| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
JANKRI
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol: 
Lokacija: Zagreb
|
 Postano: 20:46 pet, 13. 3. 2020 Naslov: MA2 2020 - kućne vježbe |
    |
|
|
Tema za pitanja i odgovore s "kućnih vježbi" iz Matematičke anaize 2.
Ovo je prvenstveno za vježbe kod asistenta Krijana (dakle, za grupu [P - Ž]).
Međutim, svi studenti su i više no dobrodošli! :)
Iskreni savjet je da uistinu napravite nešto u ova dva tjedna (tko zna - možda bude i dulje od toga).
Prilikom povratka na normalnu nastavu smatrat će se obrađenim sve što je upućeno na kućne vježbe.
Pitajte, rješavajte sami, iskoristite ovo vrijeme produktivno! :)
Sretno svima, sa svime!
Tema za pitanja i odgovore s "kućnih vježbi" iz Matematičke anaize 2.
Ovo je prvenstveno za vježbe kod asistenta Krijana (dakle, za grupu [P - Ž]).
Međutim, svi studenti su i više no dobrodošli! 
Iskreni savjet je da uistinu napravite nešto u ova dva tjedna (tko zna - možda bude i dulje od toga).
Prilikom povratka na normalnu nastavu smatrat će se obrađenim sve što je upućeno na kućne vježbe.
Pitajte, rješavajte sami, iskoristite ovo vrijeme produktivno!
Sretno svima, sa svime!
|
|
| [Vrh] |
|
chrsand
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 03. 2020. (11:25:59)
Postovi: (7)16
|
| Postano: 0:00 čet, 19. 3. 2020 Naslov: |
|
|
|
U zadatku 1.48, gdje se trazi kut pod kojim se sijeku tangente na kruznicu povucene kroz tocku T.
Kada nademo y' (y' = - (x + 2) / (y - 1)), i onda kada u formulu za tangentu:
y - y0 = f'(x0) (x - x0), uvrstimo y' kao f', u sljedećem redu pise
" y - y0 =( (x+2) / (y0-1) )* (x - x0). "
U ovom razlomku, iza znaka jednakosti, zasto smo stavili samo y0, zasto ne i x0, ili zasto ne samo x0?
U zadatku 1.48, gdje se trazi kut pod kojim se sijeku tangente na kruznicu povucene kroz tocku T.
Kada nademo y' (y' = - (x + 2) / (y - 1)), i onda kada u formulu za tangentu:
y - y0 = f'(x0) (x - x0), uvrstimo y' kao f', u sljedećem redu pise
" y - y0 =( (x+2) / (y0-1) )* (x - x0). "
U ovom razlomku, iza znaka jednakosti, zasto smo stavili samo y0, zasto ne i x0, ili zasto ne samo x0?
|
|
| [Vrh] |
|
JANKRI
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
| Postano: 0:55 čet, 19. 3. 2020 Naslov: |
|
|
|
[quote="chrsand"]
U ovom razlomku, iza znaka jednakosti, zasto smo stavili samo y0, zasto ne i x0, ili zasto ne samo x0?[/quote]
Ovdje je riječ o greški.
Dakle, u zadatku 1.48, na 30. stranici (3. u fileu) [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_4.pdf]ovdje[/url] treća centrirana formula (dakle, ona iza rečenice "Tada je jednadžba tangente u točki [tex]D[/tex]:") treba glasiti:
[dtex]t \quad \ldots \quad y - y_0 = -\frac{x_0 + 2}{y_0 - 1}(x - x_0).[/dtex]
Nadam se da je sada jasnije. :)
| chrsand (napisa): |
U ovom razlomku, iza znaka jednakosti, zasto smo stavili samo y0, zasto ne i x0, ili zasto ne samo x0? |
Ovdje je riječ o greški.
Dakle, u zadatku 1.48, na 30. stranici (3. u fileu) ovdje treća centrirana formula (dakle, ona iza rečenice "Tada je jednadžba tangente u točki [tex]D[/tex]:") treba glasiti:
[dtex]t \quad \ldots \quad y - y_0 = -\frac{x_0 + 2}{y_0 - 1}(x - x_0).[/dtex]
Nadam se da je sada jasnije.
|
|
| [Vrh] |
|
chrsand
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 03. 2020. (11:25:59)
Postovi: (7)16
|
|
| [Vrh] |
|
JANKRI
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
| Postano: 1:17 pet, 27. 3. 2020 Naslov: |
|
|
|
[quote="chrsand"]Kako smo dobili ove 1 i -1 uz f'(c+h) i f'(c-h), i di je -2f(c) nestao nakon primjene L'Hopitalovog pravila?[/quote]
Riječ je o zadatku 1.83 [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_6.pdf]ovdje[/url] (poglavlje 1.6), na kraju stranice 47. (6. u fileu).
[b]Zadatak.[/b] Neka je [tex]f[/tex] diferencijabilna u nekoj okolini točke [tex]c[/tex] i dva puta diferencijabilna u točki [tex]c[/tex]. Dokažite:
[dtex]\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(c + h) + f(c - h) - 2f(c)}{h^2} = f''(c).[/dtex]
[b]Rješenje.[/b] Primijetimo da je
[dtex]\lim\limits_{h \to 0}(f(c + h) + f(c-h) - 2f(c)) = \lim\limits_{h \to 0}[(f(c+h) - f(c)) + (f(c - h) - f(c))] = 0 + 0 = 0.[/dtex]
To vrijedi zato što je [tex]f[/tex] diferecijabilna u nekoj okolini točke [tex]c[/tex]. Preciznije, postoji [tex]\varepsilon > 0[/tex] takav da je funkcija [tex]f[/tex] diferecijabilna na intervalu [tex]I = \langle c - \varepsilon, c + \varepsilon\rangle[/tex]. Kako je funkcija [tex]f[/tex] diferencijabilna na [tex]I[/tex], ona je i neprekidna na [tex]I[/tex]. Dakle, vrijedi da je [tex]\lim\limits_{h \to 0}f(c + h) = \lim\limits_{h \to 0}f(c - h) = f(c)[/tex].
Ključno je razumjeti (!!) da nam je [tex]h[/tex] varijabla, a [tex]c[/tex] konstanta, tj. neka čvrsta (zadana, ne-varijabilna - nazovite to kako želite) točka. Dakle, u našem limesu (kojeg gledamo po varijabli [tex]h[/tex]) izraz [tex]2f(c)[/tex] je konstanta (to je isto kao da na tom mjestu piše neki broj - i piše - samo se taj broj zove [tex]2f(c)[/tex] :) ).
Kako i brojnik i nazivnik teže u [tex]0[/tex], smijemo primijeniti L’Hôpitalovo pravilo. Prije samo računa napomenimo da deriviranje vršimo po varijabli [tex]h[/tex] (po njoj i limes promatramo)! Odnosno, trebamo biti svjesni da je [tex]f(c + h)[/tex] kompozicija funkcija [tex]h \mapsto c + h[/tex] i [tex]f[/tex] te da je [tex]f(c + h)[/tex] kompozicija funkcija [tex]h \mapsto c - h[/tex] i [tex]f[/tex]. Zato je (DERIVIRAMO PO [tex]h[/tex]):
[dtex](f(c + h))' = f'(c + h) \cdot 1 = f'(c + h), \quad (f(c - h))' = f'(c - h) \cdot (-1) = -f'(c - h) \quad \text{te} \quad (2f(c))' = 0.[/dtex]
Računamo:
[dtex]\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(c + h) + f(c - h) - 2f(c)}{h^2} = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f'(c + h) - f'(c - h)}{2h} = \frac{1}{2} \cdot \lim\limits_{h \to 0}\left(\frac{f'(c + h) - f'(c)}{h} + \frac{f'(c - h) - f'(c)}{-h}\right) = f''(c).[/dtex]
U predzadnjoj jednakosti smo naprosto oduzeli i dodali [tex]f'(c)[/tex]. Zašto? Pa sjetimo se što želimo dokazati, želimo nekako doći do [tex]f''(c)[/tex]. Onda se sjetimo definirajućeg izraza za [tex]f''(c)[/tex] i nakon toga se naš postupak nameće sam od sebe:
[dtex]f''(c) = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f'(c + h) - f'(c)}{h} = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f'(c - h) - f'(c)}{-h}.[/dtex]
Nadam se da sam uspio razjasniti. :)
| chrsand (napisa): | | Kako smo dobili ove 1 i -1 uz f'(c+h) i f'(c-h), i di je -2f(c) nestao nakon primjene L'Hopitalovog pravila? |
Riječ je o zadatku 1.83 ovdje (poglavlje 1.6), na kraju stranice 47. (6. u fileu).
Zadatak. Neka je [tex]f[/tex] diferencijabilna u nekoj okolini točke [tex]c[/tex] i dva puta diferencijabilna u točki [tex]c[/tex]. Dokažite:
[dtex]\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(c + h) + f(c - h) - 2f(c)}{h^2} = f''(c).[/dtex]
Rješenje. Primijetimo da je
[dtex]\lim\limits_{h \to 0}(f(c + h) + f(c-h) - 2f(c)) = \lim\limits_{h \to 0}[(f(c+h) - f(c)) + (f(c - h) - f(c))] = 0 + 0 = 0.[/dtex]
To vrijedi zato što je [tex]f[/tex] diferecijabilna u nekoj okolini točke [tex]c[/tex]. Preciznije, postoji [tex]\varepsilon > 0[/tex] takav da je funkcija [tex]f[/tex] diferecijabilna na intervalu [tex]I = \langle c - \varepsilon, c + \varepsilon\rangle[/tex]. Kako je funkcija [tex]f[/tex] diferencijabilna na [tex]I[/tex], ona je i neprekidna na [tex]I[/tex]. Dakle, vrijedi da je [tex]\lim\limits_{h \to 0}f(c + h) = \lim\limits_{h \to 0}f(c - h) = f(c)[/tex].
Ključno je razumjeti (!!) da nam je [tex]h[/tex] varijabla, a [tex]c[/tex] konstanta, tj. neka čvrsta (zadana, ne-varijabilna - nazovite to kako želite) točka. Dakle, u našem limesu (kojeg gledamo po varijabli [tex]h[/tex]) izraz [tex]2f(c)[/tex] je konstanta (to je isto kao da na tom mjestu piše neki broj - i piše - samo se taj broj zove [tex]2f(c)[/tex] ).
Kako i brojnik i nazivnik teže u [tex]0[/tex], smijemo primijeniti L’Hôpitalovo pravilo. Prije samo računa napomenimo da deriviranje vršimo po varijabli [tex]h[/tex] (po njoj i limes promatramo)! Odnosno, trebamo biti svjesni da je [tex]f(c + h)[/tex] kompozicija funkcija [tex]h \mapsto c + h[/tex] i [tex]f[/tex] te da je [tex]f(c + h)[/tex] kompozicija funkcija [tex]h \mapsto c - h[/tex] i [tex]f[/tex]. Zato je (DERIVIRAMO PO [tex]h[/tex]):
[dtex](f(c + h))' = f'(c + h) \cdot 1 = f'(c + h), \quad (f(c - h))' = f'(c - h) \cdot (-1) = -f'(c - h) \quad \text{te} \quad (2f(c))' = 0.[/dtex]
Računamo:
[dtex]\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(c + h) + f(c - h) - 2f(c)}{h^2} = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f'(c + h) - f'(c - h)}{2h} = \frac{1}{2} \cdot \lim\limits_{h \to 0}\left(\frac{f'(c + h) - f'(c)}{h} + \frac{f'(c - h) - f'(c)}{-h}\right) = f''(c).[/dtex]
U predzadnjoj jednakosti smo naprosto oduzeli i dodali [tex]f'(c)[/tex]. Zašto? Pa sjetimo se što želimo dokazati, želimo nekako doći do [tex]f''(c)[/tex]. Onda se sjetimo definirajućeg izraza za [tex]f''(c)[/tex] i nakon toga se naš postupak nameće sam od sebe:
[dtex]f''(c) = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f'(c + h) - f'(c)}{h} = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f'(c - h) - f'(c)}{-h}.[/dtex]
Nadam se da sam uspio razjasniti.
|
|
| [Vrh] |
|
pero149
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 03. 2020. (11:30:28)
Postovi: (1)16
|
|
| [Vrh] |
|
medallion
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 03. 2020. (12:18:43)
Postovi: (1)16
|
|
| [Vrh] |
|
JANKRI
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
| Postano: 16:29 pon, 30. 3. 2020 Naslov: |
|
|
|
[quote="pero149"]pozdrav!
mozete li rijesiti ovaj zadatak?
(prvi zadatak iz kolokvija 2016./17.)
[/quote]
[b]Zadatak.[/b] (1. [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/analiza2_1617_kol1.pdf]ovdje[/url]) Izračunajte [tex]f^{(200)}(1)[/tex] za funkciju
[dtex]f(x) = (x-1)\,\text{arctg}(x-1).[/dtex]
[b]Rješenje.[/b] Odmah računamo:
[dtex]f^{(200)}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{200}\binom{200}{k}(x-1)^{(k)}(\text{arctg}(x-1))^{(200-k)} = (x - 1)(\text{arctg}(x-1))^{(200)} + 200 \cdot 1 \cdot (\text{arctg}(x - 1))^{(199)}.[/dtex]
U točki [tex]x = 1[/tex] vrijedi da je [tex]x - 1 = 0[/tex], stoga zaključujemo da je
[dtex]f^{(200)}(1) = 200 \cdot \left.(\text{arctg}(x-1))^{(199)}\right|_{x = 1}.[/dtex]
U ovom trenutku stajemo. Te godine je na kolokviju došlo do propusta, ovaj zadatak iako izgleda standardno, nije lagan. Zapravo, težak je i nije dio standardnog gradiva.
Ne sjećam se točno što se zbilo s tim zadatkom prilikom ocjenjivanja, ali mislim da su na njemu svi dobili sve bodove, ili tako nešto...
Uglavnom, pogledajte npr. [url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/AMEN/2010/090408-2.pdf]ovdje[/url] za više derivacije funkcije [tex]\text{arctg}\,x[/tex].
[quote="medallion"]Možete li objaviti rješenje zadatka iz skripte za vježbe?
[b]Zadatak 1.118[/b][/quote]
Rješenja svih zadataka (osim onih za vježbu) su u procesu pisanja.
Cijeli poglavlje [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_7.pdf]1.7[/url] je napisano i objavljeno na [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/materijali.php?ma2]stranici[/url]. Uskoro će biti popunjena i ostala poglavlja. :)
Rješenja zadataka za vježbu nećemo pisati. Svakako od vas očekujemo da ih sami rješavate. Naravno, za sve nejasnoće stojimo na raspolaganju! :)
| pero149 (napisa): | pozdrav!
mozete li rijesiti ovaj zadatak?
(prvi zadatak iz kolokvija 2016./17.)
|
Zadatak. (1. ovdje) Izračunajte [tex]f^{(200)}(1)[/tex] za funkciju
[dtex]f(x) = (x-1)\,\text{arctg}(x-1).[/dtex]
Rješenje. Odmah računamo:
[dtex]f^{(200)}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{200}\binom{200}{k}(x-1)^{(k)}(\text{arctg}(x-1))^{(200-k)} = (x - 1)(\text{arctg}(x-1))^{(200)} + 200 \cdot 1 \cdot (\text{arctg}(x - 1))^{(199)}.[/dtex]
U točki [tex]x = 1[/tex] vrijedi da je [tex]x - 1 = 0[/tex], stoga zaključujemo da je
[dtex]f^{(200)}(1) = 200 \cdot \left.(\text{arctg}(x-1))^{(199)}\right|_{x = 1}.[/dtex]
U ovom trenutku stajemo. Te godine je na kolokviju došlo do propusta, ovaj zadatak iako izgleda standardno, nije lagan. Zapravo, težak je i nije dio standardnog gradiva.
Ne sjećam se točno što se zbilo s tim zadatkom prilikom ocjenjivanja, ali mislim da su na njemu svi dobili sve bodove, ili tako nešto...
Uglavnom, pogledajte npr. ovdje za više derivacije funkcije [tex]\text{arctg}\,x[/tex].
| medallion (napisa): | Možete li objaviti rješenje zadatka iz skripte za vježbe?
Zadatak 1.118 |
Rješenja svih zadataka (osim onih za vježbu) su u procesu pisanja.
Cijeli poglavlje 1.7 je napisano i objavljeno na stranici. Uskoro će biti popunjena i ostala poglavlja.
Rješenja zadataka za vježbu nećemo pisati. Svakako od vas očekujemo da ih sami rješavate. Naravno, za sve nejasnoće stojimo na raspolaganju!
|
|
| [Vrh] |
|
chrsand
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 03. 2020. (11:25:59)
Postovi: (7)16
|
|
| [Vrh] |
|
JANKRI
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
| Postano: 14:18 uto, 14. 4. 2020 Naslov: |
|
|
|
[quote="chrsand"]kaj znaci {x}, u vjezbama 2.1, zad 2.3 c) ?[/quote]
to je takozvani [i]razlomljeni dio od [tex]x[/tex][/i], dakle "necijeli" dio od [tex]x[/tex]. To je uvijek realni broj iz intervala [tex][0, 1\rangle[/tex].
Precizna definicija je
[dtex]\{x\} = x - \lfloor x\rfloor,[/dtex]
gdje je [tex]\lfloor x\rfloor[/tex] najveće cijelo od [tex]x[/tex], tj. [b]najveći cijelo broj koji nije veći od[/b] [tex]x[/tex].
Kroz primjere se najbolje učio pa zato:
[dtex]\lfloor 1\rfloor = 1, \quad \lfloor 1.3\rfloor = 1, \quad \lfloor \pi\rfloor = 3, \quad \lfloor -100\rfloor = -100, \quad \lfloor -\pi\rfloor = -4, \quad \lfloor -0.000000001\rfloor = -1, \quad \lfloor 0.000000001\rfloor = 0.[/dtex]
[dtex]\{ 1\} = 0, \quad \{ 1.3\} = 0.3, \quad \{\pi\} = \pi - 3 \approx 0.14159, \quad \{ -100\} = 0, \quad \{ -\pi\} = 4 - \pi \approx 0.84851, \quad \{ -0.000000001\} = 0.999999999, \quad \{ 0.000000001\} = 0.000000001.[/dtex]
Primijetite da je
[dtex]x = \lfloor x \rfloor + \{x\} = \text{cijeli dio} + \text{razlomljeni dio}.[/dtex]
| chrsand (napisa): | | kaj znaci {x}, u vjezbama 2.1, zad 2.3 c) ? |
to je takozvani razlomljeni dio od [tex]x[/tex], dakle "necijeli" dio od [tex]x[/tex]. To je uvijek realni broj iz intervala [tex][0, 1\rangle[/tex].
Precizna definicija je
[dtex]\{x\} = x - \lfloor x\rfloor,[/dtex]
gdje je [tex]\lfloor x\rfloor[/tex] najveće cijelo od [tex]x[/tex], tj. najveći cijelo broj koji nije veći od [tex]x[/tex].
Kroz primjere se najbolje učio pa zato:
[dtex]\lfloor 1\rfloor = 1, \quad \lfloor 1.3\rfloor = 1, \quad \lfloor \pi\rfloor = 3, \quad \lfloor -100\rfloor = -100, \quad \lfloor -\pi\rfloor = -4, \quad \lfloor -0.000000001\rfloor = -1, \quad \lfloor 0.000000001\rfloor = 0.[/dtex]
[dtex]\{ 1\} = 0, \quad \{ 1.3\} = 0.3, \quad \{\pi\} = \pi - 3 \approx 0.14159, \quad \{ -100\} = 0, \quad \{ -\pi\} = 4 - \pi \approx 0.84851, \quad \{ -0.000000001\} = 0.999999999, \quad \{ 0.000000001\} = 0.000000001.[/dtex]
Primijetite da je
[dtex]x = \lfloor x \rfloor + \{x\} = \text{cijeli dio} + \text{razlomljeni dio}.[/dtex]
|
|
| [Vrh] |
|
chrsand
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 03. 2020. (11:25:59)
Postovi: (7)16
|
|
| [Vrh] |
|
JANKRI
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
| Postano: 23:49 uto, 21. 4. 2020 Naslov: |
|
|
|
[quote="chrsand"]u poglavlju 2.3, zadatak 2.31 pod c) dio di piše "još treba izračunati:"
<zmijica>(dt/(t^2 + 1)^2) = <zmijica>((1+t^2-1)/(t^2 + 1)^2 dt)
kak smo gore ubacili 1+t^2-1 ?[/quote]
Kriva je prva jednakost, no već iduća je točna :-)
Naime, treba ubaciti [tex]1 + t^2 - t^2[/tex], tj. dodati i oduzeti [tex]t^2[/tex].
[dtex]\int\frac{\text{d}\, t}{(t^2 + 1)^2} = \int\frac{1 + t^2 - t^2}{(t^2 + 1)^2}\text{d}\, t = \int\frac{\text{d}\, t}{1+t^2} - \int\frac{t^2}{(t^2 + 1)^2}\text{d}\, t = \ldots[/dtex]
Dalje isto kao u rješenju.
| chrsand (napisa): | u poglavlju 2.3, zadatak 2.31 pod c) dio di piše "još treba izračunati:"
<zmijica>(dt/(t^2 + 1)^2) = <zmijica>((1+t^2-1)/(t^2 + 1)^2 dt)
kak smo gore ubacili 1+t^2-1 ? |
Kriva je prva jednakost, no već iduća je točna
Naime, treba ubaciti [tex]1 + t^2 - t^2[/tex], tj. dodati i oduzeti [tex]t^2[/tex].
[dtex]\int\frac{\text{d}\, t}{(t^2 + 1)^2} = \int\frac{1 + t^2 - t^2}{(t^2 + 1)^2}\text{d}\, t = \int\frac{\text{d}\, t}{1+t^2} - \int\frac{t^2}{(t^2 + 1)^2}\text{d}\, t = \ldots[/dtex]
Dalje isto kao u rješenju.
|
|
| [Vrh] |
|
chrsand
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 03. 2020. (11:25:59)
Postovi: (7)16
|
|
| [Vrh] |
|
chrsand
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 03. 2020. (11:25:59)
Postovi: (7)16
|
|
| [Vrh] |
|
JANKRI
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
| Postano: 20:10 sri, 22. 4. 2020 Naslov: |
|
|
|
Samo jedna zamolba, možete li, molim vas linkati pdf koji vas zanima, tako znatno olakšavate! Hvala! :-)
Linkanje:
[code:1][url=tu_ide_link_koji_želite]tu_ide_tekst_koji_se_vidi[/url][/code:1]
a možete i samo jednostavno
[code:1][url]tu_ide_link_koji_želite[/url][/code:1]
Onda bi vaše pitanje izgledalo ovako:
Poglavlje [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_4.pdf]2.4[/url], može li pojašnjenje u zadatku 2.38 dio a), u drugom retku, zašto vrijedi prva jednakost?
Sada vam ja kažem da je pitanje izvrsno (ne radi forme pitanja :D ), nego naprosto zato što je. Naime, u toj jednakosti je "skriveno" nešto suptilno, a to je sljedeće:
[dtex]\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \underbrace{\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{0}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t}_{=A} + \underbrace{\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t}_{=B}.[/dtex]
Sljedeća činjenica za integral [tex]A[/tex] vrijedi naprosto zato što je podintegralna funkcija neparna - možete li to dokazati za općenitu funkciju? Preciznije, možete li dokazati da ako je [tex]a >0[/tex] realan broj i ako je [tex]f \colon [-a, a] \to \mathbb{R}[/tex] integrabilna funkcija, onda je
[dtex]\int\limits_{-a}^{0}f(x)\text{d}\,x = \left\lbrace \begin{array}{c} +\int\limits_{0}^{a}f(x)\text{d}\,x\text{, ako je } f\text{ parna funkcija,} \\ -\int\limits_{0}^{a}f(x)\text{d}\,x\text{, ako je } f\text{ neparna funkcija.} \end{array} \right.[/dtex]
Vratimo se na naš [tex]A[/tex]:
[dtex]A = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{0}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \left\lbrace\begin{array}{c} u = -t \\ \text{d}\, u = -\text{d}\, t \\ 0 \to 0 \\ -\frac{1}{2} \to \frac{1}{2} \end{array}\right\rbrace = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{0}(-2u)\sqrt{\frac{1}{4} - u^2}(-\text{d}\, u) = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{0}2u\sqrt{\frac{1}{4} - u^2}\text{d}\, u = -\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}2u\sqrt{\frac{1}{4} - u^2}\text{d}\, u = -B.[/dtex]
(Isti je dokaz za proizvoljnu neparnu funkciju.) Dakle, vrijedi da je
[dtex]\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = -B + B = 0.[/dtex]
Sada se vratimo na poglavlje [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_4.pdf]2.4[/url] i dio (a) zadatka 2.38:
[dtex]\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t + \frac{1}{2}\right)^2\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + 2t + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t + \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(2t\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = 2\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \ldots[/dtex]
Dalje isto kao u rješenju... Ova zadnja jednakost vrijedi jer je podintegralna funkcija parna - probajte to sami dokazati općenito, dokaz je skoro pa isti kao i ovo gore što sam za neparne napisano (napravite ga za općenitu funkciju!) Za parne je još malo lakše jer se ne treba "paziti" na minuse. :-)
Ako je bilo što nejasno - samo pitajte! :-)
Nadam se da sam uspio razjasniti!
Sretno! :-)
Samo jedna zamolba, možete li, molim vas linkati pdf koji vas zanima, tako znatno olakšavate! Hvala!
Linkanje:
| Kod: | | [url=tu_ide_link_koji_želite]tu_ide_tekst_koji_se_vidi[/url] |
a možete i samo jednostavno
| Kod: | | [url]tu_ide_link_koji_želite[/url] |
Onda bi vaše pitanje izgledalo ovako:
Poglavlje 2.4, može li pojašnjenje u zadatku 2.38 dio a), u drugom retku, zašto vrijedi prva jednakost?
Sada vam ja kažem da je pitanje izvrsno (ne radi forme pitanja  ), nego naprosto zato što je. Naime, u toj jednakosti je "skriveno" nešto suptilno, a to je sljedeće:
[dtex]\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \underbrace{\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{0}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t}_{=A} + \underbrace{\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t}_{=B}.[/dtex]
Sljedeća činjenica za integral [tex]A[/tex] vrijedi naprosto zato što je podintegralna funkcija neparna - možete li to dokazati za općenitu funkciju? Preciznije, možete li dokazati da ako je [tex]a >0[/tex] realan broj i ako je [tex]f \colon [-a, a] \to \mathbb{R}[/tex] integrabilna funkcija, onda je
[dtex]\int\limits_{-a}^{0}f(x)\text{d}\,x = \left\lbrace \begin{array}{c} +\int\limits_{0}^{a}f(x)\text{d}\,x\text{, ako je } f\text{ parna funkcija,} \\ -\int\limits_{0}^{a}f(x)\text{d}\,x\text{, ako je } f\text{ neparna funkcija.} \end{array} \right.[/dtex]
Vratimo se na naš [tex]A[/tex]:
[dtex]A = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{0}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \left\lbrace\begin{array}{c} u = -t \\ \text{d}\, u = -\text{d}\, t \\ 0 \to 0 \\ -\frac{1}{2} \to \frac{1}{2} \end{array}\right\rbrace = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{0}(-2u)\sqrt{\frac{1}{4} - u^2}(-\text{d}\, u) = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{0}2u\sqrt{\frac{1}{4} - u^2}\text{d}\, u = -\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}2u\sqrt{\frac{1}{4} - u^2}\text{d}\, u = -B.[/dtex]
(Isti je dokaz za proizvoljnu neparnu funkciju.) Dakle, vrijedi da je
[dtex]\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = -B + B = 0.[/dtex]
Sada se vratimo na poglavlje 2.4 i dio (a) zadatka 2.38:
[dtex]\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t + \frac{1}{2}\right)^2\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + 2t + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t + \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(2t\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = 2\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \ldots[/dtex]
Dalje isto kao u rješenju... Ova zadnja jednakost vrijedi jer je podintegralna funkcija parna - probajte to sami dokazati općenito, dokaz je skoro pa isti kao i ovo gore što sam za neparne napisano (napravite ga za općenitu funkciju!) Za parne je još malo lakše jer se ne treba "paziti" na minuse.
Ako je bilo što nejasno - samo pitajte!
Nadam se da sam uspio razjasniti!
Sretno!
|
|
| [Vrh] |
|
rhldj
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 05. 2020. (22:48:45)
Postovi: (2)16
|
|
| [Vrh] |
|
JANKRI
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
| Postano: 18:10 sub, 23. 5. 2020 Naslov: |
|
|
|
Neka je [tex]g(x) = \text{arctg}(f(x))[/tex], tada je [tex]g'(x) = \dfrac{f'(x)}{1 + f^2(x)}[/tex], iz čega vidimo da je [tex]g'(x) + 1 = \dfrac{f'(x) + f^2(x) + 1}{1 + f^2(x)} \geq 0[/tex], odnosno [tex]g'(x) \geq -1[/tex].
Iz toga najprije zaključimo da je
[dtex]\int\limits_a^bg'(x)\text{d}x \geq \int\limits_a^b(-1)\text{d}x = a - b,[/dtex]
dok je s druge strane
[dtex]\int\limits_a^bg'(x)\text{d}x = \left.g(x)\right|_a^b = \dfrac{-\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} = -\pi .[/dtex]
Stoga je [tex]-\pi \geq a - b[/tex], odnosno [tex]b - a \geq \pi[/tex].
Ako ima nekih nejasnoća, rado ću pojasniti. :)
Nekako mislim da je nakon prvog koraka "neka je [tex]g(x) = \text{arctg}(f(x))[/tex]" sve čisto (ili bi barem trebalo biti).
Pitanje je "od kud da se sjetim arkus tangensa??".
Imate vezu između [tex]f'(x)[/tex] i [tex]f^2(x)[/tex], što se točno pojavljuje kada deriviramo [tex]\text{arctg}(f(x))[/tex]. Također, morate od nekud "izvuć" onaj [tex]\pi[/tex]. Nema ga nigdje, a baš je nekako zgodno da je arkus tanges u [tex]\pm\infty[/tex] jednak [tex]\pm\dfrac{\pi}{2}[/tex], a nama upravo to i treba. :)
Uglavnom, kao i uvijek - odgovor je vježba.
Neka je [tex]g(x) = \text{arctg}(f(x))[/tex], tada je [tex]g'(x) = \dfrac{f'(x)}{1 + f^2(x)}[/tex], iz čega vidimo da je [tex]g'(x) + 1 = \dfrac{f'(x) + f^2(x) + 1}{1 + f^2(x)} \geq 0[/tex], odnosno [tex]g'(x) \geq -1[/tex].
Iz toga najprije zaključimo da je
[dtex]\int\limits_a^bg'(x)\text{d}x \geq \int\limits_a^b(-1)\text{d}x = a - b,[/dtex]
dok je s druge strane
[dtex]\int\limits_a^bg'(x)\text{d}x = \left.g(x)\right|_a^b = \dfrac{-\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} = -\pi .[/dtex]
Stoga je [tex]-\pi \geq a - b[/tex], odnosno [tex]b - a \geq \pi[/tex].
Ako ima nekih nejasnoća, rado ću pojasniti.
Nekako mislim da je nakon prvog koraka "neka je [tex]g(x) = \text{arctg}(f(x))[/tex]" sve čisto (ili bi barem trebalo biti).
Pitanje je "od kud da se sjetim arkus tangensa??".
Imate vezu između [tex]f'(x)[/tex] i [tex]f^2(x)[/tex], što se točno pojavljuje kada deriviramo [tex]\text{arctg}(f(x))[/tex]. Također, morate od nekud "izvuć" onaj [tex]\pi[/tex]. Nema ga nigdje, a baš je nekako zgodno da je arkus tanges u [tex]\pm\infty[/tex] jednak [tex]\pm\dfrac{\pi}{2}[/tex], a nama upravo to i treba.
Uglavnom, kao i uvijek - odgovor je vježba.
|
|
| [Vrh] |
|
rhldj
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 05. 2020. (22:48:45)
Postovi: (2)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
