|
Evo nekoliko zadataka o polaritetima i konikama. Papiri s ovim zadacima
bit će podijeljeni na sutrašnjem, zadnjem predavanju (četvrtak,
26. siječnja). Daljnji zadaci na ovu temu bit će naknadno objavljeni
na forumu, a moći će se dobiti i isprintani kod J. Š. na konzultacijama
ili po dogovoru.
1. Konika [i]C[/i] zadana je jednadžbom
2 x0^2 – x1^2 – x2^2 - 2x0x1 - 4 x0x2 = 0.
(a) Odredite vrhove nekog autopolarnog trovrha u polaritetu određenom ovom konikom.
(b) Odredite (ako postoje) sjecišta F i G zadane konike i pravca
[i]p[/i]...4 x0 -x1 + x2 = 0.
(c) Kakvog je tipa ova konika u afinoj ravnini (uz uobičajeni izbor
pravca x0 = 0 kao neizmjerno dalekog pravca)?
(d) Na zadanom pravcu [i]p[/i] konika [i]C[/i], odnosno pripadni polaritet, inducira involutorni projektivitet.
Izaberite po volji točku T pravca [i]p[/i], koja nije fiksna u tom projektivitetu te izračunajte njezinu sliku T'
(u projektivitetu).
Provjerite računom da vrijedi H(F,G;T,T').
2. Pravac x0 = 0 nema zajedničkih točaka s konikom [i]C[/i] iz 1. zadatka
(u realnoj projektivnoj ravnini PG(2,[b]R[/b]).
Konika [i]C[/i], odnosno pripadni polaritet, inducira i na tom pravcu (kao i na svakom drugom)
involutorni projektivitet, samo što je taj eliptički.
Odredite jednadžbe tog projektiviteta.
Računajući formalno s kompleksnim točkama na pravcu
x0 = 0 (primjerice, na taj način točka (0, -1, 1+i) pripada tom pravcu) ispitajte vrijedi li također relacija oblika
H(F,G;T,T') za točke tog pravca.
3. Odredite jednadžbu konike koja: (a) prolazi točkama A(1,1,1), B(3,-1,-1), C(1,1,0), D(4,-1,0), E(7,5,0);
(b) prolazi točkom T(1,2,3) i tangira pravce koji čine singularnu koniku x0^2 – x1^2 = 0
u njihovim sjecištima s pravcem x2 = 0.
Za konike u rješenjima (a) i (b) ispitajte kojeg su tipa u afinoj ravnini.
Uputa za (a): Jedan način rješavanja, dakako, sastoji se u uvrštavanju koordinata zadanih točaka u
opću jednadžbu konike pa se njezini koeficijenti izračunavaju iz sustava linearnih jednadžbi.
Varijanta je tog postupka da se napiše determinanta 6. reda
koja npr. u prvom retku ima (x0^2 x1^2 x2^2 x0x1 x0x2 x1x2 ),
a ostali retci popune se odgovarajućim vrijednostima za zadanih 5 točaka. Razvije se i izjednači s 0.
Vjerojatno najpraktičnije je poslužiti se pramenom konika kroz 4 točke, tako da se uzmu najprije dvije
singularne konike, npr. AB i AC, AD i BD, i napiše se
linearna kombinacija njihovih jednadžbi (umnošci po dva pravca).
Na kraju se peta točka uvrsti kako bi se odredili preostali koeficijenti.
4. Odredite tangente konike x0^2 + x1^2 – 2x0x1 - 2 x0x2 = 0 koje prolaze točkom M(1,1,-2).
5. Dokažite analitički ovaj Chaslesov teorem:
Ako neki trovrh nije autopolaran u zadanom polaritetu, onda polare njegovih vrhova sijeku
suprotne stranice tog trovrha u tri kolinearne točke. (Uočite osni perspektivitet).
6. Dokažite da ako su dva trovrha Desarguesova (centralno i osno perspektivni), onda postoji polaritet
koji ih preslikava međusobno.
Evo nekoliko zadataka o polaritetima i konikama. Papiri s ovim zadacima
bit će podijeljeni na sutrašnjem, zadnjem predavanju (četvrtak,
26. siječnja). Daljnji zadaci na ovu temu bit će naknadno objavljeni
na forumu, a moći će se dobiti i isprintani kod J. Š. na konzultacijama
ili po dogovoru.
1. Konika C zadana je jednadžbom
2 x0^2 – x1^2 – x2^2 - 2x0x1 - 4 x0x2 = 0.
(a) Odredite vrhove nekog autopolarnog trovrha u polaritetu određenom ovom konikom.
(b) Odredite (ako postoje) sjecišta F i G zadane konike i pravca
p...4 x0 -x1 + x2 = 0.
(c) Kakvog je tipa ova konika u afinoj ravnini (uz uobičajeni izbor
pravca x0 = 0 kao neizmjerno dalekog pravca)?
(d) Na zadanom pravcu p konika C, odnosno pripadni polaritet, inducira involutorni projektivitet.
Izaberite po volji točku T pravca p, koja nije fiksna u tom projektivitetu te izračunajte njezinu sliku T'
(u projektivitetu).
Provjerite računom da vrijedi H(F,G;T,T').
2. Pravac x0 = 0 nema zajedničkih točaka s konikom C iz 1. zadatka
(u realnoj projektivnoj ravnini PG(2,R).
Konika C, odnosno pripadni polaritet, inducira i na tom pravcu (kao i na svakom drugom)
involutorni projektivitet, samo što je taj eliptički.
Odredite jednadžbe tog projektiviteta.
Računajući formalno s kompleksnim točkama na pravcu
x0 = 0 (primjerice, na taj način točka (0, -1, 1+i) pripada tom pravcu) ispitajte vrijedi li također relacija oblika
H(F,G;T,T') za točke tog pravca.
3. Odredite jednadžbu konike koja: (a) prolazi točkama A(1,1,1), B(3,-1,-1), C(1,1,0), D(4,-1,0), E(7,5,0);
(b) prolazi točkom T(1,2,3) i tangira pravce koji čine singularnu koniku x0^2 – x1^2 = 0
u njihovim sjecištima s pravcem x2 = 0.
Za konike u rješenjima (a) i (b) ispitajte kojeg su tipa u afinoj ravnini.
Uputa za (a): Jedan način rješavanja, dakako, sastoji se u uvrštavanju koordinata zadanih točaka u
opću jednadžbu konike pa se njezini koeficijenti izračunavaju iz sustava linearnih jednadžbi.
Varijanta je tog postupka da se napiše determinanta 6. reda
koja npr. u prvom retku ima (x0^2 x1^2 x2^2 x0x1 x0x2 x1x2 ),
a ostali retci popune se odgovarajućim vrijednostima za zadanih 5 točaka. Razvije se i izjednači s 0.
Vjerojatno najpraktičnije je poslužiti se pramenom konika kroz 4 točke, tako da se uzmu najprije dvije
singularne konike, npr. AB i AC, AD i BD, i napiše se
linearna kombinacija njihovih jednadžbi (umnošci po dva pravca).
Na kraju se peta točka uvrsti kako bi se odredili preostali koeficijenti.
4. Odredite tangente konike x0^2 + x1^2 – 2x0x1 - 2 x0x2 = 0 koje prolaze točkom M(1,1,-2).
5. Dokažite analitički ovaj Chaslesov teorem:
Ako neki trovrh nije autopolaran u zadanom polaritetu, onda polare njegovih vrhova sijeku
suprotne stranice tog trovrha u tri kolinearne točke. (Uočite osni perspektivitet).
6. Dokažite da ako su dva trovrha Desarguesova (centralno i osno perspektivni), onda postoji polaritet
koji ih preslikava međusobno.
|
