povezanost skupova (zadatak)

[ivona9876]

ispitati jesu li skupovi povezani:
a)
b)
Dokazite svoje tvrdnje.

Trebala bi mi pomoć oko ovoga jer ne razumijem na koji način bih mogla ovo ispitati i dokazati

[goranm]

Prvi skup pod a) ocito je graf funkcije [tex]e^{(-1/|x|)}[/tex]. Ono sto je ocito je da ta funkcija nije definirana u 0, a iz grafa se moze naslutiti da s lijeve i s desne strane iz beskonacnosti pada prema nuli. To znaci da kada gledas limes funkcije [tex]e^{(-1/|x|)}[/tex] u 0 zdesna ili s lijeva, njegova vrijednost bi trebala biti 0.

Prema tome, koliko god malenu otvorenu kuglu uzmes oko tocke (0,0), ona ce sijeci i lijevu i desnu granu grafa funkcije [tex]e^{(-1/|x|)}[/tex]. Drugim rijecima, ne mozes naci otvoren skup takav da sadrzi tocku (0,0) i ne sadrzi niti jednu tocku grafa funkcije [tex]e^{(-1/|x|)}[/tex], tj. skup [tex]\{(x,e^{-\frac{1}{|x|}})|x\in R\backslash \{0\} \}\cup \{(0,0)\}[/tex] ne mozes rastaviti na dva disjunktna i neprazna otvorena skupa, a to po definiciji znaci da je taj skup povezan.

Ostaje ti jos formalno izracunati spomenute limese i pokazati (npr. metodom kontradikcije) da koliko god malenu otvorenu kuglu oko ishodista odaberemo, ona ce presjecati i lijevu i desnu granu grafa funkcije [tex]e^{(-1/|x|)}[/tex].

Slicno se postupa u b).

_________________
The Dude Abides

[ivona9876]

Shvatila sam,znaci isti postupak bi vrijedio i za skup ??
što da radim sa ovim zadacima
1)dokazat da podskup X= euklidskog prostora povezan
2)ispitati povezanost skupa

ovdje ne mogu na takav nacin?

[ivona9876]

ako netko zna barem ideju kako bih mogla ovo riješiti?

[kikzmyster]

za oba dva je mozda najzgodnije pokazat povezanost putevima, sto povlaci povezanost.

1) Ovaj skup (nazovimo ga [tex]S[/tex]) je u biti unija grafova [tex]x^n[/tex]. Svaki od njih je povezan putevima (za put izmedu tocaka [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] uzmemo [tex]\alpha \ : \ [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex] definiran sa [tex]\alpha(x) = (x, x^n) [/tex]. Kako se svi grafovi sijeku u (0,0), vidimo da od bilo koje tocke [tex]A \in S[/tex] mozemo doci do bilo koje druge tocke [tex]B \in S[/tex] tako da prvo "podemo" do (0,0), pa zatim do B. Zakljucujemo da je [tex]S[/tex] povezan putevima. Ovo je intuitivan pristup, ali funkcionira. Ako zelis formalno samo reci

2) Nazovimo promatrani skup [tex]T[/tex]. Vidimo da [tex]T[/tex] sadrzava sve skupove oblika [tex]\{(q,x), \ x \in \mathbb{R}\}[/tex], za bilo koji [tex]q \in \mathbb{Q}[/tex], i sve skupove oblika [tex]\{(x,q), \ x \in \mathbb{R}\}[/tex], za bilo koji [tex]q \in \mathbb{Q}[/tex], i nista drugo. Dakle skup [tex]T[/tex] je nekakva (gusta) "mreza" u ravnini. Sad od bilo koje tocke [tex](x_1,y_1) \in T[/tex] mozemo doci do bilo koje druge tocke [tex] (x_2,y_2) \in T[/tex] "gibajuci se" horizontalno i vertikalno po ovoj mrezi. Zakljucujemo da je [tex]T[/tex] povezan putevima. Opet, ako hoces eksplicitno napisan put izmedu dvije proizvoljne tocke, napisat cu.

[ivona9876]

ako te ne gnjavim puno,pomoglo bi da ipak napises

[kikzmyster]

znaci za ovaj pod 1), uzmimo dvije proizvoljne tocke [tex](x_1,y_1)[/tex] i [tex](x_2,y_2)[/tex]. Iz oblika promatranog skupa znamo da je [tex]y_1 = x_1^n \ , \ y_2 = x_2^m [/tex], za neke n, m. Ako je n=m, onda put izmedu ove dvije tocke dobijemo onako kako sam gore opisao. Sad gledamo slucaj [tex]n \neq m[/tex]. Prvo idemo od [tex](x_1, x_1^n)[/tex] do [tex](0,0)[/tex], i to funkcijom [tex]\alpha \ : \ [0,x_1] \rightarrow \mathbb{R}^2 [/tex] definirana s [tex]\alpha(x) = (x_1 - x, {(x_1 - x)}^n) [/tex]. Sad definiramo put od (0,0) do [tex](x_2, x_2^m)[/tex], [tex]\beta \ : [0, x_2] \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex], [tex]\beta (x) = (x, x^m) [/tex]. OK, to su sad posebno put do (0,0) i put od (0,0) do [tex](x_2, x_2^m)[/tex]. Njih cemo spojiti u jednu neprekidnu funkciju (da sve bude po definicija povezanosti putevima) koju cemo nazvat [tex]\gamma[/tex], na sljedeci nacin.

[tex] \gamma(x) = \left\{ \begin{array}{lr} (x_1 - x, {(x_1 - x)}^n) \ , \ x \in [0,x_1] \\ (x - x_1, {(x-x_1)}^m) \ , \ x \in [x_1, x_2] \end{array} \right. [/tex]

Uoci da gornji dio funkcije tocno odgovara funkciji [tex]\alpha[/tex], a donji dio odgovara funkciji [tex]\beta[/tex], ali sa translacijom od [tex]x_1[/tex]. Napravili smo tu translaciju da bi domena od [tex]\gamma[/tex] bio segment. Dakle [tex]\gamma: [0,x_1+x_2] \rightarrow \mathbb{R}^2 [/tex] je trazeni put.

Ne stignem sad pod 2) napisat, pa cu njega negdje oko 8, 9

[Phoenix]

kikzmyster, nadam se da ti ne smeta ako dovršim. Ionako sam već počeo pisati, a forum je na trenutak bio pust po popisu korisnika...

2) Neka su [tex](a,b)[/tex] te [tex](c,d)[/tex] proizvoljne točke zadanog skupa.
Dva su glavna slučaja:
[tex]1[/tex]° Obje točke imaju za racionalan broj prvu (ili drugu) koordinatu.
Neka su prve koordinate racionalne, dakle [tex]a,c \in \mathbb{Q}[/tex].
Neka je [tex]\gamma : \left[0, 3 \right] \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex] zadana sa:
[tex]\gamma(t)= \left\{ \begin{array}{rcl}
(a-ta,b) & \mbox{for} & t \in \left[ 0,1 \right] \\
(0,b+(t-1)(d-b)) & \mbox{for} & t \in \left< 1,2 \right] \\
((t-2)c,d) & \mbox{for} & t \in \left< 2,3 \right] \\
\end{array}\right.
[/tex]
Uoči da je [tex]\gamma (0)=(a,b)[/tex], [tex]\gamma (3) = (c,d)[/tex] te da je [tex]\gamma[/tex] neprekidna funkcija. Dakle, to je put između navedene dvije točke čija se slika nalazi unutar zadanog skupa.
Dakle, kako ide "šetnja": pošto je prva koordinata racionalna, idem od [tex](a,b)[/tex] po pravcu paralelnom s osi [tex]x[/tex] - tako se prva koordinata ne mijenja pa je i dalje racionalna, dakle još uvijek smo unutar zadanog skupa. Zatim od [tex](0,b)[/tex] po [tex]y[/tex] osi idem do [tex](0,d)[/tex] i konačno dolazim do [tex](b,d)[/tex]. Dakle, kretnja po tri dužine tako da nam je prva koordinata stalno racionalan broj.
Analogno i ako su obje druge koordinate racionalni brojevi.
[tex]2[/tex]° Prva koordinata jedne točke je racionalna, kao i druga koordinata druge točke.
Pretpostavimo da su to [tex]a,d \in \mathbb{Q}[/tex] točaka [tex](a,b)[/tex] i [tex](c,d)[/tex]. Sljedeća funkcija je traženi put između obje točke:
[tex]\gamma : \left[0, 2 \right] \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex]
[tex]\gamma(t)= \left\{ \begin{array}{rcl}
(a,b+t(d-b)) & \mbox{for} & t \in \left[ 0,1 \right] \\
(a+(t-1)(c-a),d) & \mbox{for} & t \in \left< 1,2 \right] \\
\end{array}\right.
[/tex]
Drugi dio je potpuno analogan, ali može se poistovjetiti i s ovim pošto je apsolutno isto.

[ivona9876]

hvala vam.