Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
jeca_m Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 01. 2011. (19:47:53) Postovi: (8)16
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
Postano: 14:15 pet, 10. 2. 2012 Naslov: |
|
|
Neka je [tex]I_n=\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin^nx\,\textrm{d}x[/tex].
Nakon što se [tex]I_n[/tex] dva puta parcijalno integrira (u oba slučaja se za [tex]\mathrm{d}v[/tex] uzme [tex]e^{-nx}\,\mathrm{d}x[/tex], a za [tex]u[/tex] da bude preostali dio podintegralne funkcije), dolazi se do izraza
[dtex]I_n=\frac{n-1}{2n}\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin^{n-2}x \,\textrm{d}x.[/dtex]
Sada opet dva puta parijalno integriramo da dobijemo otprilike izgled općeg rješenja. Ovaj put je
[dtex]I_n=\frac{n-1}{2n}\frac{(n-2)(n-3)}{n^2+(n-2)^2}\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin^{n-4}x\,\textrm{d}x.[/dtex]
Idući će biti
[dtex]I_n=\frac{n-1}{2n}\frac{(n-2)(n-3)}{n^2+(n-2)^2}\frac{(n-4)(n-5)}{n^2+(n-4)^2}\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin^{n-6}x\,\textrm{d}x.[/dtex]
Ovisno o parnosti broja n, integral će ti završiti ili s [tex]\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin x\,\textrm{d}x[/tex] ili s [tex]\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin^2x\,\textrm{d}x[/tex] što se opet dvostrukom parcijalnom integracijom lako računa. To ostavljam tebi da dovršiš. :)
Neka je [tex]I_n=\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin^nx\,\textrm{d}x[/tex].
Nakon što se [tex]I_n[/tex] dva puta parcijalno integrira (u oba slučaja se za [tex]\mathrm{d}v[/tex] uzme [tex]e^{-nx}\,\mathrm{d}x[/tex], a za [tex]u[/tex] da bude preostali dio podintegralne funkcije), dolazi se do izraza
[dtex]I_n=\frac{n-1}{2n}\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin^{n-2}x \,\textrm{d}x.[/dtex]
Sada opet dva puta parijalno integriramo da dobijemo otprilike izgled općeg rješenja. Ovaj put je
[dtex]I_n=\frac{n-1}{2n}\frac{(n-2)(n-3)}{n^2+(n-2)^2}\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin^{n-4}x\,\textrm{d}x.[/dtex]
Idući će biti
[dtex]I_n=\frac{n-1}{2n}\frac{(n-2)(n-3)}{n^2+(n-2)^2}\frac{(n-4)(n-5)}{n^2+(n-4)^2}\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin^{n-6}x\,\textrm{d}x.[/dtex]
Ovisno o parnosti broja n, integral će ti završiti ili s [tex]\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin x\,\textrm{d}x[/tex] ili s [tex]\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin^2x\,\textrm{d}x[/tex] što se opet dvostrukom parcijalnom integracijom lako računa. To ostavljam tebi da dovršiš.
_________________ The Dude Abides
|
|
[Vrh] |
|
jeca_m Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 01. 2011. (19:47:53) Postovi: (8)16
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
Postano: 23:35 pon, 23. 4. 2012 Naslov: |
|
|
Nisam imao integriranje u srednjoj, zbog čega bih do kraja semestra mogao imati poprilično banalna pitanja, pa molim bez ( previše ) smjeha :P
Odredi [tex]\int \cos5x \cos 3x d\!x[/tex]. Jedina ideja koju imam je pretvorba umnoška u zbroj. Je li to i bila ideja ovakvog tipa zadatka, ili ima neki način da se integrira direktno?
Općenito, čim vidim neki složeniji trigonometrijski izraz, ideja je da si olakšam korištenjem određenih trigonometrijskih identiteta?
Unaprijed hvala! :thankyou:
Nisam imao integriranje u srednjoj, zbog čega bih do kraja semestra mogao imati poprilično banalna pitanja, pa molim bez ( previše ) smjeha
Odredi [tex]\int \cos5x \cos 3x d\!x[/tex]. Jedina ideja koju imam je pretvorba umnoška u zbroj. Je li to i bila ideja ovakvog tipa zadatka, ili ima neki način da se integrira direktno?
Općenito, čim vidim neki složeniji trigonometrijski izraz, ideja je da si olakšam korištenjem određenih trigonometrijskih identiteta?
Unaprijed hvala!
|
|
[Vrh] |
|
Phoenix Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07) Postovi: (164)16
Sarma: -
|
Postano: 0:12 uto, 24. 4. 2012 Naslov: |
|
|
Ako ne možeš "pogoditi" primitivnu funkciju, onda pokušavaš izraz svesti na neki kojoj znaš primitivnu funkciju. Konkretno, ovdje ne znaš integral (pretpostavljam jer pitaš :P), ali ako to napišeš kao zbroj trigonometrijskih funkcija, dalje znaš riješiti. :)
Ponekad možda možeš razmišljati i kako je netko mogao postaviti takav zadatak pa naslutiti ideju. Recimo, tu imaš produkt trigonometrijskih funkcija... To možeš možda dobiti ako imaš zbroj takvih funkcija, pa deriviranjem opet dobiješ takav zbroj, ali ovog puta možda to možeš zbrojiti preko identiteta i dobiti produkt... Vrijedi isprobati, sada radi obrnutim redoslijedom "obrnute" radnje. :D
(Nije da je ovo neka službena metoda, ali tako sam znao shvatiti kako se rješavaju neki zadaci; recimo, kako ide metoda parcijalne integracije. A to ionako obično uočim tek kada riješim zadatak i vidim što sam napisao. :P)
Ako ipak želiš nešto direktno, uvijek se možeš igrati s dokazom preko definicije integrala. Ali to ti stvarno ne bih savjetovao jer obično to zna biti jako ružno, jako teško, a ponekad i nemoguće za rješavanje (u nekim humanim i razumnim granicama). Ako želiš, radi to na svoju odgovornost. ;)
Ako ne možeš "pogoditi" primitivnu funkciju, onda pokušavaš izraz svesti na neki kojoj znaš primitivnu funkciju. Konkretno, ovdje ne znaš integral (pretpostavljam jer pitaš ), ali ako to napišeš kao zbroj trigonometrijskih funkcija, dalje znaš riješiti.
Ponekad možda možeš razmišljati i kako je netko mogao postaviti takav zadatak pa naslutiti ideju. Recimo, tu imaš produkt trigonometrijskih funkcija... To možeš možda dobiti ako imaš zbroj takvih funkcija, pa deriviranjem opet dobiješ takav zbroj, ali ovog puta možda to možeš zbrojiti preko identiteta i dobiti produkt... Vrijedi isprobati, sada radi obrnutim redoslijedom "obrnute" radnje.
(Nije da je ovo neka službena metoda, ali tako sam znao shvatiti kako se rješavaju neki zadaci; recimo, kako ide metoda parcijalne integracije. A to ionako obično uočim tek kada riješim zadatak i vidim što sam napisao. )
Ako ipak želiš nešto direktno, uvijek se možeš igrati s dokazom preko definicije integrala. Ali to ti stvarno ne bih savjetovao jer obično to zna biti jako ružno, jako teško, a ponekad i nemoguće za rješavanje (u nekim humanim i razumnim granicama). Ako želiš, radi to na svoju odgovornost.
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
Postano: 3:40 uto, 24. 4. 2012 Naslov: |
|
|
Integriranje je linearni funkcional iz vektorskog prostora svih integrabilnih funkcija* u R, tako da kad god imaš priliku umnožak dvije funkcije pretvoriti u sumu, linearnost će ti omogućiti da taj umnožak rastaviš na dva (uglavnom jednostavnija) integrala.
*:[size=7]preciznije, svih integrabilnih funkcija definiranih na segmentu [a,b], ali trenutno nebitno za samu tehniku integriranja jer i linearnost i homogenost su očuvani u slučaju nepravih integrala.[/size]
Integriranje je linearni funkcional iz vektorskog prostora svih integrabilnih funkcija* u R, tako da kad god imaš priliku umnožak dvije funkcije pretvoriti u sumu, linearnost će ti omogućiti da taj umnožak rastaviš na dva (uglavnom jednostavnija) integrala.
*:preciznije, svih integrabilnih funkcija definiranih na segmentu [a,b], ali trenutno nebitno za samu tehniku integriranja jer i linearnost i homogenost su očuvani u slučaju nepravih integrala.
_________________ The Dude Abides
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
malalodacha Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 10. 2011. (17:06:13) Postovi: (79)16
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
vjekovac Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2003. (18:26:55) Postovi: (2DB)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
student_92 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 17. 09. 2011. (16:31:46) Postovi: (B9)16
|
|
[Vrh] |
|
|