primjer za usmeni (objasnjenje gradiva)

[Gost]

ako za pr. fje koja ima prekid uzmem npr
f(x)={x, za x različito od 1; 3 za x=1}
i sad kad se to raspisujem po definiciji: postoji epsilon takav da za svaki delta postoji točka P_delta iz R takva da vrijedi d(p_delta,1)<delta i
d(f(p_delta)-3)>=epsilon.
pitanje profesora: vi dajte epsilon, a ja cu delta da to vrijedi
KAKO ODREDITI EPSILON? I TOČKU P_DELTA?
znam da kad to malo raspišemo možemo dovesti u vezu epsilon i deltu, ali kako mu dati konkretne brojeve?
tu bi bilo : |p_delta-1|<delta i |p_delta-3|>=epsilon
pa mogu napisat |delta-2|>=epsilon iiii?kak ću dobit taj neki epsilon??

[Unnamed One]

Kao što si napisao/la

postoji epsilon takav da za svaki delta postoji točka P_delta iz R takva da
vrijedi d(p_delta,1)<delta i d(f(p_delta)-3)>=epsilon.

Vjerojatno si mislio

d(f(p_delta),3)>=epsilon

ili

|f(p_delta)-3|>=epsilon.


Za ovakva pitanja je korisno nacrtati si graf f-je. Da bi našli epsilon treba naći okolinu od 3 na y-osi t.d. za svaku (delta) okolinu od 1 na x-osi se može naći točka iz te okoline čija slika ne upada u onu (epsilon) okolinu na y-osi.
Možeš si to vizualizirati na sljedeći način:
- na y-osi uzmi neku epsilon okolinu oko 3
- rubovima te okoline povuci 2 pravca paralelna sa x-osi (za epsilon=1 pravci idu točkama (0,2) i (0,4))
- ti pravci negdje sijeku graf f-je
- ako za svaki delta možeš naći točku iz delta okoline jedinice čija slika nije unutar pruge koju čine ta dva pravca onda ti je epsilon dobar

Npr. kad bi uzeli epsilon=1 onda za svaki delta>0 mogu naći točku na x-osi iz te delta okoline t.d. njezina slika ne upadne u epsilon okolinu, tj. da je manja ili jednaka 3-epsilon=3-1=2. Za tvoj zadatak bi svaki epsilon koji je manji od 2 bio dobar.

[Gost]