Gradivo i priprema za kolokvij

[Juraj Siftar]

Za pripremu za kolokvij 16. svibnja u 16 sati:

U sadržaj 1. kolokvija ulaze i Hadamardovi dizajni
(str. 25-29 u skriptama), kao gradivo s prethodnog predavanja.

Također je pokazana konstrukcija Hadamardovog dizajna
iz Primjera 6.13. u skriptama, samo bez općenitog
pristupa pomoću diferencijskih skupova. Na razini primjera
treba znati konstrukciju pomoću konačnog polja GF(q),
pri čemu je q kongruentan s 3 modulo 4.
(Bazni blok Hadamardovog dizajna tada čini skup kvadrata,
različitih od 0, u tom polju - ima ih (q-1)/2, a daljnji blokovi
dobivaju se cikličkim pomakom u Abelovoj grupi (GF(q), +)
polja. v. str. 59-60 u skriptama).

Na predavanju sam podijelio izbor zadataka o simetričnim
dizajnima, kao pripremu za kolokvij.

Ovdje navodim još nekoliko zadataka tipova koji dolaze u
obzir, većinom varijacije zadataka iz kolokvija i zadaća
od prethodnih nekoliko godina.


1. U prvoj domaćoj zadaći pokazali ste da su za sljedeće
vrijednosti parametara t-(v,k, λ) ispunjeni nužni uvjeti postojanja
dizajna:
3-(14,4,1), 4-(17,5,1), 4-(18,6,1), 5-(18,6,1), 6-(23,7,1).

Za ovakve (hipotetičke) dizajne primijenite postupak deriviranja
u točki (i višestruko) dok se ne dobiju parametri 2-dizajna.
Je li poznato da takvi 2-dizajni doista postoje? Znamo li
konstruirati neke od njih?
(Za deriviranje dizajna v. Propoziciju 4.11. u skriptama)

2. Odbojkaška ekipa broji 12 igračica. Trener želi formirati
šesteročlane timove tako da na treninzima po dva tima
igraju međusobno, a da se pritom svake tri igračice nađu
zajedno u timu jednako mnogo puta. Koliki je najmanji broj
šestorki odbojkašica potreban za to i koliko će se susreta
odigrati? Sastavite jedan takav plan (dizajn).

3. Ispitujemo mogućnost postojanja simetričnih dizajna reda 18.
Odredite sve odgovarajuće trojke (v, k, λ)
koje ispunjavaju poznate nužne uvjete postojanja.
Uočite trojke parametara međusobno komplementarnih dizajna.

4. Za koju najveću vrijednost broja točaka v, v < 120, možemo naučenim
metodama konstruirati Hadamardov 2-dizajn? Opišite konstrukciju.

5. Na primjeru Hadamardove matrice reda 20 opišite kako se
konstruira Hadamardov 3-dizajn. (Nije potrebno sve ispisivati,
samo precizno opisati).

6. U projektivnoj ravnini PG(2,5) odredite skup C svih točaka (x0, x1, x2)
za koje vrijedi jednadžba x0^2 + 2 x1x2 = 0. Koliko ima tih točaka i kako
se može opisati njihov geometrijski položaj? Odredite jednadžbu
nekog pravca ravnine koji prolazi samo jednom od točaka
skupa C.

[Juraj Siftar]

Evo i zadataka spomenutih u prethodnom postu
(podijeljeni na predavanju).

1. Ispitajte ispunjavaju li trojke
(61,16,4), (71,21,6), (85, 28, 9), (85,36,15),
(103, 34, 11), (113, 49, 21), (191,20,2), (365, 169, 78 )
i (887, 37, 2) poznate nužne uvjete za postojanje
simetričnog (v, k, λ) dizajna

2. Pokušajte naći neke četvorke parametara v, k, λ, n za
koje su ispunjeni poznati nužni uvjeti postojanja
simetričnog dizajna, a da su sva četiri prim brojevi.
Isto pitanje ako su (samo) v, k, λ prim brojevi.

(Uvijek pretpostavljamo k > 2. Parametri u 1. zad.
zadani su tako da se netrivijalno rješenje,
ako postoji, dosta lako prepozna bez općenite metode).

3. Dokažite ili opovrgnite tvrdnju: Za sve parametre
simetričnog (v, k, λ) dizajna reda 11 koji ispunjavaju osnovni
nužni aritmetički uvjet postojanja ispunjen je i uvjet po
teoremu Bruck-Ryser-Chowla (neparni v), odnosno
Schützenbergerovom teoremu (parni v). Je li za neke od tih
parametara utvrđeno i postojanje dizajna?

4. (a) Za v < 1000 odredite najveću vrijednost v takvu da
sigurno postoji projektivna ravnina s v točaka. Obrazložite
odgovor i ukratko objasnite kako bi se mogla konstruirati
takva projektivna ravnina.

(b) Za v > 1000 odredite najmanju vrijednost v takvu da
sigurno postoji afina ravnina s v točaka.
Obrazložite odgovor i ukratko objasnite kako bi se mogla
konstruirati takva afina ravnina.

(c) Vrijednost v koja predstavlja rješenje zadatka (b)
označimo s w. Koliki je broj točaka Hadamardovog dizajna
koji je najbliži broju w, a dizajn sigurno postoji? Obrazložite.

5. Neka je p prim broj i v = 2p+1. Ako je D simetrični (v, k, λ)
dizajn u kojem je v > k+1, dokažite da je D Hadamardov dizajn
ili komplementarni dizajn Hadamardovog dizajna.