|
[b]1. zadatak[/b]
(a) Dovoljno je naći sve matrice koje komutiraju s antisimetričnom matricom
A = [0 1 // -1 0],
jer ona čini bazu potprostora antisimetričnih matrica.
Izravno se dobiva da su tražene matrice oblika
B = [ a b // -b a]
te očito čine potprostor dimenzije 2, linearnu ljusku [I, A]
(što je ujedno i direktna suma potprostora skalarnih i
antisimetričnih matrica).
(b)
Označimo li s K potprostor određen u (a), (K,+) već je time
Abelova grupa.
Izravno se provjeri da je K zatvoren s obzirom na množenje matrica
te da u njemu vrijedi komutativnost množenja.
Jedinična matrica I nalazi se u K, a sve ne-nul matrice u K su
regularne, budući da je det B = a^2 +b^2 .
Inverzna matrica B^(-1) ∊ K, jer B^(-1) jednaka je umnošku
1/ (a^2 +b^2) i matrice [ a -b // b a].
Svojstva asocijativnosti množenja i distributivnosti prema
zbrajanju nasljeđuju se pa je K doista polje.
[b]5. zadatak[/b]
(a) Iz 4 uvjeta oblika p(t_i ) = c_i , i = 1,2,3,4, za zadane
vrijednosti dobivamo sustav od 4 linearne jednadžbe
sa 6 nepoznanica (koeficijenata traženih polinoma stupnja
najviše 5), odnosno odmah se svodi na
3 jednadžbe s 5 nepoznanica, budući da je slobodni
koeficijent p(0) = -1.
Nakon malo sređivanja dobiva se sustav:
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1
a1 - a2 + a3 - a4 + a5 = -1
a1 + sqrt(2) a2 + 2 a3 + 2 sqrt(2)a4 + 4 a5 = 4 .
Sustav ima 2-parametarsko rješenje. Ako se za slobodne parametre izaberu a2 i a5 ,
dobiva se opće rješenje
p(t) = -1 – 2t + 3 t^3 + a2 (-sqrt(2) t + t^2 + sqrt(2)t^3 – t4) +
a5 (2t - 3t^3 + t^5 ) .
Npr. za a2 =0, a5 = 1 partikularno rješenje je p(t) = -1 + t^5 .
Izborom a5 = 0 dobiva se skup svih rješenja stupnja strogo manjeg od 5.
Prije rješavanja sustava može se lako vidjeti da je rang matrice
sustava jednak 3, dakle proširena matrica ne može imati veći rang
pa je sustav rješiv i ima 2-parametarsko rješenje.
(Općenito, poznati teorem govori da je polinom n-tog stupnja
jednoznačno određen svojim vrijednostima u n+1 različitih točaka,
jer se time dobiva Cramerov sustav za n+1 koeficijenata.
Za manje od n+1 točaka i pripadnih vrijednosti bit će beskonačno
mnogo rješenja. U ovom zadatku vidimo jedinstveno rješenje
stupnja 3, to je p(t) = -1 – 2t + 3 t^3 . )
1. zadatak
(a) Dovoljno je naći sve matrice koje komutiraju s antisimetričnom matricom
A = [0 1 // -1 0],
jer ona čini bazu potprostora antisimetričnih matrica.
Izravno se dobiva da su tražene matrice oblika
B = [ a b // -b a]
te očito čine potprostor dimenzije 2, linearnu ljusku [I, A]
(što je ujedno i direktna suma potprostora skalarnih i
antisimetričnih matrica).
(b)
Označimo li s K potprostor određen u (a), (K,+) već je time
Abelova grupa.
Izravno se provjeri da je K zatvoren s obzirom na množenje matrica
te da u njemu vrijedi komutativnost množenja.
Jedinična matrica I nalazi se u K, a sve ne-nul matrice u K su
regularne, budući da je det B = a^2 +b^2 .
Inverzna matrica B^(-1) ∊ K, jer B^(-1) jednaka je umnošku
1/ (a^2 +b^2) i matrice [ a -b // b a].
Svojstva asocijativnosti množenja i distributivnosti prema
zbrajanju nasljeđuju se pa je K doista polje.
5. zadatak
(a) Iz 4 uvjeta oblika p(t_i ) = c_i , i = 1,2,3,4, za zadane
vrijednosti dobivamo sustav od 4 linearne jednadžbe
sa 6 nepoznanica (koeficijenata traženih polinoma stupnja
najviše 5), odnosno odmah se svodi na
3 jednadžbe s 5 nepoznanica, budući da je slobodni
koeficijent p(0) = -1.
Nakon malo sređivanja dobiva se sustav:
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1
a1 - a2 + a3 - a4 + a5 = -1
a1 + sqrt(2) a2 + 2 a3 + 2 sqrt(2)a4 + 4 a5 = 4 .
Sustav ima 2-parametarsko rješenje. Ako se za slobodne parametre izaberu a2 i a5 ,
dobiva se opće rješenje
p(t) = -1 – 2t + 3 t^3 + a2 (-sqrt(2) t + t^2 + sqrt(2)t^3 – t4) +
a5 (2t - 3t^3 + t^5 ) .
Npr. za a2 =0, a5 = 1 partikularno rješenje je p(t) = -1 + t^5 .
Izborom a5 = 0 dobiva se skup svih rješenja stupnja strogo manjeg od 5.
Prije rješavanja sustava može se lako vidjeti da je rang matrice
sustava jednak 3, dakle proširena matrica ne može imati veći rang
pa je sustav rješiv i ima 2-parametarsko rješenje.
(Općenito, poznati teorem govori da je polinom n-tog stupnja
jednoznačno određen svojim vrijednostima u n+1 različitih točaka,
jer se time dobiva Cramerov sustav za n+1 koeficijenata.
Za manje od n+1 točaka i pripadnih vrijednosti bit će beskonačno
mnogo rješenja. U ovom zadatku vidimo jedinstveno rješenje
stupnja 3, to je p(t) = -1 – 2t + 3 t^3 . )
|
