|
5. zadatak
Neka je V unitarni prostor dimenzije 3, a M njegov potprostor
dimenzije 2.
Označimo s P operator ortogonalne projekcije na M,
a sa Z operator zrcaljenja s obzirom na M.
Nadalje, zadani su sljedeći linearni operatori iz L(V):
A = Z+P,
B = Z - P,
C = Z o P o Z,
D = ZoP - PoZ,
E = Z^2 - P^2
(pritom Z^2 znači Z o Z).
(a) Za svaki od operatora A, B, C, D i E odredite njegov rang i spektar.
(b) Ima li među operatorima A, B, C, D i E jednakih? Obrazložite.
(c) Odredite neki maksimalni linearno nezavisni podskup skupa
{A,B,C,D,E} u prostoru L(V).
Rješenje.
Zadane operatore P i Z prikažimo u povoljno odabranoj bazi,
dakle u bazi koja se sastoji od dva vektora (bilo koje) baze
potprostora M i bilo kojeg nenulvektora ortogonalnog na M.
Naime, uz takav izbor baze dobivamo dijagonalne matrice
P = diag [ 1 1 0] i Z = diag [1 1 -1].
(Radi jednostavnosti pisat ću samo oznake operatora i za
pripadne matrice u izabranoj bazi).
Tada će i svi operatori A, B, C, D i E imati dijagonalne matrice
u istoj bazi:
A = diag [ 2 2 -1], B = diag [ 0 0 -1], C = diag [ 1 1 0],
D = diag [ 0 0 0] (nulmatrica) i E = diag [ 0 0 1].
Svih pet operatora su različiti jer su im različite matrice u istoj bazi.
Iz dijagonale svake matrice izravno nalazimo rang i spektar:
r(A) = 3, \sigma (A) = {-1, 2},
r(B) = 1, \sigma (B) = {0, -1},
r(C) = 2, \sigma (C) = {0, 1},
r(D) = 0, \sigma (D) = {0},
r(E) = 1, \sigma (E) = {0, 1}.
Skup {A, B} očito je linearno nezavisan, a dodavanje bilo kojeg
od preostalih operatora daje linearno zavisan skup.
Primijetimo da se prikaz operatora C, D i E može i bez matrica
znatno pojednostavniti jer
Z o P = P o Z = P,
P^2 = P i
Z^2 = I,
tako da je C = P, D = P - P = O i E = I - P.
(Treba samo iskoristiti definicije operatora P i Z).
Sad je i bez matrica vidljivo da je C = (A-B)/2 i E = -B
pa je {A, B} jedan (ne i jedini) maksimalni linearno
nezavisni podskup.
To svojstvo imaju još, primjerice, {A, C}, {B, C} i {C, E}.
5. zadatak
Neka je V unitarni prostor dimenzije 3, a M njegov potprostor
dimenzije 2.
Označimo s P operator ortogonalne projekcije na M,
a sa Z operator zrcaljenja s obzirom na M.
Nadalje, zadani su sljedeći linearni operatori iz L(V):
A = Z+P,
B = Z - P,
C = Z o P o Z,
D = ZoP - PoZ,
E = Z^2 - P^2
(pritom Z^2 znači Z o Z).
(a) Za svaki od operatora A, B, C, D i E odredite njegov rang i spektar.
(b) Ima li među operatorima A, B, C, D i E jednakih? Obrazložite.
(c) Odredite neki maksimalni linearno nezavisni podskup skupa
{A,B,C,D,E} u prostoru L(V).
Rješenje.
Zadane operatore P i Z prikažimo u povoljno odabranoj bazi,
dakle u bazi koja se sastoji od dva vektora (bilo koje) baze
potprostora M i bilo kojeg nenulvektora ortogonalnog na M.
Naime, uz takav izbor baze dobivamo dijagonalne matrice
P = diag [ 1 1 0] i Z = diag [1 1 -1].
(Radi jednostavnosti pisat ću samo oznake operatora i za
pripadne matrice u izabranoj bazi).
Tada će i svi operatori A, B, C, D i E imati dijagonalne matrice
u istoj bazi:
A = diag [ 2 2 -1], B = diag [ 0 0 -1], C = diag [ 1 1 0],
D = diag [ 0 0 0] (nulmatrica) i E = diag [ 0 0 1].
Svih pet operatora su različiti jer su im različite matrice u istoj bazi.
Iz dijagonale svake matrice izravno nalazimo rang i spektar:
r(A) = 3, \sigma (A) = {-1, 2},
r(B) = 1, \sigma (B) = {0, -1},
r(C) = 2, \sigma (C) = {0, 1},
r(D) = 0, \sigma (D) = {0},
r(E) = 1, \sigma (E) = {0, 1}.
Skup {A, B} očito je linearno nezavisan, a dodavanje bilo kojeg
od preostalih operatora daje linearno zavisan skup.
Primijetimo da se prikaz operatora C, D i E može i bez matrica
znatno pojednostavniti jer
Z o P = P o Z = P,
P^2 = P i
Z^2 = I,
tako da je C = P, D = P - P = O i E = I - P.
(Treba samo iskoristiti definicije operatora P i Z).
Sad je i bez matrica vidljivo da je C = (A-B)/2 i E = -B
pa je {A, B} jedan (ne i jedini) maksimalni linearno
nezavisni podskup.
To svojstvo imaju još, primjerice, {A, C}, {B, C} i {C, E}.
|
