|
Pozdrav. U skripti iz vjezbi ne postoje rjesenja zadataka 9.16. i 9.17. pa ih postam ovdje u nadi da ce se naci dobra dusa da ih objasni.
9.16. Neka je [tex]\lambda[/tex] Lebesgueova mjera, a [tex]\mu[/tex] brojeca mjera na [tex]([0,1], B([0,1]))[/tex]. Dokazite da je [tex]\lambda << \mu[/tex], ali da ne postoji izmjeriva funkcija [tex]f[/tex] takva da je [tex]\lambda (E) = \int_{E} f d\mu, E \in B([0,1]).[/tex]
Pretpostavljam da za dokaz [tex]\lambda << \mu[/tex] treba zakljuciti da ako je [tex]\mu (E) = 0[/tex], onda [tex]E \cap [0,1]=\emptyset[/tex] pa je i [tex]\lambda (E) = 0.[/tex] Drugi dio nemam pojma, pokusala sam pretpostaviti suprotno ali ne znam kako bih dokazala da [tex]f[/tex] nije izmjeriva. Bi li bilo korektno tu kao dokaz uzeti specificnu funkciju i specifican skup za koje jednakost ne vrijedi?
9.17. Neka je [tex]\lambda[/tex] Lebesgueova mjera na [tex](\langle 0,+\infty\rangle, B(\langle 0,+\infty\rangle))[/tex] te neka je [tex]\mu[/tex] mjera na istom prostoru dana s [tex]\mu = \sum_{n=1}^{+\infty} (-2)^{n} \lambda |_{\langle n-1,n]}[/tex].
a) Ispitajte vrijedi li [tex]\lambda << \mu[/tex] i [tex]\mu << \lambda[/tex].
[tex]\lambda << \mu[/tex] ne vrijedi za [tex]E = \langle 0,1.5][/tex] jer [tex]\mu(E)=0[/tex], a [tex]\lambda(E)=1.5[/tex].
[tex]\mu << \lambda[/tex] vrijedi jer za [tex]E \in B(\langle 0,+\infty\rangle )[/tex] t.d. [tex]\lambda (E) = 0[/tex] onda vrijedi i [tex]\lambda |_{\langle n-1,n]} (E) = 0[/tex] [tex] \forall n \in \mathbb{N}[/tex].
b) Odredite [tex]\frac{d\lambda}{d\mu}[/tex], [tex]\frac{d\mu}{d\lambda}[/tex] i [tex]\frac{d(\lambda + \mu)}{d\lambda}[/tex].
Doslovce nemam pojma kako uopce pristupiti odredjivanju tih funkcija. Ne vidim u prijasnjim zadacima neki opceniti princip kako se tome pristupa pa bih bila zahvalna na bilo kakvom savjetu ili uputi.
Pozdrav. U skripti iz vjezbi ne postoje rjesenja zadataka 9.16. i 9.17. pa ih postam ovdje u nadi da ce se naci dobra dusa da ih objasni.
9.16. Neka je [tex]\lambda[/tex] Lebesgueova mjera, a [tex]\mu[/tex] brojeca mjera na [tex]([0,1], B([0,1]))[/tex]. Dokazite da je [tex]\lambda << \mu[/tex], ali da ne postoji izmjeriva funkcija [tex]f[/tex] takva da je [tex]\lambda (E) = \int_{E} f d\mu, E \in B([0,1]).[/tex]
Pretpostavljam da za dokaz [tex]\lambda << \mu[/tex] treba zakljuciti da ako je [tex]\mu (E) = 0[/tex], onda [tex]E \cap [0,1]=\emptyset[/tex] pa je i [tex]\lambda (E) = 0.[/tex] Drugi dio nemam pojma, pokusala sam pretpostaviti suprotno ali ne znam kako bih dokazala da [tex]f[/tex] nije izmjeriva. Bi li bilo korektno tu kao dokaz uzeti specificnu funkciju i specifican skup za koje jednakost ne vrijedi?
9.17. Neka je [tex]\lambda[/tex] Lebesgueova mjera na [tex](\langle 0,+\infty\rangle, B(\langle 0,+\infty\rangle))[/tex] te neka je [tex]\mu[/tex] mjera na istom prostoru dana s [tex]\mu = \sum_{n=1}^{+\infty} (-2)^{n} \lambda |_{\langle n-1,n]}[/tex].
a) Ispitajte vrijedi li [tex]\lambda << \mu[/tex] i [tex]\mu << \lambda[/tex].
[tex]\lambda << \mu[/tex] ne vrijedi za [tex]E = \langle 0,1.5][/tex] jer [tex]\mu(E)=0[/tex], a [tex]\lambda(E)=1.5[/tex].
[tex]\mu << \lambda[/tex] vrijedi jer za [tex]E \in B(\langle 0,+\infty\rangle )[/tex] t.d. [tex]\lambda (E) = 0[/tex] onda vrijedi i [tex]\lambda |_{\langle n-1,n]} (E) = 0[/tex] [tex] \forall n \in \mathbb{N}[/tex].
b) Odredite [tex]\frac{d\lambda}{d\mu}[/tex], [tex]\frac{d\mu}{d\lambda}[/tex] i [tex]\frac{d(\lambda + \mu)}{d\lambda}[/tex].
Doslovce nemam pojma kako uopce pristupiti odredjivanju tih funkcija. Ne vidim u prijasnjim zadacima neki opceniti princip kako se tome pristupa pa bih bila zahvalna na bilo kakvom savjetu ili uputi.
|
