Zadaci (zadatak)

[Bole13]

E super hvala. Možeš još samo argumentirati ovaj pod (c). Očekivao sam da neka parc. derivacija neće postojati pa da ćemo tako argumentirati, ali postojanje svih parc. derivacija ne povlači diferencijabilnost u toj točki pa ne znam što da radim tu.

[Phoenix]

Kada bi [tex]c \in \mathbb{R}[/tex] bila tražena derivacija, vrijedilo bi [tex]\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (1,0)} \frac{\frac{(x-1)^3-y^3}{(x-1)^2+y^2}-c}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}=0[/tex].
Za podniz oblika [tex](1+h,-h)[/tex] vrijedi [tex]\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{h^3+h^3}{h^2+h^2}-c}{\sqrt{h^2+h^2}}= \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h-c}{|h|} =0[/tex].
Za [tex]c \neq 0[/tex] limes ne postoji jer cijeli izraz divergira, dok za [tex]c = 0[/tex] limes ne postoji jer možemo konstruirati nizove takve da njihovi limesi daju dva gomilišta, [tex]1[/tex] i [tex]-1[/tex] (ovisno o tome je li [tex]h[/tex] u okolini [tex]0[/tex] pozitivan ili negativan).
Dakle, limes za navedeni podniz ne postoji, pa posebno nije jednak nuli. Funkcija nije diferencijabilna u [tex](1,0)[/tex].

[frutabella]

[Phoenix]

U zabludi si.
Traži se parcijalna derivacija cijele funkcije komponente, a ne djelomično deriviranje i prepisivanje ostatka. Evo primjer za jednu za koju se pitaš:
[tex]\frac{\partial f_2}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^2+y-1)=\frac{\partial}{\partial x}x^2+\frac{\partial}{\partial x}y-\frac{\partial}{\partial x}1=2x+0-0=2x[/tex]
Dakle, konkretno u ovom primjeru, ako deriviraš po varijabli [tex]x[/tex], tada [tex]y[/tex] nije ništa drugo nego konstanta (inače konstante obično označavaš s, recimo, [tex]a[/tex], [tex]c[/tex] i slično - ali ovdje je drugačije). I moraš derivirati sve, dakle svaki dio izraza koji se pojavljuje kao koordinata preslikavanja.

Ako te još muči [tex]\frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}x^y=x^y \ln(x)[/tex], opet, promatraj da je [tex]x[/tex] konstanta. Dakle, zapravo deriviraš eksponencijalnu funkciju s bazom [tex]x[/tex], a njena derivacija je poznata iz matematičke analize.

[pedro]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/vjezbe6.pdf

može strana 5 zad 1.21?

[Phoenix]

[tex]\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}(0,0)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f((0,0)+h(v_1,v_2))-f(0,0)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{h^2v_1v_2}{h^2v_1^2+hv_2}}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{v_1v_2}{hv_1^2+v_2}[/tex]
Ako je [tex]v_2=0[/tex], razlomak je jednak nuli, pa i sam limes. U slučaju [tex]v_2 \neq 0[/tex], limes je jednak [tex]\frac{v_1v_2}{v_2}=v_1[/tex].
Vektor [tex]v \in \mathbb{R}^2[/tex] je bio proizvoljan, dakle pokazali smo da [tex]f[/tex] ima derivaciju u točki [tex](0,0)[/tex] u svakom smjeru.
Sada ćemo pokazati drugu tvrdnju, odnosno da [tex]f[/tex] nije neprekidna u [tex](0,0)[/tex].
Pošto je [tex]f(0,0)=0[/tex], kada bi funkcija zaista bila neprekidna u [tex](0,0)[/tex], trebalo bi vrijediti [tex]\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=0[/tex]. No, uočimo da je [tex]f(\frac{1}{n},\frac{1}{n^4}-\frac{1}{n^2})=\frac{\frac{1}{n}(\frac{1}{n^4}-\frac{1}{n^2})}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}-\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{n}-n[/tex], pa je [tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}f(\frac{1}{n},\frac{1}{n^4}-\frac{1}{n^2})=-\infty[/tex].
Uočimo, niz [tex](x_n,y_n)=(\frac{1}{n},\frac{1}{n^4}-\frac{1}{n^2})[/tex] je niz s limesom u [tex](0,0)[/tex] za koji ne postoji limes niza [tex]f(x_n,y_n)[/tex]. Dakle, svakako ne postoji ni limes funkcije [tex]f[/tex] u točki [tex](0,0)[/tex], pa ona nije ni neprekidna u toj točki - što je i trebalo pokazati.
Također, [tex]f[/tex] se ne može ni dodefinirati (zapravo, rekao bih redefinirati pošto je već definirana ) u [tex](0,0)[/tex] tako da bude neprekidna u njoj točki iz već gore navedenog razloga - postoji niz koji konvergira u [tex](0,0)[/tex] za koji niz funkcijskih vrijednosti po tom nizu divergira.

[matijaB]

jel moze neko rijesit prvi iz zadace?

http://web.math.hr/nastava/difraf/dif/2007-08/zadaca_df.pdf

[Phoenix]

Za [tex]x \neq 0[/tex] (i proizvoljan [tex]y \in \mathbb{R}[/tex]) vrijedi:
[tex]\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\sin(x^2y)}{x}+2y)=\frac{\frac{\partial}{\partial x}\sin(x^2y) \cdot x - \sin(x^2y) \cdot \frac{\partial}{\partial x}x}{x^2}=\frac{\cos(x^2y)\cdot 2xy \cdot x - \sin(x^2y)}{x^2}=\frac{2x^2y \cos(x^2y) - \sin(x^2y)}{x^2}[/tex]
[tex]\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\sin(x^2y)}{x}+2y)=\frac{1}{x}\frac{\partial}{\partial y} \sin(x^2y)+2 \frac{\partial}{\partial y}y=\frac{1}{x} \cos(x^2y) \cdot x^2 +2=x \cos(x^2y)+2[/tex]

Za [tex]x = 0[/tex] i [tex]y \neq 0[/tex] (objasnit ću zašto mi treba) vrijedi:
[tex]\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,y)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(h,y)-f(0,y)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{\sin(h^2y)}{h}+2y-2y}{h}= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin(h^2y)}{h^2}= y \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h^2y)}{h^2y} = y[/tex] (zbog ovog sinusa mi treba [tex]y \neq 0[/tex]; vidi dolje razliku kada je [tex]y=0[/tex]).
[tex]\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,y)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(0,y+h)-f(0,y)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2(y+h)-y}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2h}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}2=2[/tex]

Konačno, preostale su nam još točke oblika [tex](0,0)[/tex] i njihove parcijalne derivacije tražimo potpuno analogno kao u prethodnom slučaju.
[tex]\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\frac{\sin(h^2 \cdot 0)}{h}+2 \cdot 0 - 2 \cdot 0}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{0}{h}=\lim_{h \rightarrow 0} 0 = 0[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2h-2 \cdot 0}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{2h}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}2=2[/tex]

[Bole13]

[Phoenix]

Tako je, možeš i tako.
Čak više preporučam tvoje rješenje jer je formalnije i više u skladu s onim što ste radili. Odnosno, ovo moje je možda čak i problematično, iskreno.
Nisam se sjetio te ideje ranije, tako da svakako preporučam da zadatak rješavaš na način koji si napisao.

[student_92]

Može li netko riješiti, tj. raspisati glavne korake zadatka 1.5 sa http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/vjezbe7.pdf ?

[pedro]

može 5?

Added after 1 minutes:

http://web.math.hr/nastava/difraf/dif/2007-08/zadaca_df.pdf

[Phoenix]

student_92: Dobio si PM. Tako ti i treba kada pitaš zadatak na dva mjesta.

pedro:
Primijeti da je [tex]f(x_1,x_2,x_3,x_4)=[((x_1^2x_3,x_2x_4^2)|(x_1^2x_3,x_2x_4^2))]^5[/tex]. Stoga je:
[tex]Df(x_1,x_2,x_3,x_4)(h_1,h_2,h_3,h_4)=5[((x_1^2x_3,x_2x_4^2)|(x_1^2x_3,x_2x_4^2))]^4 \cdot ( ( \begin{bmatrix} 2x_1x_3 & 0 & x_1^2 & 0 \\ 0 & x_4^2 & 0 & x_2x_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \\ h_3 \\ h_4 \end{bmatrix} | (x_1^2x_3,x_2x_4^2)) +
[/tex]
[tex]+ ((x_1^2x_3,x_2x_4^2)| \begin{bmatrix} 2x_1x_3 & 0 & x_1^2 & 0 \\ 0 & x_4^2 & 0 & x_2x_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h_1 \\ h_2 \\ h_3 \\ h_4 \end{bmatrix} ) ) =[/tex]
[tex]= 5||(x_1^2x_3,x_2x_4^2)||^8 \cdot ( ( (2x_1x_3h_1+x_1^2h_3, x_4^2h_2+x_2x_4h_4) | (x_1^2x_3,x_2x_4^2) ) + ( (x_1^2x_3,x_2x_4^2) | (2x_1x_3h_1+x_1^2h_3, x_4^2h_2+x_2x_4h_4) ) ) = [/tex]
[tex]= 10||(x_1^2x_3,x_2x_4^2)||^8(2x_1^3x_3^2h_1+x_1^4x_3h_3+x_2x_4^4h_2+x_2^2x_4^3h_4)[/tex]
Iz ovoga sada slijedi [tex]Df(1,2,3,2)(1,1,1,1)=10 \cdot (\sqrt{3^2+8^2})^8 \cdot (18+3+32+32) = 10 \cdot 73^4 \cdot 85 = [/tex]

OK, lako je meni ovdje napisati sve i svašta, što je možda i krivo (nisam kod kuće i nisam u uvjetima da provjeravam; vidjet ću navečer), ali da objasnim ono bitno.
Dakle, prvo što znam je da raspišem normu preko skalarnog produkta - po propoziciji s vježbi znam kako izgleda njen diferencijal. Po teoremu o diferencijalu kompoziciji funkcija slijedi da je diferencijal jednak diferencijalu preslikavanja [tex]x \mapsto x^5[/tex] koja je realna funkcija realne varijable, odnosno i domena i kodomena su [tex]\mathbb{R}[/tex] (što izračunam običnim deriviranjem pa uvrštavanjem točke). To ide u produkt sa skalarnim produktom, a to je po propoziciji: za svaku komponentu, bolje rečeno faktor skalarnog produkta (koji je zapravo funkcijsko preslikavanje) tražim Jacobijevu matricu i onda množim s vektorom [tex]h[/tex].
Na kraju sve to raspišem i zbrojim, a po potrebi (kao što je to bilo ovdje) uvrstim konkretnu točku i vektor [tex]h[/tex].

Malo izgleda grozomorno, ali zapravo tu primjenjujem samo dva diferencijala, pri čemu je jedan od realne funkcije realne varijable.
I jedino što traže u ovim zadacima, koliko vidim, jest pravilna primjena te propozicije kao i teorema o diferencijalu kompozicije i produkta raznih funkcija. Te pravilno raspisivanje matrica diferencijala, odnosno Jacobijevih matrica.

I za kraj, vjerujem da je lakše usvojiti rješavanje zadataka, pa da bi i trebalo normu raspisati preko skalarnog produkta zbog direktne primjene propozicije s vježbi. No, nakon ovog zadatka, a i još par sličnih koje imaš na webu, primijetit ćeš da kao rezultat dobivaš dva identična skalarna produkta - sjeti se da je skalarni produkt nad vektorima u [tex]\mathbb{R}^n[/tex] komutativna operacija.

Isprike ako je štogod krivo, slobodno citiraj ili pitaj dodatno ako nije jasno (opet, ne pišem u pravim uvjetima i žurim, ali znam da vam je sutra blic, pa da barem nešto napišem da nije prekasno ), pa i citiraj ako imam kojekakvu grešku.

[štrumfeta]

pitanje u vezi blica: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2007-08/b3p_j.pdf
grupa B,2.zad.dobila sam ove parcijalne derivacije po x i po y raspisivanjem po definiciji derivacije kompozicije,neznam pokazat jednakost,tj. zašto ona vrijedi?možda sam krivo krenula
fala

[Phoenix]

Ako si dobila parcijalne derivacije funkcije [tex]F[/tex], uvrštavanjem u obje strane jednakosti možeš se uvjeriti da su zaista jednake.
Evo, ako si možda pogriješila negdje u računu ili nisi sigurna kako točno ide, raspisat ću lijevu stranu jednakosti. Desna se raspiše potpuno analogno i moraš dobiti isti izraz koji ću ja dobiti ovdje.
[tex]y \frac{\partial F}{\partial x}(x,y) = y \frac{\partial f}{\partial t}(x^2+y^2) \frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2) = y \cdot f'(x^2+y^2) \cdot 2x = 2xyf'(x^2+y^2)[/tex]
Primijeti još da je funkcija [tex]f[/tex] realna funkcija realne varijable, pa je dovoljno jednostavno direktno derivirati po jedinoj varijabli preko koje je funkcija izražena. Pa da ne miješam to s već korištenim varijablama [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex], ovdje koristim kao da imam funkciju preko varijable [tex]t[/tex], odnosno [tex]f(t)=\mathrm{(nešto-ovisno-samo-o-} t \mathrm{)}[/tex]. Ali nije krivo ni da koristiš [tex]x[/tex] ili [tex]y[/tex].
Ukratko, obična derivacija funkcije u točki iz [tex]\mathbb{R}[/tex].

[štrumfeta]

fala

[pedro]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o15.pdf

računamo parcijalne derivacije drugog reda i dobijemo 3 hesseove matrice, za svaku funkciju po jednu ako sam dobro shvatila, i kako dobijemo jednu matricu od toga?

[Phoenix]

Pričaš li možda o primjeru [tex]15.3[/tex]? Link daje .pdf dokument na 6 stranica pa mi nije lako nabadati (ali opet, ja i moj algoritam za traženje... ). Ali nema veze što si zaboravila, bitno da sam skužio što pitaš... Jesam li?

Svakako, postoje Hesseove matrice za funkcije [tex]f_1[/tex], [tex]f_2[/tex] i [tex]f_3[/tex], kako si i sama rekla, dakle imaš tri matrice. No, te tri matrice ne možeš spojiti u jednu, odnosno [tex]f[/tex] nema Hesseovu matricu.
Uoči da teorem [tex]15.5[/tex] govori o Hesseovoj matrici (matrici drugog diferencijala) isključivo za realne funkcije, odnosno one čija je kodomena [tex]\mathbb{R}[/tex].
(Prouči malo tekst neposredno prije teorema počevši od "U specijalnom slučaju [tex]m=1[/tex]...", pa poveži činjenicu da je nešto funkcional s činjenicom da to nešto ima i svoj matrični prikaz u prozvoljnoj (ovdje, kanonskoj) bazi. )

Jasno je da za takve funkcije možeš pronaći Hesseovu matricu - prvi diferencijal takve funkcije će biti zapravo vektor, gradijent iste (kada bi tražila Jacobijevu matricu), pa bi on bio dimenzije [tex]1 \times n[/tex] (broj [tex]n[/tex] kao u iskazu teorema). Sada taj diferencijal tretiraš kao funkciju iz [tex]A \subset \mathbb{R}^n[/tex] u [tex]\mathbb{R}^n[/tex] i ideš tražiti Jacobijevu matricu te funkcije. Dakle, gledala bi diferencijal diferencijala funkcije, odnosno drugi diferencijal početne. A Jacobijeva matrica funkcije iz [tex]A \subset \mathbb{R}^n[/tex] u [tex]\mathbb{R}^n[/tex] je zaista matrica dimenzija [tex]n \times n[/tex] - što se vidi iz općenitog matričnog zapisa danog u samom teoremu.
(U posljednjem paragrafu sam si dozvolio slobodu govora pa moguće da ima nepreciznih termina, stoga me nemoj vući za jezik oko njih. Bilo mi je bitno objasniti neke stvari da ti bude što pristupačnije.)

S druge strane, da, teško nam je zamisliti kako bi uopće izgledala Hesseova matrica preslikavanja iz podskupa od [tex]\mathbb{R}^n[/tex] u [tex]\mathbb{R}^m[/tex], [tex]m \geq 2[/tex] - dobro se i pitaš. To još ne znamo, a nećeš ni naučiti u ovom kolegiju, stoga se nemoj zamarati time ako te ne zanima više od osnovnog. Pamti, ako te pita Hesseovu matricu, funkcija mora biti realna (kodomena [tex]\mathbb{R}[/tex]). Obratno, ako je funkcija realna, možemo tražiti njoj Hesseovu matricu.

...ali ako te zanima više od osnovnog, pogledaj što Wikipedia kaže na to: LINK
A ovaj "tensor" što se spominje u malom paragrafu je zapravo tenzor, poopćenje dosadašnjeg skalara, vektora i matrice.
Naime, jasno ti je - skalar je "obični broj", takoreći.
Vektor je "redak s nekakvim elementima". Može se shvatiti i kao niz nekoliko skalara.
Matrica je "pravokutnik s retcima i stupcima koji sadrži nekakve elemente". Gledajući retke gore prema dolje, ili stupce slijeva na desno, matricu možemo shvatiti kao niz nekoliko vektora.
Ovo što si gore pitala, za kombinaciju 3 Hesseove matrice, je zapravo "nešto za korak nivo više od matrice". Mogli bi reći, kvadar u prostoru s nekakvim elementima, nizovi nekoliko matrica.
Tenzor se može shvatiti kao objekt s određenim brojem zvanim rang tenzora. Ako ti kažem da je tenzor ranga [tex]0[/tex] skalar, tenzor ranga [tex]1[/tex] vektor, tenzor ranga [tex]2[/tex] matrica, a tenzor ranga [tex]3[/tex] "kvadar", odnosno "ove tri Hesseove matrice zajedno" - nadam se da će ti biti otprilike jasan pojam tenzora.
A malo više o tenzorima, i to puno formalnije i ne laički kako sam si ovdje opet dozvolio, opet, na Wikipediji: LINK

[pedro]

[Phoenix]

Do prvih kolokvija 5. semestra (koliko sam do sada prošao), vjerojatno nećete niti spominjati, možda preko izbornog kolegija kojeg nisam upisao.
No, vidim da se u nekim kolegijima na našem faksu spominju tenzori i to upravo pri primjeni u fizici, gdje se najčešće koriste. Vidim da se spominju u sadržaju kolegija Metode matematiče fizike u obliku tenzora inercije.

Eto, toliko za sada znam.