teorijski ispit

[Gost]

Matrica linearnog operatora iz prostora u prostor, očito.
Matrica prijelaza je iz jedne baze u drugu. Da ne bude zabune...

[herman]

Jel može neka dobra duša pojasnit kako se iz |(x|y)|^2 = (x|x)(y|y) dobije da su x i y linearno zavisni (izuzevši, naravno, slučaj kad je x ili y nul vektor)?

[arya]

[matmih]

Imam pitanje vezi teorema koji kaže:

Neka je V konačnodimenzionalan vektorski prostor i . Sljedeći uvjeti su ekvivalentni:
(1) A je unitaran
(2) ......
(3) Postoji ONB {e1....en} od V takva da je i { Ae1.....Aen} ONB za V.

U dokazu (3) (1) imamo:
Uzmimo neka je
.
Sada mene zanima od kuda nam taj j. I šta nam onda j=1...n i i=j...n ili?

[herman]

Arya, hvala!

[teja]

[herman]

Pitanjce oko Napomene 2.4. s predavanja prof. Bakića - Ako je A : V → V unitaran operator, onda je nužno linearan. Za dokaz piše da je dovoljno vidjeti da je , za svaki v iz V. Da li je netko to dokazao?

[arya]

onaj drugi član skalarnog produkta je Av
e sad... raspišeš to kao (A(ax+by),Av)-(aAx,Av)-(bAy,Av)=(ax+by,v)-a(x,v)-b(y,v) (jer je A unitaran)= a(x,v) + b(y,v) -a(x,v)- b(y,v)= 0 ( to je raspisivanje po svojstvima skalarnog produkta)... i znači onda da je A(ax+by)-aAx-bAy=0, jer je okomit na svaki Av, pa mora biti nulvektor... tj. A je linearan operator

_________________
kalendar

[herman]

[shimija]

meni nije jasno kako iz slijedi jer mi ne znamo šta je slika od A. Idealno bi bilo kad bi znali da je pa kažemo da ako (1) vrijedi za svaki onda vrijedi i za neki y takav da je . Tada dobijemo a to je akko vrijedi .
Znamo li onda je li ?

[Luuka]

Ide se čistim raspisivanjem.

Napišeš prvo da je po definiciji unitarnosti operatora



onda skalarno pomnožiš ono lijevo pa vratiš x u Ax, y u Ay i v u Av. Sve prebaciš na lijevu stranu, pa dobiješ:



Sad zaključuješ da pošto to vrijedi za proizvoljni v, da ovaj prvi vektor mora bit 0. A kad ove s minusom prebaciš lijevo dobije se definicija linearnosti operatora.

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[ma]

[herman]

Hm, nekako mi se sve ovo gore čini kompliciranje, ali možda se varam.

Shvatih to ovako: Linearnost je dana sa , a to je ekvivalentno sa , za svako v iz v. Trebamo tek pokazati da će taj skalarni produkt bit jednak nuli. Budući da je operator iz L(V), možemo uzet proizvoljan vektor Av (odnosno sliku proizvoljnog vektora) i ubacit ga u skalarni produkt, iz čega slijedi (i proizvoljnosti tog vektora) da je isti jednak nuli, i to je to.

[Luuka]

Ako se ne varam ti si upravo dokazao da je A unitaran ako je linearan, a tu se pita za obrat...

Imam i ja jedno pitanje, vjerojatno je glupo.. kod dokaza GS kako se to trivijalno vidi da je f(j+1) okomit na sve e(i) ? Ja to baš i ne vidim...što sam propustio?

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[shimija]

[Luuka]

Bio on linearan ili ne Ax je u slici za svaki x iz V

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[herman]

[arya]

[shimija]

[matmih]