|
[b]Zadaci s 1. kolokvija[/b]
1. Odredite sve vrijednosti [i]k[/i] > 3 za koje su ispunjeni nužni uvjeti postojanja
3-(2[i]k[/i], [i]k[/i], [i]k[/i]-2) dizajna.
Ako je [i]k[/i] neka (općenita) vrijednost za koju postoji takav dizajn, označimo ga s D,
definiramo incidencijsku strukturu D': Neka je T bilo koja točka iz D. Točke strukture D' tada su
sve točke iz D osim T, a blokovi u D' dobiveni su tako da se iz blokova u D koji su incidentni
s točkom T ukloni ta točka (T). (Blokovi iz D koji nisu incidentni s T ne ulaze u D').
Incidencija u D' naslijeđena je iz D restrikcijom.
Je li D' [i]t[/i]- ([i]v[/i], [i]k[/i], λ) dizajn za neke vrijednosti, uz [i]t[/i] > 1? Obrazložite.
2. Jesu li sljedeće dvije tvrdnje ekvivalentne za 2-([i]v[/i], [i]b[/i], [i]r[/i], [i]k[/i], λ) dizajn ([i]k[/i] > 2)?
(a) [i]v[/i] = [i]b[/i], to jest dizajn je simetričan;
(b) Postoji takav broj µ > 0 da su svaka dva bloka incidentna s točno µ
zajedničkih točaka.
Dokažite implikacije koje smatrate istinitima.
3. Ispitajte jesu li ispunjeni poznati nužni uvjeti postojanja simetričnog dizajna za trojke
([i]v[/i], [i]k[/i], λ) = ( 97, 33 , 11) i ( 53, 13, 3 ).
4. Poznato je da postoje projektivne ravnine reda [i]n[/i] za četiri uzastopne
vrijednosti [i]n[/i] = 2,3,4,5 te za tri uzastopne vrijednosti [i]n [/i]= 7,8,9.
(a) Postoje li još neka četiri uzastopna broja s tim svojstvom?
(b) Postoje li još neka tri uzastopna broja s tim svojstvom, veća od 9?
Pritom, „s tim svojstvom“ znači da je sigurno, iz poznatih rezultata, da
postoje projektivne ravnine navedenog reda. Obrazložite odgovore.
Zadaci s 1. kolokvija
1. Odredite sve vrijednosti k > 3 za koje su ispunjeni nužni uvjeti postojanja
3-(2k, k, k-2) dizajna.
Ako je k neka (općenita) vrijednost za koju postoji takav dizajn, označimo ga s D,
definiramo incidencijsku strukturu D': Neka je T bilo koja točka iz D. Točke strukture D' tada su
sve točke iz D osim T, a blokovi u D' dobiveni su tako da se iz blokova u D koji su incidentni
s točkom T ukloni ta točka (T). (Blokovi iz D koji nisu incidentni s T ne ulaze u D').
Incidencija u D' naslijeđena je iz D restrikcijom.
Je li D' t- (v, k, λ) dizajn za neke vrijednosti, uz t > 1? Obrazložite.
2. Jesu li sljedeće dvije tvrdnje ekvivalentne za 2-(v, b, r, k, λ) dizajn (k > 2)?
(a) v = b, to jest dizajn je simetričan;
(b) Postoji takav broj µ > 0 da su svaka dva bloka incidentna s točno µ
zajedničkih točaka.
Dokažite implikacije koje smatrate istinitima.
3. Ispitajte jesu li ispunjeni poznati nužni uvjeti postojanja simetričnog dizajna za trojke
(v, k, λ) = ( 97, 33 , 11) i ( 53, 13, 3 ).
4. Poznato je da postoje projektivne ravnine reda n za četiri uzastopne
vrijednosti n = 2,3,4,5 te za tri uzastopne vrijednosti n = 7,8,9.
(a) Postoje li još neka četiri uzastopna broja s tim svojstvom?
(b) Postoje li još neka tri uzastopna broja s tim svojstvom, veća od 9?
Pritom, „s tim svojstvom“ znači da je sigurno, iz poznatih rezultata, da
postoje projektivne ravnine navedenog reda. Obrazložite odgovore.
|
