zbirka zadataka

[Mrs. Bean]

Na popravnom kolokviju moguce je ostvariti 60 bodova. tim bodovima dodaju se bodovi s skolskih zadaca i 1/3 bodova ostvarenih na kolokviju. zbroj svih tih bodova mora biti 35 ili vise kako bi se moglo na zavrsni. Jel to jos uvijek vrijedi? na stranici kolegija nema pravila, ovo pise u izvedbenom planu nastave, pa provjeravam da li vrijedi:)

i kad ce se odrzati usmeni za one koji idu na popravni?

[Milojko]

pretpostavljam 28., jer tad su neki poslani s redovnog usmenog......

_________________
Sedam je prost broj

Bolonja je smeće i to pod hitno treba mijenjat

[tidus]

[psujetic]

Zar to onda znaci da se bodovi ostvareni na popravnom ne mnoze sa 2/3??

[tidus]

[psujetic]

Hvala!!!!

[didit]

Da li bi mi netko mogao pomoći sa ovim zadatkom:
Je li skup [0,1]x[0,1], ureden antileksikografski, slican sa ([0,1],<) ?

[.anchy.]

Ne,prvi nije separabilan,drugi je.
Za drugi je prebrojiv podkup koji je gust u njemu Q presjek [0,1], a za drugi neznam točno,ali mi je asistent rekao nešto za uređene parove [x,sqrt2]. Kao da je svaki gust podskup neprebrojiv,ali,kažem,ne znm točno.

[piko]

molio bih pomoć u vezi zadatka 23. iz zbirke.

bio bih zahvalan i samo na uputi, a na raspisu još zahvalniji!

najmanja refleksivna i tranzitivna relacija koja sadrži relaciju [tex]R[/tex], tj. njeno refleksivno i tranzitivno zatvorenje je relacija [tex]R^T = I_A \cup (\cup_{n=1}^{\infty} R^n)[/tex], ili drugim riječima, ako stavimo [tex]R^0 := I_A[/tex], vrijedi [tex]R^T = \cup_{n=0}^{\infty} R^n[/tex].

kako je [tex]R^n=\underbrace{R \circ R \circ \cdot \cdot \cdot \circ R}_{n puta}[/tex], zapravo je [tex]R^T=I_A \cup R \cup R \circ R \cup R \circ R \circ R \cdot \cdot \cdot[/tex].

________________________________________
Zadatak 23
Dokažite da za sve relacije [tex]R[/tex], [tex]Q \subseteq A × A[/tex] vrijedi:

a) [tex](R^T)^T = R^T[/tex];

b) ako [tex]R \subseteq Q[/tex] tada [tex]R^T \subseteq Q^T[/tex];

c) ako [tex]Q \subseteq R \subseteq Q^T[/tex] tada [tex]R^T=Q^T[/tex];

d) [tex](R \cup Q)^T = (R^T \circ Q^T)^T[/tex].

________________________________________

u a) dijelu je [tex]R^T[/tex] najmanja refleksivna i tranzitivna relacija koja sadrži relaciju [tex]R[/tex], pa ako uzmemo refleksivno i tranzitivno zatvorenje od [tex]R^T[/tex], tj. [tex](R^T)^T[/tex], opet dobijemo [tex]R^T[/tex]. ali kako to formalno pokazati?
[tex](x,y) \in (R^T)^T[/tex]
[tex](x,y) \in (\cup_{n=0}^{\infty} R^n)^T[/tex]
i sad ne znam kako dalje...

u b) dijelu pretpostavim da vrijedi [tex]R \subseteq Q[/tex] i pokušavam doći do toga da je [tex]R^T \subseteq Q^T[/tex].
znači: [tex]R \subseteq Q[/tex]
mogu li (smijem li?) sada objema stranama dodati isti skup kako bih dobio
[tex]R \cup I_A \subseteq Q \cup I_A[/tex]?
bi li se moglo dalje indukcijom? npr. da pretpostavim da za neki [tex]k \in \mathbb{N}[/tex] vrijedi
[tex]\cup_{n=0}^{k} R^n \subseteq \cup_{n=0}^{k} Q^n[/tex].
tada svakoj strani dodam [tex]R^{k+1}[/tex], uzevši u obzir da ako je [tex]R \subseteq Q[/tex], onda je valjda i [tex]R \circ R \subseteq Q \circ Q[/tex] i tako dalje sve do [tex]R^{k+1} \subseteq Q^{k+1}[/tex]:

[tex](\cup_{n=0}^{k} R^n) \cup R^{k+1} \subseteq (\cup_{n=0}^{k} Q^n) \cup R^{k+1}[/tex]

[tex](\cup_{n=0}^{k+1} R^n) \subseteq (\cup_{n=0}^{k} Q^n) \cup R^{k+1} \subseteq (\cup_{n=0}^{k} Q^n) \cup Q^{k+1} = (\cup_{n=0}^{k+1} Q^n)[/tex]

iz čega slijedi tvrdnja. ima li ovo smisla?


kako riješiti c) dio?

kako riješiti d) dio?


unaprijed zahvaljujem na pomoći!

[Cobs]

prvo treba uočit da ako je refleksivno i tranzitivno zatvorenje, da je onda
samo malo razmisliti što dobijemo kompozicijom refleksivnog i tranzitivnog skupa sa samim sobom ( to se može i dokazati lagano, probaj svakako jer mi inače rješenje pada u vodu )

onda bi prvi zadatak išao lagano...

ako je to znači da je za neki

( u prirodne brojeve ćemo ubrojiti nulu sam zato kaj mi se neda posebno pisat za taj slučaj )

onda induktivno upotrijebimo onu tvrdnju s početka za refleksivne i tranzitivne relacije i dobijemo da je il pa je to što smo tražili, ili je a s obzirom da je to podskup od traženog skupa opet zaključujemo isto.

Suprotno je dosta lagano, možeš na suprotan način "širiti" skup do traženog skupa.

b) dio ti je mislim ok, induktivno dokazat ono što si mislio i to je u redu. Samo zapamti, relacija je ništa drugo nego podskup nekog skupa, pa normalno možeš raditi onakve operacije ( nadodati uniju i sl. ).

c) nije ništa drugo nego kombinacija a) i b)

d) bi trebo raspisivati na papiru, a ne vidim rješenje na prvu, a to mi se baš i neda, pa kreni lagano skupovno ako je x iz jednog i raspisuje na sve moguće načine dok ti ne padne neka ideja na pamet