projektivnoj ravnini PG(2,R) zadane su točke O(1:0:0),
S1(0:1:0), S2(1:1:0), M(0:1:1) i N(0:1:-1). Varijabilnoj točki X pravca OM
pridružuje se točka X' istog tog pravca na sljedeći način:
S1 X x ON = Y, S2 Y x OM = Z, S1 Z x ON = T, S2 T x OM = X'.
(x označava sjecište pravaca)
Izrazite koordinate točke X' pomoću koordinata točke X.
Očito se ovim preslikavanjem točki O pridružuje ista ta točka (O' = O).
Postoji li na pravcu OM još neka fiksna točka u tom preslikavanju?
Odredite točku M'.
4. Ako su zadana dva centralno perspektivna trovrha ABC i A'B'C', je li
općenito moguće zadati točke D i D' tako da četverovrsi ABCD i A'B'C'D'
budu i centralno i osno perspektivni? (Pritom D i D' trebaju biti međusobno
različite te različite od šest vrhova trovrha, kao i od njihovog centra perspektiviteta).
Uputa za jedan mogući pristup:
Potražite što jednostavniji primjer u euklidskoj (tj. afinoj ravnini)
pa ga interpretirajte u proširenoj euklidskoj (projektivnoj) ravnini.
1. (a) Pokažite da se Desarguesova konfiguracija može “rastaviti” u jedan
potpuni četverovrh (4 točke i njihovih 6 spojnica – stranice) i jedan potpuni
četverostran (4 pravca i njihovih 6 sjecišta – vrhovi) tako da svaka stranica
četverovrha prolazi po jednim vrhom četverostrana.
(b) U Desarguesovoj konfiguraciji neka su K, L i M sjecišta odgovarajućih
parova stranica perspektivnih trovrha. Konstruirajte točku N tako da vrijedi
H(L,M;K,N). Neka ta konstrukcija sadrži, po mogućnosti, najviše
tri “poteza ravnalom” tj. operacija spajanja dviju točaka pravcem.
2. Iskažite i dokažite tvrdnju za proširenu euklidsku (projektivnu) ravninu
iz koje se kao posebni slučaj dobiva poznata propozicija u
euklidskoj (afinoj) ravnini:
Dijagonale paralelograma sijeku se u zajedničkom polovištu.
3. U realnoj projektivnoj ravnini PG(2,R) zadane su točke O(1:0:0),
S1(0:1:0), S2(1:1:0), M(0:1:1) i N(0:1:-1). Varijabilnoj točki X pravca OM
pridružuje se točka X' istog tog pravca na sljedeći način:
S1 X x ON = Y, S2 Y x OM = Z, S1 Z x ON = T, S2 T x OM = X'.
(x označava sjecište pravaca)
Izrazite koordinate točke X' pomoću koordinata točke X.
Očito se ovim preslikavanjem točki O pridružuje ista ta točka (O' = O).
Postoji li na pravcu OM još neka fiksna točka u tom preslikavanju?
Odredite točku M'.
4. Ako su zadana dva centralno perspektivna trovrha ABC i A'B'C', je li
općenito moguće zadati točke D i D' tako da četverovrsi ABCD i A'B'C'D'
budu i centralno i osno perspektivni? (Pritom D i D' trebaju biti međusobno
različite te različite od šest vrhova trovrha, kao i od njihovog centra perspektiviteta).
Uputa za jedan mogući pristup:
Potražite što jednostavniji primjer u euklidskoj (tj. afinoj ravnini)
pa ga interpretirajte u proširenoj euklidskoj (projektivnoj) ravnini.
|