|
Evo i komentara pa rješenja.
Svi su dobili svoje rezultate u bodovima mailom,
pojedinačno.
Prosjek iznosi oko 24 boda, što od ukupno 60 nije
baš sjajan rezultat, no završno vjerojatno neće sve
proći loše, jer bi - nakon rujanskog roka -
predmet moglo položiti 11 studentica i studenata,
što je više nego godinama unatrag.
Mislim da je, kao i često dosad, do izražaja došao
zamor pri kraju ispitnog roka pa se nekolicina nije
uspjela dobro pripremiti. Neki su se unaprijed
odlučili za odgodu izlaska do rujna, a neki će to
morati učiniti ako namjeravaju položiti ispit ili
možda dobiti bolju ocjenu nego što bi to bilo nakon
ovog ispita.
Značajnu ulogu, kako je i planirano, trebalo bi
imati rješavanje domaćih zadaća pa je i ovaj
pisani ispit koncipiran tako da bi se puno moglo
postići malo boljim podsjećanjem na sadržaj
tih zadaća, dakako u spoju s osnovnom upućenosti
u gradivo po skriptama - ali bez ikakvih težih
računa ili složenijih dokaza.
Ovo će biti argumentirano i pregledom rješenja,
koji slijedi.
Premda izgleda da zadataka i podzadataka ima
puno, u nekima su rješenja mogla biti dosta kratka
pa su upućeni u gradivo (i pažljiviji u računanju)
mogli prilično brzo na njima zaraditi bodove.
U 2. zadatku zapravo se traži samo usporedba
broja blokova 3-(12,6,2) dizajna i 5-(12,6,1) dizajna.
Poznate osnovne formule daju 22 bloka za prvi.
a 132 bloka, dakle 6 puta više za drugi.
Time je plan istraživanja po prvom dizajnu znatno
jeftiniji, ali po drugom svaka petorka bila bi
rangirana, što bi trebalo dati precizniji ishod,
iako uz veću cijenu.
U 5. zadatku riječ je, ukratko, o Primjeru 8.10.
u skriptama (najjednostavnija konstrukcija MOLS,
nad konačnim poljem) i Teoremu 9.36.
o kodu povezanom s prethodnim MOLS.
4. zadatak, koji je naglašenije geometrijskog
karaktera, slabije je (i rjeđe) rješavan. U 2. domaćoj
zadaći bilo je dovoljno elemenata za to.
U PG(2,q) broj pravaca, kao i broj točaka, iznosi
q^2 + q + 1. Konika se sastoji od q+1 točaka, a
svakom od njih prolazi jedna tangenta, dok sekanti
ukupno ima (q+1)q/2.
Preostaje q(q-1)/2 pravaca koji nemaju zajedničkih
točaka s konikom.
Primjer neraspadnute konike u GF(5) lako je naći,
kao i pravac koji ne siječe tu koniku.
6. zadatak predstavlja samo mali uzorak iz
poglavlja o kodovima, namjerno, jer taj dio nije
ušao u domaće zadaće pa je vjerojatno manje
proučavan. Oni koji su čitali barem prvi dio
poglavlja, a uz malu uputu, glatko su izložili
dokaz Propozicije 9.7. o Singletonovoj ocjeni.
Nitko nije baš stvarno riješio (a), gdje je odgovor
potvrdan. Za kod sa zadanim svojstvima treba
vrijediti
2^k (1 + n) = 2^n
pa mali račun daje parametre kao za Hammingov
kod, uz n-k = r.
Prilično razočaranje predstavlja 1. zadatak za koji
je namjera bila da se zaradi dosta bodova, tako da
se po zadanom kriteriju samo "proberu" poznati
dizajni s popisa onih koji sigurno postoje -
afine ravnine 2-(n^2, n, 1) za n koji je prim broj
ili potencija prim broja,
projektivne ravnine 2-(n^2 + n + 1, n + 1, 1)
također za takve n,
Hadamardovi dizajni (preciznije, komplementi)
oblika 2-(4p-1, 2p, p),
a za p = 5 također se po općem teoremu zna da
su nužni uvjeti ujedno i dovoljni.
Dakle, za (a) samo se nanižu afine ravnine
od 2-(25,5,1) do (29^2, 29, 1), a tu je npr. i
(21,5,1) - što je projektivna ravnina reda 4.
Za (b) sigurnost postojanja daje takav prim p
da 2p -1 bude potencija prim broja.
Lako se prođe kroz zadani raspon vrijednosti
pa npr. za p = 7 imamo (v, 14, 1), što je
projektivna ravnina reda 13 za v = 183.
Međutim, za p = 23 je 2p - 1 = 45, ali nije
poznato postoji li projektivna ravnina tog reda.
Pod (c), svi (4p-1,2p,p) u zadanom intervalu
za p postoje, samo s razlikom da za neke znamo
unutar naučenog kako bi se konstruirali,
npr. (19,10,5), dok npr. za (51,26,13) to ne bi
išlo naučenim metodama.
Dobar dio rješavanja ovdje se zapravo ograničio
na razmatranje nužnih uvjeta, zanemarujući
ključnu riječ [i]sigurno[/i] postoje.
Napokon, 3. zadatak zamišljen je kao lagana
šetnja po poznatom terenu, samo nije baš tako
ispalo. Neki su zaboravili (premda je namjerno
stavljeno kao trivijalni podzadatak da se provjeri
simetričnost dizajna, samo radi isticanja [i]simetričnosti[/i])
kako u tom slučaju valja provjeriti i uvjet iz
ključnog teorema Bruck-Ryser-Chowla.
Tu se vidjelo i kojekakvih pogrešaka pri pukom
uvrštavanju brojeva, što pripisujem umoru i
dekoncentraciji.
Prva 3 člana serije dizajna imaju parametre (31,10,3),
(69,17,4) i (223, 37, 6)
(zapravo ovo prolazi i za λ = 2, što daje (11,5,2),
Hadamardov dizajn, ali formalno λ-1 = 1 tada nije
prim broj; zapravo se i željelo izbjeći taj primjer).
Za sva tri dolazi u obzir pod (b) istraživanje konstrukcije
pomoću diferencijskog skupa s multiplikatorom.
No, za dva veća posao bi bio beznadan, pogotovo
na ispitu, ali (31,10,3) je poznati primjer iz skripata:
6.27. Ako bi postojao diferencijski skup (31,10,3),
p = 7 morao bi biti multiplikator, ali primjenom
na cikličku grupu reda 31 dobiva se (0) i dva ciklusa
duljine 15, što ne odgovara bloku od 10 točaka.
To je uglavnom sve, nadam se da bi pomoglo pomoći
kod daljnjeg učenja.
Evo i komentara pa rješenja.
Svi su dobili svoje rezultate u bodovima mailom,
pojedinačno.
Prosjek iznosi oko 24 boda, što od ukupno 60 nije
baš sjajan rezultat, no završno vjerojatno neće sve
proći loše, jer bi - nakon rujanskog roka -
predmet moglo položiti 11 studentica i studenata,
što je više nego godinama unatrag.
Mislim da je, kao i često dosad, do izražaja došao
zamor pri kraju ispitnog roka pa se nekolicina nije
uspjela dobro pripremiti. Neki su se unaprijed
odlučili za odgodu izlaska do rujna, a neki će to
morati učiniti ako namjeravaju položiti ispit ili
možda dobiti bolju ocjenu nego što bi to bilo nakon
ovog ispita.
Značajnu ulogu, kako je i planirano, trebalo bi
imati rješavanje domaćih zadaća pa je i ovaj
pisani ispit koncipiran tako da bi se puno moglo
postići malo boljim podsjećanjem na sadržaj
tih zadaća, dakako u spoju s osnovnom upućenosti
u gradivo po skriptama - ali bez ikakvih težih
računa ili složenijih dokaza.
Ovo će biti argumentirano i pregledom rješenja,
koji slijedi.
Premda izgleda da zadataka i podzadataka ima
puno, u nekima su rješenja mogla biti dosta kratka
pa su upućeni u gradivo (i pažljiviji u računanju)
mogli prilično brzo na njima zaraditi bodove.
U 2. zadatku zapravo se traži samo usporedba
broja blokova 3-(12,6,2) dizajna i 5-(12,6,1) dizajna.
Poznate osnovne formule daju 22 bloka za prvi.
a 132 bloka, dakle 6 puta više za drugi.
Time je plan istraživanja po prvom dizajnu znatno
jeftiniji, ali po drugom svaka petorka bila bi
rangirana, što bi trebalo dati precizniji ishod,
iako uz veću cijenu.
U 5. zadatku riječ je, ukratko, o Primjeru 8.10.
u skriptama (najjednostavnija konstrukcija MOLS,
nad konačnim poljem) i Teoremu 9.36.
o kodu povezanom s prethodnim MOLS.
4. zadatak, koji je naglašenije geometrijskog
karaktera, slabije je (i rjeđe) rješavan. U 2. domaćoj
zadaći bilo je dovoljno elemenata za to.
U PG(2,q) broj pravaca, kao i broj točaka, iznosi
q^2 + q + 1. Konika se sastoji od q+1 točaka, a
svakom od njih prolazi jedna tangenta, dok sekanti
ukupno ima (q+1)q/2.
Preostaje q(q-1)/2 pravaca koji nemaju zajedničkih
točaka s konikom.
Primjer neraspadnute konike u GF(5) lako je naći,
kao i pravac koji ne siječe tu koniku.
6. zadatak predstavlja samo mali uzorak iz
poglavlja o kodovima, namjerno, jer taj dio nije
ušao u domaće zadaće pa je vjerojatno manje
proučavan. Oni koji su čitali barem prvi dio
poglavlja, a uz malu uputu, glatko su izložili
dokaz Propozicije 9.7. o Singletonovoj ocjeni.
Nitko nije baš stvarno riješio (a), gdje je odgovor
potvrdan. Za kod sa zadanim svojstvima treba
vrijediti
2^k (1 + n) = 2^n
pa mali račun daje parametre kao za Hammingov
kod, uz n-k = r.
Prilično razočaranje predstavlja 1. zadatak za koji
je namjera bila da se zaradi dosta bodova, tako da
se po zadanom kriteriju samo "proberu" poznati
dizajni s popisa onih koji sigurno postoje -
afine ravnine 2-(n^2, n, 1) za n koji je prim broj
ili potencija prim broja,
projektivne ravnine 2-(n^2 + n + 1, n + 1, 1)
također za takve n,
Hadamardovi dizajni (preciznije, komplementi)
oblika 2-(4p-1, 2p, p),
a za p = 5 također se po općem teoremu zna da
su nužni uvjeti ujedno i dovoljni.
Dakle, za (a) samo se nanižu afine ravnine
od 2-(25,5,1) do (29^2, 29, 1), a tu je npr. i
(21,5,1) - što je projektivna ravnina reda 4.
Za (b) sigurnost postojanja daje takav prim p
da 2p -1 bude potencija prim broja.
Lako se prođe kroz zadani raspon vrijednosti
pa npr. za p = 7 imamo (v, 14, 1), što je
projektivna ravnina reda 13 za v = 183.
Međutim, za p = 23 je 2p - 1 = 45, ali nije
poznato postoji li projektivna ravnina tog reda.
Pod (c), svi (4p-1,2p,p) u zadanom intervalu
za p postoje, samo s razlikom da za neke znamo
unutar naučenog kako bi se konstruirali,
npr. (19,10,5), dok npr. za (51,26,13) to ne bi
išlo naučenim metodama.
Dobar dio rješavanja ovdje se zapravo ograničio
na razmatranje nužnih uvjeta, zanemarujući
ključnu riječ sigurno postoje.
Napokon, 3. zadatak zamišljen je kao lagana
šetnja po poznatom terenu, samo nije baš tako
ispalo. Neki su zaboravili (premda je namjerno
stavljeno kao trivijalni podzadatak da se provjeri
simetričnost dizajna, samo radi isticanja simetričnosti)
kako u tom slučaju valja provjeriti i uvjet iz
ključnog teorema Bruck-Ryser-Chowla.
Tu se vidjelo i kojekakvih pogrešaka pri pukom
uvrštavanju brojeva, što pripisujem umoru i
dekoncentraciji.
Prva 3 člana serije dizajna imaju parametre (31,10,3),
(69,17,4) i (223, 37, 6)
(zapravo ovo prolazi i za λ = 2, što daje (11,5,2),
Hadamardov dizajn, ali formalno λ-1 = 1 tada nije
prim broj; zapravo se i željelo izbjeći taj primjer).
Za sva tri dolazi u obzir pod (b) istraživanje konstrukcije
pomoću diferencijskog skupa s multiplikatorom.
No, za dva veća posao bi bio beznadan, pogotovo
na ispitu, ali (31,10,3) je poznati primjer iz skripata:
6.27. Ako bi postojao diferencijski skup (31,10,3),
p = 7 morao bi biti multiplikator, ali primjenom
na cikličku grupu reda 31 dobiva se (0) i dva ciklusa
duljine 15, što ne odgovara bloku od 10 točaka.
To je uglavnom sve, nadam se da bi pomoglo pomoći
kod daljnjeg učenja.
|
