|
Stigli smo i do zadnjeg poglavlja u Linearnoj algebri 1,
poglavlja koje je malo složenije strukture pa ima i svoj
dodatak. Taj dodatak nije prioritetan za čitanje i učenje
o determinantama pa preporučam da se skripta čitaju
redoslijedom kako je i (namjerno) izloženo gradivo.
Dodatak o svojstvima permutacija i simetričnoj grupi
važan je za potpuno shvaćanje prethodnog, ali nije
presudan za razumijevanje pojma determinante i
osnove računa s determinantama.
Uz 4. poglavlje idu, očito, vježbe br. 12 i 10. domaća zadaća.
Ovdje ću odsad umjesto "determinanta" ponekad pisati
skraćeno det.
Sve bitno što smo dosad naučili u LA 1 dalo bi se raditi
i bez det, ali poznavanje tog preslikavanja koje kvadratnoj
matrici pridružuje jedan skalar (po prilično kompliciranoj,
ali jako pametnoj formuli) u mnogo čemu upotpunjava,
povezuje, olakšava i unaprjeđuje prethodno gradivo.
Det nam je poznata i otprije, ali nekako "raštrkano" u
različitim kontekstima:
izraz ad-bc (det reda 2) pojavljuje se kao važan kod rješavanja
sustava od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice,
det reda 3 olakšava izračunavanje vektorskog produkta
dva vektora u V^3, a onda i mješovitog produkta tri
vektora, što je ujedno i volumen paralelepipeda određenog
tim vektorima (zapravo, apsolutna vrijednost det).
Tako se det pojavljuje kao neki izraz određenog oblika
u formulama, a da nije baš jasno kako i zašto. U tome
je i jedna "opasnost" - da se umjesto stvarnog razumijevanja
tog pojma ostane na tehničkim detaljima i (samo) nekim
praktičnim aspektima ("ono što računamo iz kvadratne tablice
to jest matrice kad nam treba...nešto").
Ovdje, naravno, učimo pravu definiciju (na razini koja nam
je potrebna) što, između ostalog znači da ta (kvadratna)
matrica može biti bilo kojeg reda n. Prava definicija razmjerno
je složena jer predstavlja sumu od (čak) n! pribrojnika, a
sumiranje se ne izvodi kako smo naviknuti, od 1 do neke
određene vrijednosti (ovdje bi to bilo n! i takva numeracija
sasvim je moguća, ali nije osobito korisna) nego se
"sumira po svim permutacijama skupa {1,2,...,n}".
Ovo može na prvi pogled izgledati čudno, ali je (možda)
samo novo. Sve je objašnjeno u primjerima (skripta i
vježbe). No, kako dalje ispitivati/proučavati svojstva
takve čudne i "glomazne" sume, s ponešto tajnovitim
izborom predznaka pribrojnika?
Tu dolazi ono najljepše - interakcija simetrične grupe
i linearne algebre (operacija na vektorskom prostoru,
gdje su vektori stupci odnosno retci matrice).
Svojstva se mogu iskazati kratko i jasno, ali dokazi
nisu uvijek baš lagani. Zato su djelomično "odgođeni"
za dodatak, kao dublje pronicanje u svojstva grupe
permutacija.
Što će nam uopće permutacije - to je objašnjeno
u uvodnom odjeljku poglavlja. Potrebno je na sve
moguće načine "proći" kvadratnom matricom tako da
se iz svakog retka i svakog stupca izabere po jedan
skalar (element, koeficijent). Te načine izbora
prirodno je "kodirati" permutacijama.
Vrijednost det usko je povezana s rangom matrice.
det A je različita od 0 ako i samo ako je rang puni,
maksimalan, jednak n.
Dakle, det A = 0 čim postoji ikakva linearna zavisnost
stupaca, odnosno redaka. Čini se onda da je det
"grublji" pojam od ranga, jer det je 0 za svaku
vrijednost ranga manju od n, a jasno je da je velika
razlika u dimenziji potprostora jednakoj 1, 2 ili 5,
ako je prostor dimenzije npr. 7.
Kako se det A ponaša pod djelovanjem elementarnih
transformacija (ET) nad stupcima ili retcima?
Mijenja se (za razliku od ranga!), ali na jednostavan
način koji se lako izražava i kontrolira.
Mijenja se tako da se množi skalarom različitim od 0
(moguće 1 ili -1), što znači da ET (očekivano) ne mogu
vrijednost det pretvoriti iz 0 u nešto različito od 0
ili obrnuto.
(Za dokaz spomenutih svojstava, kao i npr. za to
da se det ne mijenja transponiranjem doista treba
znati više o svojstvima permutacija u simetričnoj grupi).
Pa onda, što će nam det kad već imamo rang?
Sjetimo se geometrije. Determinanta mjeri volumen
(u dimenziji 2 površinu). Komplanarnost vektora
znači volumen 0 (jasno), okomitost trećeg vektora
na ravninu prva dva vektora daje veći volumen
paralelepipeda, a ako je treći vektor "jako nagnut"
(pod malim kutem) prema ravnini "baze" volumen
je malen.
Istina, tri vektora ili jesu komplanarni ili nisu, ali
treći vektor može biti "gotovo komplanaran" s prva
dva i tada će volumen biti manji (pritom ne mijenjamo
duljinu trećeg vektora, ali visina paralelepipeda
se smanjuje). Rang to ne mjeri, on je ili 2 ili 3
(uzimamo da prva dva vektora nisu kolinearni),
ali det je neprekidna funkcija i može poprimiti
po volji malenu vrijednost ( u okolini 0).
U dimenziji 4 ili višoj to ne možemo baš lako
predočiti vizualno, ali smisao je taj isti.
Geometrija, volumen.
Osnovno o primjeni det pročitat ćete u literaturi
(skriptama ili drugdje), o načinima izračunavanja
također.
Jedno od "fascinantnih" (sa ili bez znakova navoda)
svojstava determinante jest Binet-Cauchyjev teorem:
det AB = det A det B.
Može li biti jednostavnije, a za tako komplicirano
zadano preslikavanje det ? Teško.
(Inače, "stručno" rečeno, a učit će se drugdje,
to znači da je det homomorfizam s grupe regularnih
matrica u muliplikativnu grupu polja).
Ima li to kakvo jednostavno geometrijsko tumačenje,
barem u pojednostavljenoj verziji?
Da, otprilike: Volumen = baza x visina.
Stigli smo i do zadnjeg poglavlja u Linearnoj algebri 1,
poglavlja koje je malo složenije strukture pa ima i svoj
dodatak. Taj dodatak nije prioritetan za čitanje i učenje
o determinantama pa preporučam da se skripta čitaju
redoslijedom kako je i (namjerno) izloženo gradivo.
Dodatak o svojstvima permutacija i simetričnoj grupi
važan je za potpuno shvaćanje prethodnog, ali nije
presudan za razumijevanje pojma determinante i
osnove računa s determinantama.
Uz 4. poglavlje idu, očito, vježbe br. 12 i 10. domaća zadaća.
Ovdje ću odsad umjesto "determinanta" ponekad pisati
skraćeno det.
Sve bitno što smo dosad naučili u LA 1 dalo bi se raditi
i bez det, ali poznavanje tog preslikavanja koje kvadratnoj
matrici pridružuje jedan skalar (po prilično kompliciranoj,
ali jako pametnoj formuli) u mnogo čemu upotpunjava,
povezuje, olakšava i unaprjeđuje prethodno gradivo.
Det nam je poznata i otprije, ali nekako "raštrkano" u
različitim kontekstima:
izraz ad-bc (det reda 2) pojavljuje se kao važan kod rješavanja
sustava od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice,
det reda 3 olakšava izračunavanje vektorskog produkta
dva vektora u V^3, a onda i mješovitog produkta tri
vektora, što je ujedno i volumen paralelepipeda određenog
tim vektorima (zapravo, apsolutna vrijednost det).
Tako se det pojavljuje kao neki izraz određenog oblika
u formulama, a da nije baš jasno kako i zašto. U tome
je i jedna "opasnost" - da se umjesto stvarnog razumijevanja
tog pojma ostane na tehničkim detaljima i (samo) nekim
praktičnim aspektima ("ono što računamo iz kvadratne tablice
to jest matrice kad nam treba...nešto").
Ovdje, naravno, učimo pravu definiciju (na razini koja nam
je potrebna) što, između ostalog znači da ta (kvadratna)
matrica može biti bilo kojeg reda n. Prava definicija razmjerno
je složena jer predstavlja sumu od (čak) n! pribrojnika, a
sumiranje se ne izvodi kako smo naviknuti, od 1 do neke
određene vrijednosti (ovdje bi to bilo n! i takva numeracija
sasvim je moguća, ali nije osobito korisna) nego se
"sumira po svim permutacijama skupa {1,2,...,n}".
Ovo može na prvi pogled izgledati čudno, ali je (možda)
samo novo. Sve je objašnjeno u primjerima (skripta i
vježbe). No, kako dalje ispitivati/proučavati svojstva
takve čudne i "glomazne" sume, s ponešto tajnovitim
izborom predznaka pribrojnika?
Tu dolazi ono najljepše - interakcija simetrične grupe
i linearne algebre (operacija na vektorskom prostoru,
gdje su vektori stupci odnosno retci matrice).
Svojstva se mogu iskazati kratko i jasno, ali dokazi
nisu uvijek baš lagani. Zato su djelomično "odgođeni"
za dodatak, kao dublje pronicanje u svojstva grupe
permutacija.
Što će nam uopće permutacije - to je objašnjeno
u uvodnom odjeljku poglavlja. Potrebno je na sve
moguće načine "proći" kvadratnom matricom tako da
se iz svakog retka i svakog stupca izabere po jedan
skalar (element, koeficijent). Te načine izbora
prirodno je "kodirati" permutacijama.
Vrijednost det usko je povezana s rangom matrice.
det A je različita od 0 ako i samo ako je rang puni,
maksimalan, jednak n.
Dakle, det A = 0 čim postoji ikakva linearna zavisnost
stupaca, odnosno redaka. Čini se onda da je det
"grublji" pojam od ranga, jer det je 0 za svaku
vrijednost ranga manju od n, a jasno je da je velika
razlika u dimenziji potprostora jednakoj 1, 2 ili 5,
ako je prostor dimenzije npr. 7.
Kako se det A ponaša pod djelovanjem elementarnih
transformacija (ET) nad stupcima ili retcima?
Mijenja se (za razliku od ranga!), ali na jednostavan
način koji se lako izražava i kontrolira.
Mijenja se tako da se množi skalarom različitim od 0
(moguće 1 ili -1), što znači da ET (očekivano) ne mogu
vrijednost det pretvoriti iz 0 u nešto različito od 0
ili obrnuto.
(Za dokaz spomenutih svojstava, kao i npr. za to
da se det ne mijenja transponiranjem doista treba
znati više o svojstvima permutacija u simetričnoj grupi).
Pa onda, što će nam det kad već imamo rang?
Sjetimo se geometrije. Determinanta mjeri volumen
(u dimenziji 2 površinu). Komplanarnost vektora
znači volumen 0 (jasno), okomitost trećeg vektora
na ravninu prva dva vektora daje veći volumen
paralelepipeda, a ako je treći vektor "jako nagnut"
(pod malim kutem) prema ravnini "baze" volumen
je malen.
Istina, tri vektora ili jesu komplanarni ili nisu, ali
treći vektor može biti "gotovo komplanaran" s prva
dva i tada će volumen biti manji (pritom ne mijenjamo
duljinu trećeg vektora, ali visina paralelepipeda
se smanjuje). Rang to ne mjeri, on je ili 2 ili 3
(uzimamo da prva dva vektora nisu kolinearni),
ali det je neprekidna funkcija i može poprimiti
po volji malenu vrijednost ( u okolini 0).
U dimenziji 4 ili višoj to ne možemo baš lako
predočiti vizualno, ali smisao je taj isti.
Geometrija, volumen.
Osnovno o primjeni det pročitat ćete u literaturi
(skriptama ili drugdje), o načinima izračunavanja
također.
Jedno od "fascinantnih" (sa ili bez znakova navoda)
svojstava determinante jest Binet-Cauchyjev teorem:
det AB = det A det B.
Može li biti jednostavnije, a za tako komplicirano
zadano preslikavanje det ? Teško.
(Inače, "stručno" rečeno, a učit će se drugdje,
to znači da je det homomorfizam s grupe regularnih
matrica u muliplikativnu grupu polja).
Ima li to kakvo jednostavno geometrijsko tumačenje,
barem u pojednostavljenoj verziji?
Da, otprilike: Volumen = baza x visina.
|
