Rješenje 4. zadatka s 2. kolokvija

[Juraj Siftar]

Rješenje 4. zadatka s kolokvija
(jedna od varijanti, samo s malom razlikom u brojevima)


Neka su (2,1,0), (1,0,2) i (0,2,1) rješenja jednog nehomogenog sustava
linearnih jednadžbi.
(a) Napišite neka tri rješenja pridruženog homogenog sustava,
različita od (0,0,0).
Kakvu strukturu ima skup svih rješenja ovog homogenog sustava?
(b) Napišite skup svih rješenja tog nehomogenog sustava.
(c) Je li neki od vektora (3,3,3) i (1,1,1) također rješenje tog nehomogenog
sustava? Obrazložite.

Ovaj zadatak uglavnom je ekvivalentan geometrijskom zadatku
da se odredi skup svih točaka ravnine zadane trima točkama.
Ravnina ne prolazi točkom (0,0,0), jer je sustav nehomogen pa
(0,0,0) nije rješenje, a skup rješenja pridruženog homogenog sustava
je paralelna ravnina kroz (0,0,0), dakle 2-dimenzionalni potprostor od
V^3(O), odnosno R^3.

(a) Rješenja pridruženog homogenog sustava možemo dobiti kao
razlike rješenja nehomogenog sustava (ali ne kao bilo kakve linearne
kombinacije rješenja nehomogenog sustava, jer iz AR1 = B i AR2 = B
slijedi A(R1 - R2) = B - B = 0, ali npr. AR1 + AR2 = B + B = 2B,
različito od B, pa R1 + R2 nije rješenje homogenog sustava).
Dakle, tri rješenja su npr. (1,1,-2), (1,-2,1), (-2,1,1), a kako je
skup zadana 3 rješenja linearno nezavisan, skup rješenja homogenog
sustava je potprostor dimenzije 2 (dakle, ravnina).

(b) Skup svih rješenja nehomogenog sustava možemo napisati u obliku
R = R0 + H, pri čemu se za R0 (partikularno rješenje) može uzeti
npr. bilo koje od 3 zadana rješenja, a H = [{1,1,-2), (1,-2,1}].

U parametarskom obliku:

(x,y,z) = (2,1,0) + s(1,1,-2) + t(1,-2,1),

što je, dakako, parametarski oblik jednadžbe ravnine.
(Nehomogeni sustav o kojem je riječ može se sastojati od jedne jedine
jednadžbe, koja se lako odredi, ali to nije potrebno raditi jer se sve
može izračunati iz zadanih rješenja.
Jednadžba glasi x + y + z = 3).

(c) (1,1,1) jest rješenje tog nehomogenog sustava, ali (3,3,3) to nije.
Malo općentije, ako je AR1 = AR2 = AR3 = B, onda je
A(R1+R2+R3) = A(3,3,3) = 3B, što je različito od B.
Međutim, množenje faktorom 1/3 daje rješenje.
Odnosno, točka (1,1,1) pripada ravnini određenoj sa zadane tri točke,
dok joj (3,3,3) ne pripada.

Neke od najčešćih pogrešaka u pokušajima rješavanja bile su
miješanje rješenja nehomogenog i homogenog sustava te
kojekakve primjene pogrešnog uvjerenja da je svaka linearna
kombinacija rješenja nehomogenog sustava također rješenje
tog sustava.

[Euler]

Mozete li objasniti ...kako je
skup zadana 3 rješenja linearno nezavisan, skup rješenja homogenog
sustava je potprostor dimenzije 2 , tj. zaključak da je dimH=2?
Tj. ako smo dobili da su navedena tri rješenja nehomogenog sustava linearno nezavisna i naravno elementi iz H, ne bi li onda dim H>=3 pa (slično kao u zadatku 6. a) iz 11. vježbi) pronađemo još neki uvjet da odredimo dimenziju?

[Gost]

Očito je riječ o sustavu s 3 nepoznanice.

Rješenja homogenog sustava čine potprostor H
3-dimenzionalnog prostora R^3 (ili F^3, za polje F),
a budući da zadana rješenja nehomogenog sustava daju
2 linearno nezavisna rješenja homogenog sustava,
to je dim H barem 2.

Ako ne bi bila točno 2, onda bi H bio cijeli R^3, što
je nemoguće jer bi svaki vektor iz R^3 bio
rješenje i nehomogenog i homogenog sustava.

Čim postoji barem jedna nehomogena jednadžba,
a sustav jest rješiv,
ne može svaki vektor biti rješenje.

J. Š.

[Euler]

U redu, intuitivno objašnjenje da ne može biti dimH=3 mi je sasvim jasno, ali problem mi stvara što su (1,1,-2), (1,-2,1), (-2,1,1) linearno nezavisni i nalaze se u potprostoru rješenja pripadnog homogenog sustava, a znamo da se svaki linearno nezavisan skup nalazi u bazi (ili je on sam baza) nekog vektorskog potprostora pa bi to povlačilo da je kardinalitet skupa baze najmanje tri, a isto tako i dimenzija (znam da dimH ne može biti 3, samo me zanima u čemu griješim u gornjem razmišljanju). Ako biste mogli konkretno napisati koja točno 2 linearno nezavisna rješenja iz: budući da zadana rješenja nehomogenog sustava daju 2 linearno nezavisna rješenja homogenog sustava .

[Gost]

Nisu linearno nezavisni,
zbroj im je nulvektor.

J. Š.

[Euler]

Pardon, moja (brzopleta) greška. Hvala Vam, sada je sve jasno.