Treća domaća zadaća

[anamarie]

[malalodacha]

ajde mi anemarie napiši po koracima kako si došla do toga?? vjerojatno prvo racionalizacija ide, ali s čim onda dijelit, jer kako god dijelim,dobijem nešt bezveze

[anamarie]

[Zenon]

Kako riješiti:
Ispitajte monotonost niza:
[dtex]\frac{1}{arctg(-n)}\cdot\frac{3n-2}{n^2+n+10}[/dtex]

Dobio sam da [tex]a_n :=\frac{3n-2}{n^2+n+10}[/tex] izlgeda ovako: [tex]a_1\geq a_2\geq a_3<a_4<a_5<\ldots[/tex]
i da je [tex]b_b :=\frac{1}{arctg(-n)}[/tex] strogo rastući.

Unaprijed hvala!

EDIT:
Usput, kako da dokažem da [tex]a_n :=\frac{n^2}{n+4}[/tex] nije omeđen odozgo?

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[Phoenix]

Nisi li upravo riješio prvi zadatak (ako si to uspio pokazati)?
Doduše, ako uzmemo da je niz monoton ako zadovoljava određenu relaciju za svaka dva susjedna elementa niza, očito tvoj niz nije monoton (ali možda možeš reći da je strogo rastući od [tex]3.[/tex] člana niza).
(Zapravo, možda bih trebao reći da, ako želiš komentirati monotonost niza nastalog umnoškom odgovarajućih elemenata drugih monotonih nizova, promatraj njihove predznake i, ako su stalni, možda možeš doći do korisnog zaključka.)

Evo dva načina za drugi:
1) [tex]a_n = \frac{n^2}{n+4} = \frac{n^2+4n-4n-16+16}{n+4} = n-4+\frac{16}{n+4} \geq n-4 \Rightarrow a_n \geq n-4, \forall n \in \mathbb{N}[/tex]
2) Pretpostavimo suprotno, tj. [tex]\exists M \in \mathbb{R}[/tex] takav da je [tex]a_n<M, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{n^2}{n+4}<M, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow n^2-Mn-4M<0, \forall n \in \mathbb{N}[/tex]. Kontradikcija!

[Zenon]

[Tomislav]

[Phoenix]

[Zenon]

Hvala kolege, da, obrnio sam znakove nejednakosti, ali sam mislio tako kao što vi kažete. Znam da mora biti padajuća jer će kvadrat u nazivniku puno brže rasti od pravca u brojniku
Sanjao sam da asistentica Lubura riješava taj zadatak s arctg(-n) na ploči, eto koliko mi je onda zadatak u podsvijesti
I, što je žalosno, ne sjećam se "što je radila" ...

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[malalodacha]

zenone, mislim da je ipak najžalosnije od svega to što ti sanjaš uopće takve stvari i dijeliš to s nama

[gflegar]

meni se cini da je njemu na pameti asistentica, a ne zadatak

[Tomislav]

[Jurinho]

Zenon mi te volimo,,hahahahahahahahahahahahahahahahahaha samo ti dijeli to s nama,odmah smo i mi radosni

[Zenon]

Hopa, cupa, hello!
Molim provjeru svoga rješenja.

Izračunaj ( u ovisnosti o [tex]x\in\mathbb R[/tex] ):
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}}[/dtex].
Eksponent je uvijek paran.
Za x=1 i x=-1:
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}}=\frac{1}{1+1}=\frac12[/dtex]
Za [tex]x\in\left←1,1\right>[/tex]:
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}}=\frac{0}{0+1}=0[/dtex]
Za [tex]x\in\mathbb R\backslash\left[-1,1\right][/tex]
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{\frac{1}{x^{2n}}+1}}=1[/dtex]

Unaprijed hvala!

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[satja]

Dobro ti je to Zenone

[Zenon]

Hvala satja!
Molim provjeru za još neka rješenja
Zadatak:

Izračunaj limes a niza [tex](a_n)[/tex] i za zadani [tex]\epsilon >0[/tex] odredite [tex]n_0\in\mathbb N[/tex] takav da vrijedi [tex]|a_n-a|<\epsilon[/tex] za [tex]n\geq n_0[/tex]

(a) [dtex]a_n=0.\underbrace{33\ldots 3}_{n},\quad \epsilon=10^{-7}[/dtex]
Dobio sam da je [tex]n_0=7[/tex]

(b) [dtex]a_n=\frac 1n \cos{\frac{n\pi}{2}},\quad \epsilon=0.001[/dtex]
Dobio sam da je [tex]n_0=1000[/tex]

(c) [dtex]a_n=\frac{5n^2+1}{7n^2-3},\quad \epsilon=0.005[/dtex]
Dobio sam [tex]n_0=\lfloor \frac{\sqrt{4421}}{7}\rfloor +1[/tex]

Unaprijed hvala na trudu. Limesi su očiti, pa njih nisam pisao...

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[satja]

1. i 3. su ti dobri, a u 2. za 1000 imaš jednakost (a treba biti stroga nejednakost) tako da je tu rješenje 1002.

[Zenon]

[satja]

Da, 1001 je.

Hvala, sretna nova godina i tebi! Puno bodova na kolokvijima ti želim!

[Zenon]

Hvala, možda bude u drugom semestru

Ok.
Sada dva ne znam riješiti, a za nekoliko njih trebam provjeru.
Opet molim pomoć
Provjera:
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left(1+\frac 11\right)^1\cdot\left(1+\frac 12\right)^2\cdot\left(1+\frac 13\right)^3\cdots\left(1+\frac 1n\right)^n}}=e[/dtex]

33. Dokažite da za niz [tex](a_n)[/tex] takav da je [tex]\lim_{n\to\infty}{(a_{n+1}-a_n)}=a[/tex] vrijedi [tex]\lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{n}}=a[/tex].
Nije li to čisti Stolzov teorem, ako napišemo [tex](a_{n+1}-a_n)=\frac{(a_{n+1}-a_n)}{(n+1)-n}[/tex] i iz toga direktno slijedi?

34. Neka je [tex]\lim_{n\to\infty}{a_n}=a[/tex]. Izračunaj
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{\sqrt n}\left(a_1+\frac{a_2}{\sqrt2}+\ldots +\frac{a_n}{\sqrt n}\right)}=\lim_{n\to\infty}{\frac{a_1+\frac{a_2}{\sqrt2}+\ldots +\frac{a_n}{\sqrt n}}{\sqrt n}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{\frac{a_{n+1}}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt n}\cdot\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}}=\lim_{n\to\infty}{\left[a_{n+1}\left(1+\sqrt{\frac{n}{n+1}}\right)\right]}=2a[/dtex]

37. (a)
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\frac{1+\frac12+\ldots +\frac 1n}{\ln n}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{\frac{1}{n+1}}{\ln{\left(\frac{n+1}{n}\right)}}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{(n+1)\ln{\left(1+\frac 1n\right)}}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{\ln{\left(1+\frac 1n\right)^n}+\ln{\left(1+\frac 1n\right)}}}=\frac{1}{\ln e +0}=1[/dtex]

Ne znam riješiti:

Koristeći Cesaro-Stolzov teorem izračunajte:
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\frac{1^p+2^p+\ldots +n^p}{n^{p+1}}},\quad p>1[/dtex]
Želim samo na glasiti da jedini uvijet na p je taj da je p>1, tj. [tex]p>1,p\in\mathbb R[/tex]. Pokušao sam svašta ali stalno dobijam ili 0-0, [tex]\frac 00[/tex], [tex]\infty -\infty[/tex] ili [tex]0\cdot\infty[/tex]...

36. Neka su [tex]a,b\in\mathbb R[/tex] i neka je [tex](a_n)[/tex] definiran rekurzivno
[dtex]a_1=a,\quad a_2=b,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2n}a_n+\frac{2n-1}{2n}a_{n-1},\quad n\geq 2[/dtex].
Izračunaj limes od [tex](a_n)[/tex].
Tu nisam imao neke pretjerane ideje pa sam brljavio, nisam nigdje stigao doli do postanja zadatka na forum

Koristeći logičke simbole zapiši sljedeću tvrdnju:
c) Broj a je limes niza
d) Limes niza je [tex]+\infty[/tex]
e) Broj a je gomilište niza

Unaprijed ( puno, puno, puno ) hvala.
Znam da ima jako puno, ali, ako je problem, mogu se ja nekako i odužiti. Štoviše, vrlo rado bih to učinio kad već "kamarim" pitanja
Ne znam čime, to ostavljam vama koji mi pomažete
Još jednom hvala!

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]