|
[quote="Crni"]Može li mi netko riješiti zadatak?
Neka je F:R->R diferencijabilna funkcija, [latex]\Omega\subset R^{2}[/latex] otvoren skup i neka je [latex]f:\Omega\rightarrow R[/latex] funkcija takva da za sve [latex]\textstyle (x,y)\in\Omega[/latex] vrijedi
[latex]\displaystyle x+y+f(x,y)=F(x^{2}+y^{2}+(f(x,y))^{2})[/latex].
Treba provjeriti da vrijedi
[latex]\displaystyle (y-f(x,y))\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+(f(x,y)-x)\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=x-y[/latex][/quote]
Neka je G(x,y,z):=x+y+z-F(x^2+y^2+z^2) .
dG(x,y,z)/dz=1-F'(x^2+y^2+z^2)*2z . To je 0 samo tamo gdje je F'(x^2+y^2+z^2)=1/2z . U ostalim točkama gornja jednadžba se može (lokalno, ali to je sve što nam treba jer tražimo derivacije) riješiti po z , i dobije se z=f(x,y) za neku diferencijabilnu funkciju f (na nekoj okolini točke (x,y) , f može ovisiti o točki (x,y) ). Njene parcijalne derivacije dane su s
df(x,y)/dx=(dG(x,y,z)/dx)/(dG(x,y,z)/dz)=
=(1-F'(x^2+y^2+z^2)*2x)/(1-F'(x^2+y^2+z^2)*2z)=
=(1-F'(x^2+y^2+(f(x,y))^2)*2x)/nazivnik
i
df(x,y)/dx=(1-F'(x^2+y^2+(f(x,y))^2)*2y)/nazivnik
gdje je
nazivnik:=(1-F'(x^2+y^2+(f(x,y))^2)*2f(x,y)) .
Sad to uvrsti u
(y-f(x,y))*df(x,y)/dx+(f(x,y)-x)*df(x,y)/dy
i trebao bi dobiti x-y (ja dobio: ).
Jedino je problem što se događa u točkama gdje je F'(x^2+y^2+z^2)=1/2z , a da je svejedno jednadžbu moguće riješiti po z (postoji funkcija f ). Meni je teoretski zamisliva takva situacija, no nije baš jednostavno naći konkretan kontraprimjer. Jesi li siguran da više ništa nije pisalo u zadatku?
| Crni (napisa): | Može li mi netko riješiti zadatak?
Neka je F:R→R diferencijabilna funkcija,  otvoren skup i neka je  funkcija takva da za sve  vrijedi
 .
Treba provjeriti da vrijedi
 |
Neka je G(x,y,z):=x+y+z-F(x^2+y^2+z^2) .
dG(x,y,z)/dz=1-F'(x^2+y^2+z^2)*2z . To je 0 samo tamo gdje je F'(x^2+y^2+z^2)=1/2z . U ostalim točkama gornja jednadžba se može (lokalno, ali to je sve što nam treba jer tražimo derivacije) riješiti po z , i dobije se z=f(x,y) za neku diferencijabilnu funkciju f (na nekoj okolini točke (x,y) , f može ovisiti o točki (x,y) ). Njene parcijalne derivacije dane su s
df(x,y)/dx=(dG(x,y,z)/dx)/(dG(x,y,z)/dz)=
=(1-F'(x^2+y^2+z^2)*2x)/(1-F'(x^2+y^2+z^2)*2z)=
=(1-F'(x^2+y^2+(f(x,y))^2)*2x)/nazivnik
i
df(x,y)/dx=(1-F'(x^2+y^2+(f(x,y))^2)*2y)/nazivnik
gdje je
nazivnik:=(1-F'(x^2+y^2+(f(x,y))^2)*2f(x,y)) .
Sad to uvrsti u
(y-f(x,y))*df(x,y)/dx+(f(x,y)-x)*df(x,y)/dy
i trebao bi dobiti x-y (ja dobio: ).
Jedino je problem što se događa u točkama gdje je F'(x^2+y^2+z^2)=1/2z , a da je svejedno jednadžbu moguće riješiti po z (postoji funkcija f ). Meni je teoretski zamisliva takva situacija, no nije baš jednostavno naći konkretan kontraprimjer. Jesi li siguran da više ništa nije pisalo u zadatku?
|
Može li mi netko ipak napisati postupak?
