| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Boris Davidovič
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 01. 2004. (23:05:18)
Postovi: (3C)16
|
 Postano: 21:44 pet, 11. 2. 2005 Naslov: Nekoliko zadataka |
    |
|
|
Ispričavam se što nisam uspio smisliti neki informativniji naslov.
Dakle :
1.U KDUP i A@L(U) t.d za svaki u@U vrijedi ||A*u||<=||Au||. Dokazati da je tada A normalan.
Čini mi se da bi se moglo pokazati (A*Au|AA*u)=||A*Au||*||AA*u|| za sve u, iz čega bi slijedila jednakost, ali mi ne uspijeva.
2.U KDUP. (A|B):=tr(AB*). Pokazati da za svaki funkcional na L(U) postoji jedinstveni C@L(U) t.d je f(X)=tr(XC*) za svaki X@L(U).
Ovdje me zanima što se točno traži u zadatku?
3.V KDVP, te A,B@L(V) nilpotentni i t.d BA=-AB. Dokazati da je A+B također nilpotentan.
Pretpostavljam da bi trebalo pogoditi kojeg je oblika (A+B)^m iz prvih nekoliko pa to dokazati indukcijom, ali to mi baš i ne uspijeva.
4.Napisati Jord. formu nilpotentnog operatora N@L(C^9) za kojeg vrijedi:
(d1-d0)(d2-d1)(d3-d2)(d4-d3)=24, pri čemu je dj=d(N^j).
5.V KDVP, te A i B iz L(V) t.d. r(AB-BA)=1. Dokazati da je tada (AB-BA)^2=0.
Hvala.
Ispričavam se što nisam uspio smisliti neki informativniji naslov.
Dakle :
1.U KDUP i A@L(U) t.d za svaki u@U vrijedi ||A*u||<=||Au||. Dokazati da je tada A normalan.
Čini mi se da bi se moglo pokazati (A*Au|AA*u)=||A*Au||*||AA*u|| za sve u, iz čega bi slijedila jednakost, ali mi ne uspijeva.
2.U KDUP. (A|B):=tr(AB*). Pokazati da za svaki funkcional na L(U) postoji jedinstveni C@L(U) t.d je f(X)=tr(XC*) za svaki X@L(U).
Ovdje me zanima što se točno traži u zadatku?
3.V KDVP, te A,B@L(V) nilpotentni i t.d BA=-AB. Dokazati da je A+B također nilpotentan.
Pretpostavljam da bi trebalo pogoditi kojeg je oblika (A+B)^m iz prvih nekoliko pa to dokazati indukcijom, ali to mi baš i ne uspijeva.
4.Napisati Jord. formu nilpotentnog operatora N@L(C^9) za kojeg vrijedi:
(d1-d0)(d2-d1)(d3-d2)(d4-d3)=24, pri čemu je dj=d(N^j).
5.V KDVP, te A i B iz L(V) t.d. r(AB-BA)=1. Dokazati da je tada (AB-BA)^2=0.
Hvala.
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 23:49 pet, 11. 2. 2005 Naslov: Re: Nekoliko zadataka |
|
|
|
[quote="Boris Davidovič"]1.U KDUP i A@L(U) t.d za svaki u@U vrijedi ||A*u||<=||Au||. Dokazati da je tada A normalan. [/quote]
Kvadriranjem dobiješ (A*u|A*u)<=(Au|Au) , odnosno ((A*A-AA*)u|u)>=0 . Dalje znaš?
[quote]2.U KDUP. (A|B):=tr(AB*). Pokazati da za svaki funkcional na L(U) postoji jedinstveni C@L(U) t.d je f(X)=tr(XC*) za svaki X@L(U).
Ovdje me zanima što se točno traži u zadatku?[/quote]
Nadam se da se ne traži da dokažeš Rieszov teorem o reprezentaciji. :-o Vjerojatno samo da ga iskoristiš. :-)
[quote]3.V KDVP, te A,B@L(V) nilpotentni i t.d BA=-AB. Dokazati da je A+B također nilpotentan.
Pretpostavljam da bi trebalo pogoditi kojeg je oblika (A+B)^m iz prvih nekoliko pa to dokazati indukcijom, ali to mi baš i ne uspijeva.[/quote]
Ne baš pogoditi kojeg je oblika, jer to izgleda dosta convoluted, nego jednostavno dokazati da će uvijek biti sumetina od 2^m +-terma od kojih će svaki biti oblika A^ž*B^(m-ž) (uzastopnom primjenom pravila BA->-AB dovedeš sve A-ove lijevo, a sve B-ove desno). Kad m postane veći od zbroja indeksâ nilpotentnosti A i B , svaki član glatko kolabira u nulmatricu. :-)
[quote]4.Napisati Jord. formu nilpotentnog operatora N@L(C^9) za kojeg vrijedi:
(d1-d0)(d2-d1)(d3-d2)(d4-d3)=24, pri čemu je dj=d(N^j).[/quote]
LOL. :-)
Pretpostavljam da znaš da niz (/_\dj=d{j+1}-d{j})_j ima neka zanimljiva svojstva... na primjer, pada. I ne pada dalje od 0 . :-) I suma mu je jednaka dm-d0=d(N^m)-d(I)=n-0=n , gdje je m indeks nilpotentnosti od N a n dimenzija domene od N , u ovom slučaju 9 .
Dakle imaš četiri prirodna (produkt je pozitivan) broja čija suma je manja ili jednaka 9 , a produkt im je jednak 24 . Poredani su od najvećeg prema najmanjem. Nije tako teško ih naći. :-) (Možda je teže dokazati da je to jedino rješenje, no ni to nije strašno.)
A onda pogledaj dokaz teorema o Jordanovoj formi da shvatiš kako se iz /_\dj-ova konstruira Jordanova forma.
[quote]5.V KDVP, te A i B iz L(V) t.d. r(AB-BA)=1. Dokazati da je tada (AB-BA)^2=0.[/quote]
Prijeđi na matrice.
Matrica ranga 1 , reda n , je sigurno oblika SR , gdje je S "stupac" nx1 , a R "redak" 1xn . Jednom kad to dokažeš, bit će ti jasno da je trag od C:=AB-BA=SR , koji je naravno 0 , jednak upravo "skalarnom produktu" R i S , jedinoj komponenti 1x1 matrice RS .
No onda je C^2=SRSR=S[0]R=0matrica . :-)
| Boris Davidovič (napisa): | | 1.U KDUP i A@L(U) t.d za svaki u@U vrijedi ||A*u||⇐||Au||. Dokazati da je tada A normalan. |
Kvadriranjem dobiješ (A*u|A*u)⇐(Au|Au) , odnosno ((A*A-AA*)u|u)>=0 . Dalje znaš?
| Citat: | 2.U KDUP. (A|B):=tr(AB*). Pokazati da za svaki funkcional na L(U) postoji jedinstveni C@L(U) t.d je f(X)=tr(XC*) za svaki X@L(U).
Ovdje me zanima što se točno traži u zadatku? |
Nadam se da se ne traži da dokažeš Rieszov teorem o reprezentaciji.  Vjerojatno samo da ga iskoristiš. 
| Citat: | 3.V KDVP, te A,B@L(V) nilpotentni i t.d BA=-AB. Dokazati da je A+B također nilpotentan.
Pretpostavljam da bi trebalo pogoditi kojeg je oblika (A+B)^m iz prvih nekoliko pa to dokazati indukcijom, ali to mi baš i ne uspijeva. |
Ne baš pogoditi kojeg je oblika, jer to izgleda dosta convoluted, nego jednostavno dokazati da će uvijek biti sumetina od 2^m +-terma od kojih će svaki biti oblika A^ž*B^(m-ž) (uzastopnom primjenom pravila BA→-AB dovedeš sve A-ove lijevo, a sve B-ove desno). Kad m postane veći od zbroja indeksâ nilpotentnosti A i B , svaki član glatko kolabira u nulmatricu.
| Citat: | 4.Napisati Jord. formu nilpotentnog operatora N@L(C^9) za kojeg vrijedi:
(d1-d0)(d2-d1)(d3-d2)(d4-d3)=24, pri čemu je dj=d(N^j). |
LOL.
Pretpostavljam da znaš da niz (/_\dj=d{j+1}-d{j})_j ima neka zanimljiva svojstva... na primjer, pada. I ne pada dalje od 0 . I suma mu je jednaka dm-d0=d(N^m)-d(I)=n-0=n , gdje je m indeks nilpotentnosti od N a n dimenzija domene od N , u ovom slučaju 9 .
Dakle imaš četiri prirodna (produkt je pozitivan) broja čija suma je manja ili jednaka 9 , a produkt im je jednak 24 . Poredani su od najvećeg prema najmanjem. Nije tako teško ih naći. (Možda je teže dokazati da je to jedino rješenje, no ni to nije strašno.)
A onda pogledaj dokaz teorema o Jordanovoj formi da shvatiš kako se iz /_\dj-ova konstruira Jordanova forma.
| Citat: | | 5.V KDVP, te A i B iz L(V) t.d. r(AB-BA)=1. Dokazati da je tada (AB-BA)^2=0. |
Prijeđi na matrice.
Matrica ranga 1 , reda n , je sigurno oblika SR , gdje je S "stupac" nx1 , a R "redak" 1xn . Jednom kad to dokažeš, bit će ti jasno da je trag od C:=AB-BA=SR , koji je naravno 0 , jednak upravo "skalarnom produktu" R i S , jedinoj komponenti 1x1 matrice RS .
No onda je C^2=SRSR=S[0]R=0matrica .
|
|
| [Vrh] |
|
vjekovac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol: 
|
| Postano: 11:48 sub, 12. 2. 2005 Naslov: Re: Nekoliko zadataka |
|
|
|
[quote="veky"][quote="Boris Davidovič"]U KDUP. (A|B):=tr(AB*). Pokazati da za svaki funkcional na L(U) postoji jedinstveni C@L(U) t.d je f(X)=tr(XC*) za svaki X@L(U).
Ovdje me zanima što se točno traži u zadatku?[/quote]
Nadam se da se ne traži da dokažeš Rieszov teorem o reprezentaciji. :-o Vjerojatno samo da ga iskoristiš. :-)[/quote]
Naravno. 8) Tako da zadatak i nije nešto osobito, ali eto...
[quote="veky"][quote="Boris Davidovič"]3.V KDVP, te A,B@L(V) nilpotentni i t.d BA=-AB. Dokazati da je A+B također nilpotentan.
Pretpostavljam da bi trebalo pogoditi kojeg je oblika (A+B)^m iz prvih nekoliko pa to dokazati indukcijom, ali to mi baš i ne uspijeva.[/quote]
Ne baš pogoditi kojeg je oblika, jer to izgleda dosta convoluted, nego jednostavno dokazati da će uvijek biti sumetina od 2^m +-terma od kojih će svaki biti oblika A^ž*B^(m-ž) (uzastopnom primjenom pravila BA->-AB dovedeš sve A-ove lijevo, a sve B-ove desno). Kad m postane veći od zbroja indeksâ nilpotentnosti A i B , svaki član glatko kolabira u nulmatricu. [/quote]
Tako sam i ja to zamislio i to zaključivanje prolazi i kad bi pisalo BA=aAB, za neki skalar a.
Alternativno, ako netko baš želi komutativni slučaj i binomni teorem, dosta je primijetiti da A^2 i B^2 komutiraju i (A+B)^2=A^2+B^2. Naravno, ovaj dokaz prolazi samo u slučaju BA=-AB.
[quote="Boris Davidovič"]4.Napisati Jord. formu nilpotentnog operatora N@L(C^9) za kojeg vrijedi:
(d1-d0)(d2-d1)(d3-d2)(d4-d3)=24, pri čemu je dj=d(N^j).[/quote]
Kao što reče veky...
Nema puno rastava broja 24 na 4 faktora:
24=24*1*1*1=12*2*1*1=8*3*1*1=6*4*1*1=6*2*2*1=4*3*2*1=3*2*2*2
Samo posljednji zadovoljava da je zbroj faktora <=9.
| veky (napisa): | | Boris Davidovič (napisa): | U KDUP. (A|B):=tr(AB*). Pokazati da za svaki funkcional na L(U) postoji jedinstveni C@L(U) t.d je f(X)=tr(XC*) za svaki X@L(U).
Ovdje me zanima što se točno traži u zadatku? |
Nadam se da se ne traži da dokažeš Rieszov teorem o reprezentaciji. Vjerojatno samo da ga iskoristiš. |
Naravno.  Tako da zadatak i nije nešto osobito, ali eto...
| veky (napisa): | | Boris Davidovič (napisa): | 3.V KDVP, te A,B@L(V) nilpotentni i t.d BA=-AB. Dokazati da je A+B također nilpotentan.
Pretpostavljam da bi trebalo pogoditi kojeg je oblika (A+B)^m iz prvih nekoliko pa to dokazati indukcijom, ali to mi baš i ne uspijeva. |
Ne baš pogoditi kojeg je oblika, jer to izgleda dosta convoluted, nego jednostavno dokazati da će uvijek biti sumetina od 2^m +-terma od kojih će svaki biti oblika A^ž*B^(m-ž) (uzastopnom primjenom pravila BA→-AB dovedeš sve A-ove lijevo, a sve B-ove desno). Kad m postane veći od zbroja indeksâ nilpotentnosti A i B , svaki član glatko kolabira u nulmatricu. |
Tako sam i ja to zamislio i to zaključivanje prolazi i kad bi pisalo BA=aAB, za neki skalar a.
Alternativno, ako netko baš želi komutativni slučaj i binomni teorem, dosta je primijetiti da A^2 i B^2 komutiraju i (A+B)^2=A^2+B^2. Naravno, ovaj dokaz prolazi samo u slučaju BA=-AB.
| Boris Davidovič (napisa): | 4.Napisati Jord. formu nilpotentnog operatora N@L(C^9) za kojeg vrijedi:
(d1-d0)(d2-d1)(d3-d2)(d4-d3)=24, pri čemu je dj=d(N^j). |
Kao što reče veky...
Nema puno rastava broja 24 na 4 faktora:
24=24*1*1*1=12*2*1*1=8*3*1*1=6*4*1*1=6*2*2*1=4*3*2*1=3*2*2*2
Samo posljednji zadovoljava da je zbroj faktora ⇐9.
|
|
| [Vrh] |
|
Boris Davidovič
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 01. 2004. (23:05:18)
Postovi: (3C)16
|
|
| [Vrh] |
|
vjekovac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55)
Postovi: (2DB)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
|
Moja štamparska greška! 
