|
1. (a) Traženi “rastav” može se izvesti na više načina,
zapravo može se uočiti bilo koji četverovrh u Desarguesovoj
konfiguraciji takav da su svake dvije njegove točke
spojene pravcem koji također pripada konfiguraciji.
Npr. ako se počne od centra perspektiviteta, označimo
ga S (a svaka od 10 točaka konfiguracije može poslužiti za to),
perspektivni trovrsi su ABC i A'B'C' onda se može uzeti
(samo) SABC ili SA'B'C'.
Lako se vidi da preostalih 6 točaka čini skup sjecišta parova
stranica potpunog četverostrana i da je pritom ispunjen
zadani uvjet. Ima 5 načina za izbor četverovrha:
SABC, SA’B’C’, AA’KM, BB’KL i CC’LM.
(b) Uzmimo četverovrh ABLM. Točka N može se konstruirati tako
da se presijeku pravci AL i BM pa se kroz njihovo sjecište i
točku C povuče pravac. Taj pravac siječe LM u točki N.
Vrijedi H(LM,KN).
2. Četverokut ABCD u euklidskoj ravnini je paralelogram
ako se parovi stranica AB i CD, odnosno AD i BC sijeku
u točkama “neizmjerno dalekog pravca”.
Sjecište dijagonala AC i BD neka je točka S. U projektivnoj
ravnini, neka su dijagonalne točke ABxCD = M i ADxBC = N,
a S je treća dijagonalna točka.
Označimo BD x MN = P i AC x MN = Q.
Polovište dužine u afinoj ravnini je točka harmonički
konjugirana neizmjerno dalekoj točki pravca određenog
tom dužinom. Dakle, u projektivnoj ravnini trebalo bi
vrijediti H(BD,PS) i H(AC, QS).
Pokažimo to.
Iz definicije harmoničke četvorke vrijedi H(MN, PQ),
a onda za spojnice tih točaka s točkom D vrijedi H(DM,DN; DP,DQ).
Kad se ova harmonička četvorka pravaca presiječe pravcem AC,
za sjecišta vrijedi H(CA,SQ), stoga i H(AC,QS). Analogno,
spajanjem M,N,P,Q s točkom C te presijecanjem dobivene
harmoničke četvorke pravaca pravcem BD dobiva se H(DB,PS)
pa time i H(BD,PS).
Dakle, tražena tvrdnja za projektivnu ravninu može se
iskazati tako da je, uz prethodno uvedene oznake za
četverovrh ABCD i dijagonalne točke
M, N i S, ispunjeno H(BD,PS) i H(AC, QS), pri čemu su P i Q
sjecišta pravaca BD i AC s pravcem MN. U posebnom slučaju
kad je MN “neizmjerno daleki pravac”, za afinu ravninu slijedi
da se dijagonale paralelograma sijeku u zajedničkom polovištu.
1. (a) Traženi “rastav” može se izvesti na više načina,
zapravo može se uočiti bilo koji četverovrh u Desarguesovoj
konfiguraciji takav da su svake dvije njegove točke
spojene pravcem koji također pripada konfiguraciji.
Npr. ako se počne od centra perspektiviteta, označimo
ga S (a svaka od 10 točaka konfiguracije može poslužiti za to),
perspektivni trovrsi su ABC i A'B'C' onda se može uzeti
(samo) SABC ili SA'B'C'.
Lako se vidi da preostalih 6 točaka čini skup sjecišta parova
stranica potpunog četverostrana i da je pritom ispunjen
zadani uvjet. Ima 5 načina za izbor četverovrha:
SABC, SA’B’C’, AA’KM, BB’KL i CC’LM.
(b) Uzmimo četverovrh ABLM. Točka N može se konstruirati tako
da se presijeku pravci AL i BM pa se kroz njihovo sjecište i
točku C povuče pravac. Taj pravac siječe LM u točki N.
Vrijedi H(LM,KN).
2. Četverokut ABCD u euklidskoj ravnini je paralelogram
ako se parovi stranica AB i CD, odnosno AD i BC sijeku
u točkama “neizmjerno dalekog pravca”.
Sjecište dijagonala AC i BD neka je točka S. U projektivnoj
ravnini, neka su dijagonalne točke ABxCD = M i ADxBC = N,
a S je treća dijagonalna točka.
Označimo BD x MN = P i AC x MN = Q.
Polovište dužine u afinoj ravnini je točka harmonički
konjugirana neizmjerno dalekoj točki pravca određenog
tom dužinom. Dakle, u projektivnoj ravnini trebalo bi
vrijediti H(BD,PS) i H(AC, QS).
Pokažimo to.
Iz definicije harmoničke četvorke vrijedi H(MN, PQ),
a onda za spojnice tih točaka s točkom D vrijedi H(DM,DN; DP,DQ).
Kad se ova harmonička četvorka pravaca presiječe pravcem AC,
za sjecišta vrijedi H(CA,SQ), stoga i H(AC,QS). Analogno,
spajanjem M,N,P,Q s točkom C te presijecanjem dobivene
harmoničke četvorke pravaca pravcem BD dobiva se H(DB,PS)
pa time i H(BD,PS).
Dakle, tražena tvrdnja za projektivnu ravninu može se
iskazati tako da je, uz prethodno uvedene oznake za
četverovrh ABCD i dijagonalne točke
M, N i S, ispunjeno H(BD,PS) i H(AC, QS), pri čemu su P i Q
sjecišta pravaca BD i AC s pravcem MN. U posebnom slučaju
kad je MN “neizmjerno daleki pravac”, za afinu ravninu slijedi
da se dijagonale paralelograma sijeku u zajedničkom polovištu.
|
