Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
duje Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31) Postovi: (55C)16
Spol:
|
Postano: 0:02 sub, 17. 2. 2007 Naslov: |
|
|
[quote="Braslav"]Jedno pitanje u vezi Teorema 4.5
Uzmimo da je nasa forma oblika f(x,y)=2x*x+108y*y tada je ocito reducirana pozitivno definitna kvadratna forma.
U teoremu se tvrdi da su najmanje vrijednosti koje svaka reducirana pa i ova forma moze primiti a=2, c=108, a-abs(b)+c=110 i to u tom redoslijedu, ali ocito je da su najmanje vrijednoti koje ova forma prima 2,8,18 i to za (1,0), (2,0), (3,0) Misim da se teorem mora nekako drugacije dokazati... Kako?[/quote]
Gledaju se prave reprezentacije, tj. one koje se postizu za x,y relativno proste. To u skripti nije najbolje naglaseno, ali zbog toga je uzet uvjet da su x,y iz Z\{0}.
Po Propoziciji 4.2, mozemo gledati ili bilo kakve reprezentacije, ili prave reprezentacije, sto god nam vise odgovara. A u ovom dokazu nam vise odgovara gledati prave (upravo zbog problema kojeg ste i vi uocili).
Braslav (napisa): | Jedno pitanje u vezi Teorema 4.5
Uzmimo da je nasa forma oblika f(x,y)=2x*x+108y*y tada je ocito reducirana pozitivno definitna kvadratna forma.
U teoremu se tvrdi da su najmanje vrijednosti koje svaka reducirana pa i ova forma moze primiti a=2, c=108, a-abs(b)+c=110 i to u tom redoslijedu, ali ocito je da su najmanje vrijednoti koje ova forma prima 2,8,18 i to za (1,0), (2,0), (3,0) Misim da se teorem mora nekako drugacije dokazati... Kako? |
Gledaju se prave reprezentacije, tj. one koje se postizu za x,y relativno proste. To u skripti nije najbolje naglaseno, ali zbog toga je uzet uvjet da su x,y iz Z\{0}.
Po Propoziciji 4.2, mozemo gledati ili bilo kakve reprezentacije, ili prave reprezentacije, sto god nam vise odgovara. A u ovom dokazu nam vise odgovara gledati prave (upravo zbog problema kojeg ste i vi uocili).
|
|
[Vrh] |
|
duje Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31) Postovi: (55C)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Gost
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
Postano: 20:08 sub, 17. 2. 2007 Naslov: |
|
|
[quote="duje"][quote="Braslav"]Jedno pitanje u vezi Teorema 4.5
Uzmimo da je nasa forma oblika f(x,y)=2x*x+108y*y tada je ocito reducirana pozitivno definitna kvadratna forma.
U teoremu se tvrdi da su najmanje vrijednosti koje svaka reducirana pa i ova forma moze primiti a=2, c=108, a-abs(b)+c=110 i to u tom redoslijedu, ali ocito je da su najmanje vrijednoti koje ova forma prima 2,8,18 i to za (1,0), (2,0), (3,0) Misim da se teorem mora nekako drugacije dokazati... Kako?[/quote]
Gledaju se prave reprezentacije, tj. one koje se postizu za x,y relativno proste. To u skripti nije najbolje naglaseno, ali zbog toga je uzet uvjet da su x,y iz Z\{0}.
Po Propoziciji 4.2, mozemo gledati ili bilo kakve reprezentacije, ili prave reprezentacije, sto god nam vise odgovara. A u ovom dokazu nam vise odgovara gledati prave (upravo zbog problema kojeg ste i vi uocili).[/quote]
Hvala puno.
duje (napisa): | Braslav (napisa): | Jedno pitanje u vezi Teorema 4.5
Uzmimo da je nasa forma oblika f(x,y)=2x*x+108y*y tada je ocito reducirana pozitivno definitna kvadratna forma.
U teoremu se tvrdi da su najmanje vrijednosti koje svaka reducirana pa i ova forma moze primiti a=2, c=108, a-abs(b)+c=110 i to u tom redoslijedu, ali ocito je da su najmanje vrijednoti koje ova forma prima 2,8,18 i to za (1,0), (2,0), (3,0) Misim da se teorem mora nekako drugacije dokazati... Kako? |
Gledaju se prave reprezentacije, tj. one koje se postizu za x,y relativno proste. To u skripti nije najbolje naglaseno, ali zbog toga je uzet uvjet da su x,y iz Z\{0}.
Po Propoziciji 4.2, mozemo gledati ili bilo kakve reprezentacije, ili prave reprezentacije, sto god nam vise odgovara. A u ovom dokazu nam vise odgovara gledati prave (upravo zbog problema kojeg ste i vi uocili). |
Hvala puno.
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
duje Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31) Postovi: (55C)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
duje Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31) Postovi: (55C)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
Postano: 23:02 ned, 18. 2. 2007 Naslov: |
|
|
Propozicija 5.4. 1) ili 2)
Kako dvostruka suma po n <= x i d | n prelazi u sumu d <=x m <= x/d ?
Ja sam si odgovorio tako sto postoji bijekcija izmedju ta dva skupa znaci
izmedju skupa S={(n,d): n<=x , d|n} i skupa K={(m,d): d<=x, m<=x/d}
(n,d) ---> pridruzuje (m,d) gdje d=d, m=n/d, s inverznom funkcijom
(m,d) ---> (m*d,d)
, no mozda postoji elegantniji nacin da se uvidi. Pa pitam ima li elegantniji nacin da se to uvidi?
Propozicija 5.4. 1) ili 2)
Kako dvostruka suma po n <= x i d | n prelazi u sumu d <=x m <= x/d ?
Ja sam si odgovorio tako sto postoji bijekcija izmedju ta dva skupa znaci
izmedju skupa S={(n,d): n<=x , d|n} i skupa K={(m,d): d<=x, m<=x/d}
(n,d) ---> pridruzuje (m,d) gdje d=d, m=n/d, s inverznom funkcijom
(m,d) ---> (m*d,d)
, no mozda postoji elegantniji nacin da se uvidi. Pa pitam ima li elegantniji nacin da se to uvidi?
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
vinko Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 08. 2006. (23:08:00) Postovi: (1A8)16
Spol:
Lokacija: PMF-MO 214
|
Postano: 14:47 pon, 19. 2. 2007 Naslov: |
|
|
[quote="Braslav"]Propozicija 7.5.
Drugi na treci red dokaza. Pise kako je jasno da je (x,y,z) primitivna trojka, ja sam probao dokazati tako da predpostavim da nije, ali nisam znao dovesti do kontradikcije. Molim pomoc.[/quote]
Bitan detalj je da pretpostavimo da je to trojka s najmanjom hipotenuzom. Takva mora biti primitivna. Ako nije (dakle ima oblik (da, db, dc) ), onda trojka (a, b, c) ima isto svojstvo, a manju hipotenuzu.
Braslav (napisa): | Propozicija 7.5.
Drugi na treci red dokaza. Pise kako je jasno da je (x,y,z) primitivna trojka, ja sam probao dokazati tako da predpostavim da nije, ali nisam znao dovesti do kontradikcije. Molim pomoc. |
Bitan detalj je da pretpostavimo da je to trojka s najmanjom hipotenuzom. Takva mora biti primitivna. Ako nije (dakle ima oblik (da, db, dc) ), onda trojka (a, b, c) ima isto svojstvo, a manju hipotenuzu.
|
|
[Vrh] |
|
duje Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31) Postovi: (55C)16
Spol:
|
Postano: 15:20 pon, 19. 2. 2007 Naslov: |
|
|
[quote="Braslav"]Propozicija 7.5
Iz y^2 = (c^2 - a^2) (c^2 + a^2) slijedi da postoje prirodni brojevi r, s
takvi da je
r^2 = c^2 - a^2
s^2 = c^2 + a^2
to slijedi samo ako su c^2 - a^2 i c^2 + a^2 relativno prosti, kako se to (da su c^2 - a^2 i c^2 + a^2 relativno prosti) pokaze?[/quote]
Ako prost broj p dijeli c^2 - a^2 i c^2 + a^2, onda mora dijeliti i njihov zbroj 2c^2 i njihovu razliku 2a^2. A jer su c i a relativno prosti, odavde slijedi da p dijeli 2, tj. da je p=2. No, ovo je u suprotnosti s ranije pokazanim da je y^2=c^4-a^4 neparan broj.
Braslav (napisa): | Propozicija 7.5
Iz y^2 = (c^2 - a^2) (c^2 + a^2) slijedi da postoje prirodni brojevi r, s
takvi da je
r^2 = c^2 - a^2
s^2 = c^2 + a^2
to slijedi samo ako su c^2 - a^2 i c^2 + a^2 relativno prosti, kako se to (da su c^2 - a^2 i c^2 + a^2 relativno prosti) pokaze? |
Ako prost broj p dijeli c^2 - a^2 i c^2 + a^2, onda mora dijeliti i njihov zbroj 2c^2 i njihovu razliku 2a^2. A jer su c i a relativno prosti, odavde slijedi da p dijeli 2, tj. da je p=2. No, ovo je u suprotnosti s ranije pokazanim da je y^2=c^4-a^4 neparan broj.
|
|
[Vrh] |
|
vinko Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 08. 2006. (23:08:00) Postovi: (1A8)16
Spol:
Lokacija: PMF-MO 214
|
Postano: 17:48 pon, 19. 2. 2007 Naslov: |
|
|
[quote="Braslav"]Propozicija 5.4. 1) ili 2)
Kako dvostruka suma po n <= x i d | n prelazi u sumu d <=x m <= x/d ?
Ja sam si odgovorio tako sto postoji bijekcija izmedju ta dva skupa znaci
izmedju skupa S={(n,d): n<=x , d|n} i skupa K={(m,d): d<=x, m<=x/d}
(n,d) ---> pridruzuje (m,d) gdje d=d, m=n/d, s inverznom funkcijom
(m,d) ---> (m*d,d)
, no mozda postoji elegantniji nacin da se uvidi. Pa pitam ima li elegantniji nacin da se to uvidi?[/quote]
Ja to gledam (mozda i nije elegantnije), da shvatim m kao (u stvari kao 'suprotnog' djelitelja) m*d=n, pa mi je dvostruka suma po n<=x, d|n u stvari dvostruka suma po m*d<=x,m<=x,d<=x, pa onda jedan uvjet (m<=x) izbacim, jer je u stvari suvišan, te ostane suma po d<=x, m<=x/d.
Al mislim da je to upravo ono pridruživanje opisano ranije...
Braslav (napisa): | Propozicija 5.4. 1) ili 2)
Kako dvostruka suma po n ⇐ x i d | n prelazi u sumu d ⇐x m ⇐ x/d ?
Ja sam si odgovorio tako sto postoji bijekcija izmedju ta dva skupa znaci
izmedju skupa S={(n,d): n⇐x , d|n} i skupa K={(m,d): d⇐x, m⇐x/d}
(n,d) → pridruzuje (m,d) gdje d=d, m=n/d, s inverznom funkcijom
(m,d) → (m*d,d)
, no mozda postoji elegantniji nacin da se uvidi. Pa pitam ima li elegantniji nacin da se to uvidi? |
Ja to gledam (mozda i nije elegantnije), da shvatim m kao (u stvari kao 'suprotnog' djelitelja) m*d=n, pa mi je dvostruka suma po n⇐x, d|n u stvari dvostruka suma po m*d⇐x,m⇐x,d⇐x, pa onda jedan uvjet (m⇐x) izbacim, jer je u stvari suvišan, te ostane suma po d⇐x, m⇐x/d.
Al mislim da je to upravo ono pridruživanje opisano ranije...
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
Postano: 20:03 pon, 19. 2. 2007 Naslov: |
|
|
[quote="vinko"][quote="Braslav"]Propozicija 7.5.
Drugi na treci red dokaza. Pise kako je jasno da je (x,y,z) primitivna trojka, ja sam probao dokazati tako da predpostavim da nije, ali nisam znao dovesti do kontradikcije. Molim pomoc.[/quote]
Bitan detalj je da pretpostavimo da je to trojka s najmanjom hipotenuzom. Takva mora biti primitivna. Ako nije (dakle ima oblik (da, db, dc) ), onda trojka (a, b, c) ima isto svojstvo, a manju hipotenuzu.[/quote]
Zar nije da je (x,y,z) trojka s najmanjom hipotenuzom koja ima svojstvo BSO da je x=a^2 z=b^2 za neke brojeve a,b ako bi (x,y,z)=(dx',dy',dz')
tada (x',y',z') ne mora imati svojstvo da su x' i z' kvadrati nekog broja pa prema tome ono prije ostaje najmanja trojka s tim svojstvom. Mozda nesto vidim krivo. Inace hvala na pomoci.
vinko (napisa): | Braslav (napisa): | Propozicija 7.5.
Drugi na treci red dokaza. Pise kako je jasno da je (x,y,z) primitivna trojka, ja sam probao dokazati tako da predpostavim da nije, ali nisam znao dovesti do kontradikcije. Molim pomoc. |
Bitan detalj je da pretpostavimo da je to trojka s najmanjom hipotenuzom. Takva mora biti primitivna. Ako nije (dakle ima oblik (da, db, dc) ), onda trojka (a, b, c) ima isto svojstvo, a manju hipotenuzu. |
Zar nije da je (x,y,z) trojka s najmanjom hipotenuzom koja ima svojstvo BSO da je x=a^2 z=b^2 za neke brojeve a,b ako bi (x,y,z)=(dx',dy',dz')
tada (x',y',z') ne mora imati svojstvo da su x' i z' kvadrati nekog broja pa prema tome ono prije ostaje najmanja trojka s tim svojstvom. Mozda nesto vidim krivo. Inace hvala na pomoci.
|
|
[Vrh] |
|
vinko Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 08. 2006. (23:08:00) Postovi: (1A8)16
Spol:
Lokacija: PMF-MO 214
|
Postano: 20:29 pon, 19. 2. 2007 Naslov: |
|
|
[quote="Braslav"]Zar nije da je (x,y,z) trojka s najmanjom hipotenuzom koja ima svojstvo BSO da je x=a^2 z=b^2 za neke brojeve a,b ako bi (x,y,z)=(dx',dy',dz')
tada (x',y',z') ne mora imati svojstvo da su x' i z' kvadrati nekog broja pa prema tome ono prije ostaje najmanja trojka s tim svojstvom. Mozda nesto vidim krivo. Inace hvala na pomoci.[/quote]
Ispricavam se :oops: , nisam bas obratio paznju na detalje:
Koliko mi se cini, mislim da bi to moglo biti ovako nekako: Ako trojka nije primitivna, d je GCD nekih od brojeva.
Pogledajmo prvo slucaj d^2|z, d^2|x. (x i z su kvadrati)
Budući da vrijedi x^2+y^2=z^2, i y bi morao biti djeljiv sa d^2, pa bi onda imali 'manju' trojku (x/d^2,y/d^2,z/d^2).
P.S. U drugom slucaju imamo.
Situacija d^2|z i d|y povlaci d|x, a buduci je x kvadrat slijedi ili d kvadrat ili d^2|x ==> d^2|y... u svakom slucaju, NZM trojke je kvadrat prirodnog broja, pa kad podijelimo tim kvadratom, dobili bi ponovo manju trojku s trazenim svojstvom.
Braslav (napisa): | Zar nije da je (x,y,z) trojka s najmanjom hipotenuzom koja ima svojstvo BSO da je x=a^2 z=b^2 za neke brojeve a,b ako bi (x,y,z)=(dx',dy',dz')
tada (x',y',z') ne mora imati svojstvo da su x' i z' kvadrati nekog broja pa prema tome ono prije ostaje najmanja trojka s tim svojstvom. Mozda nesto vidim krivo. Inace hvala na pomoci. |
Ispricavam se , nisam bas obratio paznju na detalje:
Koliko mi se cini, mislim da bi to moglo biti ovako nekako: Ako trojka nije primitivna, d je GCD nekih od brojeva.
Pogledajmo prvo slucaj d^2|z, d^2|x. (x i z su kvadrati)
Budući da vrijedi x^2+y^2=z^2, i y bi morao biti djeljiv sa d^2, pa bi onda imali 'manju' trojku (x/d^2,y/d^2,z/d^2).
P.S. U drugom slucaju imamo.
Situacija d^2|z i d|y povlaci d|x, a buduci je x kvadrat slijedi ili d kvadrat ili d^2|x ⇒ d^2|y... u svakom slucaju, NZM trojke je kvadrat prirodnog broja, pa kad podijelimo tim kvadratom, dobili bi ponovo manju trojku s trazenim svojstvom.
Zadnja promjena: vinko; 20:40 pon, 19. 2. 2007; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
[Vrh] |
|
duje Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31) Postovi: (55C)16
Spol:
|
Postano: 20:37 pon, 19. 2. 2007 Naslov: |
|
|
[quote="Braslav"]Zar nije da je (x,y,z) trojka s najmanjom hipotenuzom koja ima svojstvo BSO da je x=a^2 z=b^2 za neke brojeve a,b ako bi (x,y,z)=(dx',dy',dz')
tada (x',y',z') ne mora imati svojstvo da su x' i z' kvadrati nekog broja pa prema tome ono prije ostaje najmanja trojka s tim svojstvom. Mozda nesto vidim krivo. Inace hvala na pomoci.[/quote]
Neka je p neki prosti djelitelj od d. Tada iz px''=a^2, pz''=b^2, slijedi da p dijeli a, b, x'', z''. Zato p^2 dijeli x, z, y, pa je
(x/p^2, y/p^2, z/p^2) trojka s istim svojstvom i manjom hipotenuzom.
Edit: sporo pisem - pretekao me Vinko.
Braslav (napisa): | Zar nije da je (x,y,z) trojka s najmanjom hipotenuzom koja ima svojstvo BSO da je x=a^2 z=b^2 za neke brojeve a,b ako bi (x,y,z)=(dx',dy',dz')
tada (x',y',z') ne mora imati svojstvo da su x' i z' kvadrati nekog broja pa prema tome ono prije ostaje najmanja trojka s tim svojstvom. Mozda nesto vidim krivo. Inace hvala na pomoci. |
Neka je p neki prosti djelitelj od d. Tada iz px''=a^2, pz''=b^2, slijedi da p dijeli a, b, x'', z''. Zato p^2 dijeli x, z, y, pa je
(x/p^2, y/p^2, z/p^2) trojka s istim svojstvom i manjom hipotenuzom.
Edit: sporo pisem - pretekao me Vinko.
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
Postano: 21:03 pon, 19. 2. 2007 Naslov: |
|
|
[quote="duje"][quote="Braslav"]Zar nije da je (x,y,z) trojka s najmanjom hipotenuzom koja ima svojstvo BSO da je x=a^2 z=b^2 za neke brojeve a,b ako bi (x,y,z)=(dx',dy',dz')
tada (x',y',z') ne mora imati svojstvo da su x' i z' kvadrati nekog broja pa prema tome ono prije ostaje najmanja trojka s tim svojstvom. Mozda nesto vidim krivo. Inace hvala na pomoci.[/quote]
Neka je p neki prosti djelitelj od d. Tada iz px''=a^2, pz''=b^2, slijedi da p dijeli a, b, x'', z''. Zato p^2 dijeli x, z, y, pa je
(x/p^2, y/p^2, z/p^2) trojka s istim svojstvom i manjom hipotenuzom.
Edit: sporo pisem - pretekao me Vinko.[/quote]
Hvala obojci. U medjuvremenu sam uspio sam raspisati, svejedno hvala.
duje (napisa): | Braslav (napisa): | Zar nije da je (x,y,z) trojka s najmanjom hipotenuzom koja ima svojstvo BSO da je x=a^2 z=b^2 za neke brojeve a,b ako bi (x,y,z)=(dx',dy',dz')
tada (x',y',z') ne mora imati svojstvo da su x' i z' kvadrati nekog broja pa prema tome ono prije ostaje najmanja trojka s tim svojstvom. Mozda nesto vidim krivo. Inace hvala na pomoci. |
Neka je p neki prosti djelitelj od d. Tada iz px''=a^2, pz''=b^2, slijedi da p dijeli a, b, x'', z''. Zato p^2 dijeli x, z, y, pa je
(x/p^2, y/p^2, z/p^2) trojka s istim svojstvom i manjom hipotenuzom.
Edit: sporo pisem - pretekao me Vinko. |
Hvala obojci. U medjuvremenu sam uspio sam raspisati, svejedno hvala.
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
|