Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
alen Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58) Postovi: (221)16
|
Postano: 14:27 uto, 11. 9. 2007 Naslov: Rekurzija |
|
|
Rekurzivno definiramo niz funkcija
[latex]f_k :\left( {{\bf N}_0 } \right)^k \to {\bf R},[/latex]
[latex]f_k \left( {n_1 ,...,n_k } \right) = p_k \left[ {q\left( {1 - p} \right)^k + q\sum\limits_{i = 1}^{k - 1} {p^i \left( {1 - p} \right)^{k - i} \left( {\sum\limits_{\scriptstyle J \subseteq \left\{ {1,...,k} \right\} \atop
\scriptstyle \left| J \right| = i} {\prod\limits_{j \in J} {f_1 \left( {n_j } \right)} } } \right)} + } \right.[/latex]
[latex]\left( {1 - q} \right)\sum\limits_{i = 1}^{k - 2} {p^i \left( {1 - p} \right)^{k - i} \left( {\sum\limits_\begin{array}{c}
J \subseteq \left\{ {1,...,k} \right\} \\
\left| J \right| = i \\
j_1 ,...,j_{k - i} \in J^C \\
j_1 < ... < j_{k - i} \\
\end{array} {} } \right.}[/latex][latex]\left. {\left( {f_{k - i} \left( {n_{j_1 } ...n_{j_{k - i} } } \right)\prod\limits_{j \in J} {f_1 \left( {n_j } \right)} } \right)} \right)[/latex][latex]\left. { + \left( {1 - q} \right)p^{k - 1} \left( {1 - p} \right)\left( {\sum\limits_{\scriptstyle J \subseteq \left\{ {1,...,k} \right\} \atop
{\scriptstyle \left| J \right| = k - 1 \atop
\scriptstyle j_1 \in J^C }} {\left( {f_1 \left( {n_{j_1 } + 1} \right)\prod\limits_{j \in J} {f_1 \left( {n_j } \right)} } \right)} } \right) + p^k \prod\limits_{i = 1}^k {f_1 \left( {n_i } \right)} } \right][/latex]
uz [latex]p_n : = \frac{1}{{1 - \left( {1 - q} \right)\left( {1 - p} \right)^n }},n \in {\bf N}[/latex] , [latex]f_1 \left( {n_1 } \right): = 1 - \left( {p_1 p} \right)^{n_1 } ,f_1 :{\bf N}_0 \to {\bf R}[/latex] i [latex]p,q \in \left\langle {0,1} \right\rangle[/latex]
Treba odredit opći član niza.
Na primjer
[latex]f_2 \left( {n_1 ,n_2 } \right) = p_2 \left[ {q\left( {1 - p} \right)^2 + qp\left( {1 - p} \right)\left( {f_1 \left( {n_1 } \right) + f_1 \left( {n_2 } \right)} \right) + } \right.[/latex][latex]{ + \left( {1 - q} \right)p\left( {1 - p} \right)\left( {f_1 \left( {n_1 } \right)f_1 \left( {n_2 + 1} \right) + f_1 \left( {n_1 + 1} \right)f_1 \left( {n_2 } \right)} \right)}[/latex]
[latex]f_3 \left( {n_1 ,n_2 ,n_3 } \right) = p_3 \left[ {q\left( {1 - p} \right)^3 + qp\left( {1 - p} \right)^2 \left( {f_1 \left( {n_1 } \right) + f_1 \left( {n_2 } \right) + f_1 \left( {n_3 } \right)} \right) + } \right.[/latex][latex]+ qp^2 \left( {1 - p} \right)\left( {\left( {f_1 \left( {n_1 } \right)f_1 \left( {n_2 } \right) + f_1 \left( {n_1 } \right)f_1 \left( {n_3 } \right) + f_1 \left( {n_2 } \right)f_1 \left( {n_3 } \right)} \right)} \right) +[/latex][latex]+ \left( {1 - q} \right)p\left( {1 - p} \right)^2 \left( \begin{array}{l}
f_1 \left( {n_1 } \right)f_2 \left( {n_2 ,n_3 } \right) + \\
+ f_1 \left( {n_2 } \right)f_2 \left( {n_1 ,n_3 } \right) + \\
+ f_1 \left( {n_3 } \right)f_2 \left( {n_1 ,n_2 } \right) \\
\end{array} \right) +[/latex]
[latex]{ + \left( {1 - q} \right)p^2 \left( {1 - p} \right)\left( \begin{array}{l}
f_1 \left( {n_1 + 1} \right)f_1 \left( {n_2 } \right)f_1 \left( {n_3 } \right) + \\
+ f_1 \left( {n_1 } \right)f_1 \left( {n_2 + 1} \right)f_1 \left( {n_3 } \right) + \\
+ f_1 \left( {n_1 } \right)f_1 \left( {n_2 } \right)f_1 \left( {n_3 + 1} \right) \\
\end{array} \right)}[/latex]
[latex]+ p^3 f_1 \left( {n_1 } \right)f_1 \left( {n_2 } \right)f_1 \left( {n_3 } \right)[/latex]
Rekurzivno definiramo niz funkcija
uz , i
Treba odredit opći član niza.
Na primjer
_________________ Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
|
|
[Vrh] |
|
pecina Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 01. 2005. (14:15:23) Postovi: (157)16
Spol:
Lokacija: Happily traveling through space since 1986!
|
|
[Vrh] |
|
alen Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58) Postovi: (221)16
|
Postano: 15:39 uto, 11. 9. 2007 Naslov: |
|
|
Nažalost, ne mogu još to reć. Trebam opći član niza jer mi se čini da će algoritam na računalu imat veliku složenost, a trebat će negdje oko 200. funkcija u tom nizu.
Ak pomaže, dobio sam [latex]1 - f_2 \left( {n_1 ,n_2 } \right) = \left( {p_1 p} \right)^{n_1 + 1} + \left( {p_1 p} \right)^{n_2 + 1} - p_2 p^2 \left( {2p_1 - 1} \right)\left( {p_1 p} \right)^{n_1 + n_2 }[/latex].
Isto, vrijedi [latex]f_k \left( {n_1 ,...,n_k } \right) = f_k \left( {n_{\sigma \left( 1 \right)} ,...,n_{\sigma \left( k \right)} } \right),\forall k \in {\bf N}[/latex], gdje je [latex]\sigma[/latex] neka permutacija na skupu [latex]\left\{ {1,...,k} \right\}[/latex]
Kod [latex]1 - f_3[/latex] se izrazi mogu grupirat na one koji stoje uz [latex]\left( {p_1 p} \right)^{n_1 + n_2 + n_3 }[/latex],
[latex]\left( {p_1 p} \right)^{n_1 + n_2 } + \left( {p_1 p} \right)^{n_1 + n_3 } + \left( {p_1 p} \right)^{n_2 + n_3 }[/latex] i
[latex]\left( {p_1 p} \right)^{n_1 } + \left( {p_1 p} \right)^{n_2 } + \left( {p_1 p} \right)^{n_3 }[/latex].
Uz [latex]\left( {p_1 p} \right)^{n_1 + n_2 + n_3 }[/latex] stoji [latex]6p_1 p_2 - 3p_1 - 3p_2 + 1[/latex]
Nažalost, ne mogu još to reć. Trebam opći član niza jer mi se čini da će algoritam na računalu imat veliku složenost, a trebat će negdje oko 200. funkcija u tom nizu.
Ak pomaže, dobio sam .
Isto, vrijedi , gdje je neka permutacija na skupu
Kod se izrazi mogu grupirat na one koji stoje uz ,
i
.
Uz stoji
_________________ Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
|
|
[Vrh] |
|
pecina Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 01. 2005. (14:15:23) Postovi: (157)16
Spol:
Lokacija: Happily traveling through space since 1986!
|
|
[Vrh] |
|
pecina Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 01. 2005. (14:15:23) Postovi: (157)16
Spol:
Lokacija: Happily traveling through space since 1986!
|
|
[Vrh] |
|
alen Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58) Postovi: (221)16
|
|
[Vrh] |
|
pecina Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 01. 2005. (14:15:23) Postovi: (157)16
Spol:
Lokacija: Happily traveling through space since 1986!
|
|
[Vrh] |
|
pecina Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 01. 2005. (14:15:23) Postovi: (157)16
Spol:
Lokacija: Happily traveling through space since 1986!
|
|
[Vrh] |
|
alen Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58) Postovi: (221)16
|
|
[Vrh] |
|
pecina Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 01. 2005. (14:15:23) Postovi: (157)16
Spol:
Lokacija: Happily traveling through space since 1986!
|
|
[Vrh] |
|
pecina Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 01. 2005. (14:15:23) Postovi: (157)16
Spol:
Lokacija: Happily traveling through space since 1986!
|
|
[Vrh] |
|
alen Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58) Postovi: (221)16
|
|
[Vrh] |
|
alen Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58) Postovi: (221)16
|
Postano: 17:57 pet, 28. 9. 2007 Naslov: |
|
|
Hehe, evo opet.
Rekurzivno definiramo niz funkcija
[latex]g_k :{\bf N}^k \to {\bf R}[/latex]
[latex]g_k \left( {n_{\left\{ {1,...,k} \right\}} } \right): =[/latex]
[latex]$\sum\limits_{\phi \ne I \subseteq \left\{ {1,...,k} \right\}} {\left( { - 1} \right)^{\left| I \right| + 1} p_{\left| I \right|} } $
[/latex] [latex]\left[ {\sum\limits_{\phi \ne J \subseteq I} {p^{\left| J \right|} \left( {1 - p} \right)^{\left| I \right| - \left| J \right|} \left( {1 - q} \right)^{1 - \delta _{\left| I \right|,\left| J \right|} } g_{\left| I \right| - \left| J \right|} \left( {n_{I\backslash J} + \delta _{\left| I \right|,\left| J \right| + 1} } \right)\prod\limits_{j \in J} {g_1 \left( {n_j } \right)} } } \right][/latex]
uz [latex]k \ge 2[/latex], [latex]p_n : = \frac{1}{{1 - \left( {1 - q} \right)\left( {1 - p} \right)^n }}[/latex],[latex]g_0 : = 1[/latex] ,[latex]g_1 \left( n \right): = \left( {p_1 p} \right)^n ,g_1 :{\bf N} \to {\bf R}[/latex], [latex]n_S : = \left( {n_{s_1 } ,...,n_{s_{\left| S \right|} } } \right),s_1 ,...,s_{\left| S \right|} \in S,s_1 < ... < s_{\left| S \right|}[/latex], standardni Kröneckerov delta [latex]\delta[/latex] i [latex]n_S + 0: = n_S[/latex].
Treba nać opći član niza.
Primjer:
[latex]g_2 \left( {n_1 ,n_2 } \right) = p_1 pg_1 \left( {n_1 } \right) + p_1 pg_1 \left( {n_2 } \right) -[/latex]
[latex]- p_2 \left[ \begin{array}{l}
p\left( {1 - p} \right)\left( {1 - q} \right)\left[ {g_1 \left( {n_2 + 1} \right)g_1 \left( {n_1 } \right) + g_1 \left( {n_1 + 1} \right)g_1 \left( {n_2 } \right)} \right] + \\
+ p^2 g_1 \left( {n_1 } \right)g_1 \left( {n_2 } \right) \\
\end{array} \right] =[/latex]
[latex]= \left( {p_1 p} \right)^{n_1 + 1} + \left( {p_1 p} \right)^{n_2 + 1} - p^2 p_2 \left( {p_1 p} \right)^{n_1 + n_2 } \left( {2p_1 - 1} \right)[/latex]
Još vrijedi veza sa gore definiranim funkcijama [latex]f_k + g_k = 1,\forall k \in {\bf N}[/latex].
Nadam se da je neko vidio nešt slično :wacky:
Hehe, evo opet.
Rekurzivno definiramo niz funkcija
uz , , ,, , standardni Kröneckerov delta i .
Treba nać opći član niza.
Primjer:
Još vrijedi veza sa gore definiranim funkcijama .
Nadam se da je neko vidio nešt slično
_________________ Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
Zadnja promjena: alen; 18:32 pet, 28. 9. 2007; ukupno mijenjano 2 put/a.
|
|
[Vrh] |
|
Blatko Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 07. 2007. (11:25:44) Postovi: (5D)16
|
|
[Vrh] |
|
alen Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58) Postovi: (221)16
|
Postano: 18:22 pet, 28. 9. 2007 Naslov: |
|
|
:rotfl:
Pišem s kolegom ferovcem nešt što bi jednog dana trebalo bit članak pa mislim da mi nije baš zdravo da sad odgovorim. Ak iko može pomoć, spomenemo ga u zahvalama :superctebo:
[size=7]Ilja, kupim ti vigor vodku, 0,10L[/size]
Pišem s kolegom ferovcem nešt što bi jednog dana trebalo bit članak pa mislim da mi nije baš zdravo da sad odgovorim. Ak iko može pomoć, spomenemo ga u zahvalama
Ilja, kupim ti vigor vodku, 0,10L
_________________ Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
|
|
[Vrh] |
|
alen Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58) Postovi: (221)16
|
Postano: 18:14 sri, 5. 12. 2007 Naslov: |
|
|
Evo opet, al sam u međuvremenu uspio znatno pojednostavnit
Dan je niz cjelobrojnih nenegativnih slučajnih varijabli sa
[latex]P\left( {X_n = k} \right) = \frac{{qp^k \left( {1 - p} \right)^{n - k} }}
{{1 - \left( {1 - q} \right)\left( {1 - p} \right)^n }} + \frac{{\left( {1 - q} \right)}}
{{1 - \left( {1 - q} \right)\left( {1 - p} \right)^n }}\sum\limits_{i = 1}^k {\left( \begin{gathered}
k \hfill \\
i \hfill \\
\end{gathered} \right)p^i \left( {1 - p} \right)^{n - i} P\left( {X_{n - i} = k - i} \right)}[/latex]
uz [latex]P\left( {X_n = 0} \right) = \frac{{q\left( {1 - p} \right)^n }}
{{1 - \left( {1 - q} \right)\left( {1 - p} \right)^n }},\forall n \in \mathbb{N}[/latex], gdje je [latex]\operatorname{Im} X_n = \left\{ {0,1,...,n} \right\}[/latex] i [latex]P\left( {X_0 = 0} \right) = 1[/latex].
Treba naći distribuciju od [latex]X_n[/latex]
Evo opet, al sam u međuvremenu uspio znatno pojednostavnit
Dan je niz cjelobrojnih nenegativnih slučajnih varijabli sa
uz , gdje je i .
Treba naći distribuciju od
_________________ Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
|
|
[Vrh] |
|
alen Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58) Postovi: (221)16
|
|
[Vrh] |
|
|