Nelinearne jednadžbe (zadatak)

[teh_pwnerer]

Jel bi se dalo ikome riješit prvi zadatak odavde?

http://web.math.hr/nastava/unm/zadaci/unm-nelin.pdf

Hvala!

[Unnamed One]

Prvo se primijeti da je jednadžba iz zadatka ekvivalentna jednadžbi
g(x) := x^3 - x - 1.25 = 0
pa onda rješavamo tu jednadžbu. g(1)*g(2)<0 pa na [1,2] zbog strogog rasta postoji jedinstvena nultočka. Rješavanjem jednadžbe g'(x)=0 dobijemo dvije fiksne točke:
x_i = (-1)^i * (sqrt(3))^(-1).
Prva od njih je maksimum i vrijedi g(x_1)<0, a druga minimum pa je ta nultočka na [1,2] jedinstvena na čitavom R.

Metoda bisekcije:
-iz ocjene za broj koraka dobije se da je dovoljno uzeti n>=9.
-nakon 9 koraka dobio sam (uz malo zaokruživanja) x = 1.37988

Metoda kontrakcije:
-rješavamo jednadžbu
x^3 = x + 1.25 <==> g(x) := (x + 1.25)^(1/3) = x
-prvo dokažemo da je g kontrakcija:
g'(x) = 1/(3*((x+1.25)(2/3))) <= 1/3*((2.25)^(2/3)) < 1/3
pa je koeficijent kontrakcije <=1/3. Zbog strogog rasta je
g([1,2]) <= [g(1),g(2)] <= [1,2]
pa je g stvarno kontrakcija.
-uzmemo x_0=1.5
-iz ocjene za broj koraka dobije se n>=5, na kraju se dobije x=1.38042

Newtonova metoda:
-stavimo g(x) := x^3 - x - 1.25
-provjeri se da vrijedi g(1)*g(2)<0, g'(x)!=0, g''(x)!=0, g(1.5)*g''(1.5)>0
-uvjet zaustavljanja je
|x_n - x_(n-1)| <= 0.01825.
Na kraju se dobije
x_0=1.5
x_1=1.3913
x_2=1.3805
pa kako je x_2 - x_1 <=0.01825 slijedi x=1.3805.


PS
Mathematica daje rješenje x=1.38041 pa je to što sam dobio valjda dobro.

[teh_pwnerer]

Hvala ti puno!

[ainotna]

[Unnamed One]

Jednadžbe f(x)=0 i g(x)=0 su ekvivalentne jer...

(x^3 - x - 0.25)^(1/3) -1 = 0 <==>

(x^3 - x - 0.25)^(1/3) = 1 <==> {sve se potencira na ^3}

x^3 - x - 0.25 = 1 <==>

x^3 - x - 1.25 = 0.

[ainotna]

Aha! Ja sam to "malo" zakomplicirala