5. zadatak s kolokvija

[Juraj Siftar]

Zadatak.
Neka je V realni vektorski prostor te a1 , a2 , b1 , b2 ∊ V
četiri različita vektora, takva da su skupovi
{ a1, a2 } i { b1, b2 } linearno nezavisni.
Neka je S = { a1 + b1, a1 + b2, a2 + b1, a2 + b2 }.
Odredite sve moguće vrijednosti dimenzije potprostora [S],
za različite izbore vektora a1, a2, b1, b2 ∊ V.
Obrazložite zaključke i navedite
primjere za pojedine vrijednosti.


Rješenje.

Iz zadanih pretpostavki očito treba biti dim V ≥ 2.
Kako je (a1 + b1) + (a2 + b2) = (a1 + b2) + (a2 + b1),
S je linearno zavisan skup za bilo
kakav izbor vektora a1, a2, b1, b2 ∊ V.
Stoga je dim [S] ≤ 3.

Nije moguće postići dim [S] = 0, jer to bi značilo da su
sva 4 vektora a1 + b1, a1 + b2, a2 + b1, a2 + b2
jednaka 0, odakle bi slijedilo
a1 = a2 i b1 = b2 = -a1, suprotno pretpostavkama.

Uzmimo nadalje bilo koji linearno nezavisni podskup
{a1, a2}.
Izborom b1 = -a1 i b2 = -a2 skupovi
{a1, a2} i {-a1, -a2} oba su linearno nezavisna te se
dobiva S = {0, a1 - a2, a2 - a1}. Tada je dim [S] = 1.

Izborom npr. b1 = 2 a1 i b2 = 2 a2 skupovi
{a1, a2} i {2 a1 , 2 a2 } su linearno nezavisni,
a S = { 3 a1, a1 + 2 a2 , 2 a1 + a2, 3 a2} pa je
[S] = [ {a1, a2}] i dim [S] = 2.

Preostaje ispitati može li se postići dim [S] = 3.
Za to je nužno da bude dim V ≥ 3.
Uzmimo bilo koji linearno nezavisni podskup {a1, a2, b1} .
Izaberemo li b2 = - a1 + b1 ,
skup { b1, - a1 + b1 } linearno je nezavisan
(što se lako provjeri).

Tada je S = { a1 + b1, b1, a2 + b1, a2 - a1 + b1},
a njegov podskup { a1 + b1, b1, a2 + b1}
linearno je nezavisan (lako se provjeri, jer je
{a1, a2, b1} linearno nezavisan).

Dakle, moguće vrijednosti dim [S] su 1, 2 i 3.