1. domaća zadaća

[Zenon]

Pozdrav!
Molio bih pomoć oko ovoga zadatka:

Dokažite da vektorski prostor [tex]\mathbb R^{\mathbb N}[/tex] svih nizova realnih brojeva nije konačnodimenzionalan.

Hvala unaprijed!

[Borgcube]

Pa, pošto ne znamo baš svojstva beskonačno dimenzionalnih, najlakše je pretpostaviti suprotno - on je konačno dimenzionalan. A to znači da ima bazu. Recimo da mu je dimenzija n. Definirajmo niz nizova () td. da i-ti niz ima sve članove nula, osim i-tog koji je jedan. Dakle, npr. će biti niz 1, 0, 0, 0..., će biti niz 0, 1, 0, 0, 0... itd.
Lako se pokaže da su svi linearno nezavisni - primjerice indukcijom. Sad uzmemo n takvih nizova, do . Pošto su linearno nezavisni, i n ih je, oni čine bazu. No, ako uzmemo niz , njega ne možemo prikazati preko prethodnih, što znači da oni nisu baza, a kako jesu linearno nezavisni, znači da nisu sistem izvodnica. No, to je kontradikcija s pretpostavkom da je taj prostor konačno dimenzionalan.

_________________
Ceterum censeo Carthaginem esse delendam.

[Zenon]

[jema]

sto se tice 4. zad., nama je asistent rekao da trebamo pokazat samo da je lin. ljuska od A podskup od lin.ljuske od B i obratno...
pa sam ja to ovako dokazala....
Neka je lin.lj. od A podskup od lin.lj. od B te neka je x=suma svih alfa(i)*a(i), i=1,...,r. treba dokazati da je xE lin.lj. A ujedno i E lin.lj. B.
ako je xE lin.lj.B, tada se on moze prikazati kao lin.komb. svih bj, tj. x=suma svih beta(j)*b(j), j=1,...,s. kako je xE lin.lj. A, iz pretpostavke da je lin.lj. A podskup od lin.lj. B slijedi da je xE lin.lj. B sto povlaci da je suma svih alfa(i)*a(i) E lin.lj. B, tj. a(i) E lin.lj. B za svaki i=1,...,r.
analogno i za lin.lj. B podskup lin. ljuske A.........
jel to dobro???

e,a kak ovaj 5.? mislim, ja bi to isla dokazat na sljedeci nacin: da uzmem konacan skup B podskup od Rn koji ima konacno elemenata k....i sad je i taj skup lin.nez. jer je i Rn linearno nezavisan...i sad...kako uopce izgleda opci clan niza realnih brojeva??

Added after 5 minutes:

ahaa... sad sam vidjela ovo objasnjenje za 5. zad...jasno mi je sve, samo zasto smo smjeli tako uzet da stavimo a1=(1,0,...), itd... onda je to jednostavno jer je to isto kao sto nam je prof. objasnio za e-ove....

[lav]

pomoc
nije mi jasno kako smo zakljucili u 2. zad da je an=0. hvala!

[gflegar]

Pa zadnji polinom [tex] t(t-1)....(t-n+1) [/tex] se moze napisasti kao [tex] t^n + nesto[/tex], a nama jednakost treba vrijediti za svaki izbor [tex]t[/tex], tj. [tex]t^n[/tex] nam se mora ili "pokratiti" s necim, ili koeficijent kod njega [tex] a_n [/tex] mora biti [tex]0[/tex]. Kako je taj polinom jedini polinom n-tog stupnja u sumi on se nema s cim "pokratiti". Onda je sigurno [tex]a_n = 0 [/tex].

Nadam se da je sad jasno.

[anamarie]

gdje je zadaća????zadnja je od 2010/2011,a nema 2011/2012

[pedro]

dajte neka još neko dokaže 4 zadatak:)

[dalmatinčica]

[anamarie]

[jema]

5. zadatak???

[malalodacha]

kako dokazati da je nešto sustav izvodnica? jel dovoljno napisati a1(1,1,1)+a2(2,1,3)+a3(3,1,7)+a4(6,2,12)=(v1,v2,v3) ?

[gflegar]

Dovoljno je pokazati da se opci clan v. p. moze prikazati kao lin. komb. skupa za koji hoces pokazati da je sustav izvodnica. U tvojem slucaju, treba rijesiti ovaj sustav jednadzbi po [tex] a_1, a_2, a_3[/tex]. Taj je skup tada sustav izvodnica ako sustav jednadzbi ima rjesenje.

[malalodacha]

imam 3 jednadžbe i 4 nepoznanice..dakle, ima beskonačno rješenja??

[gflegar]

Ili ima beskonacno rjesenja ili uopce nema rjesenja.

[jema]

a mislim, jasno mi je sve sto je on/a napisalo/la, samo mi cudno to kak se moze uzeti da mi je a1 niz (1,0,0,...), itd... XD al dobro a jel dobar moj dokaz za 4.zad?? XD

[gflegar]

A zasto nebi smjeli uzeti taj skup? Nismo morali bas njega uzeti, ali je on nekako najjednostavniji za dobiti kontradikciju. Jer je cijeli smisao dokaza ovaj: uzmes neki skup, dokazes da je on baza, a onda dokazes da on istovremeno nije baza, pa dobis kontradikciju.

Added after 14 minutes:

[jema]

hehhe XD mislim da cu ipak pisat sve jer neznam taj TeX XD ajd nebitno sad to, prosla zadaca XD a hvala ti