| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Grga
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 12. 2004. (23:05:23)
Postovi: (280)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
duje
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31)
Postovi: (55C)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Grga
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 12. 2004. (23:05:23)
Postovi: (280)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Ančica
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 12. 2006. (16:12:53)
Postovi: (F6)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
amorphis
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 02. 2007. (23:15:13)
Postovi: (101)16
Lokacija: zg
|
|
| [Vrh] |
|
duje
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31)
Postovi: (55C)16
Spol:
|
 Postano: 20:51 ned, 7. 6. 2009 Naslov: tipovi zadataka za 2. kolokvij |
    |
|
|
[quote="Ančica"]Koji sve primjeri (tipovi zadataka) mogu doći u 2. kolokviju?[/quote]
Tipovi zadataka koji bi mogli doci u 2. kolokviju iz Teorije brojeva su oni kao sljedeci primjeri iz skripte:
4.1, 4.2, 4.3, 5.1, 5.2, 5.3, 6.2, 6.3, 6.5, 6.6, 6.7, 7.1, 7.3, 7.4.
Andrej Dujella
| Ančica (napisa): | | Koji sve primjeri (tipovi zadataka) mogu doći u 2. kolokviju? |
Tipovi zadataka koji bi mogli doci u 2. kolokviju iz Teorije brojeva su oni kao sljedeci primjeri iz skripte:
4.1, 4.2, 4.3, 5.1, 5.2, 5.3, 6.2, 6.3, 6.5, 6.6, 6.7, 7.1, 7.3, 7.4.
Andrej Dujella
|
|
| [Vrh] |
|
mischa
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 09. 2007. (17:52:41)
Postovi: (D8)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
duje
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31)
Postovi: (55C)16
Spol:
|
| Postano: 21:23 pon, 8. 6. 2009 Naslov: |
|
|
|
[quote="mischa"]koji se primjeri odnose na elementarnu teoriju brojeva?[/quote]
Na 2. kolokviju iz Elementarne teorije brojeva se mogu ocekivati tipovi zadataka poput primjera iz skripte
3.3, 3.9, 5.3, 6.2, 6.3, 6.5, 6.6, 7.1, 7.3, 7.4,
primjera 2 i 7 iz ovih materijala
http://web.math.hr/~duje/utb/sumekvadrata2.pdf
te zadataka s natjecanja iz ovih materijala
http://web.math.hr/~duje/utb/zadacinatj2.pdf
Andrej Dujella
| mischa (napisa): | | koji se primjeri odnose na elementarnu teoriju brojeva? |
Na 2. kolokviju iz Elementarne teorije brojeva se mogu ocekivati tipovi zadataka poput primjera iz skripte
3.3, 3.9, 5.3, 6.2, 6.3, 6.5, 6.6, 7.1, 7.3, 7.4,
primjera 2 i 7 iz ovih materijala
http://web.math.hr/~duje/utb/sumekvadrata2.pdf
te zadataka s natjecanja iz ovih materijala
http://web.math.hr/~duje/utb/zadacinatj2.pdf
Andrej Dujella
|
|
| [Vrh] |
|
Ančica
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 12. 2006. (16:12:53)
Postovi: (F6)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Ančica
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 12. 2006. (16:12:53)
Postovi: (F6)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Mas
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2008. (11:22:20)
Postovi: (53)16
Spol:
|
| Postano: 15:25 pet, 26. 6. 2009 Naslov: |
|
|
|
[quote="Ančica"]Da ne otvaram temu.. Može mi netko polako objasniti kako se rješava ovaj zadatak?
[b]Nadite sve Pitagorine trokute u kojima je jedna stranica jednaka 221.[/b]
Hvala![/quote]
Nisam poceo jos intenzivno ucit, ali znam s cime ima veze, pa ti mozda pomogne.
Kad smo radili sume kvadrata onda smo pokazali kakvi trebaju biti brojevi a, b i c da bi vrijedilo a^2 + b^2 = c^2 (otud i naziv pitagorini trokuti.. jel' =) ).
Mislim.. (znaci ovo dalje je po sjecanju i moguce krivo) da a = m^2 - n^2, b = 2mn i c = m^2 + n^2, gdje su m i n relativno prosti i razlicite parnosti.. pa onda pokusas 221 rastavit na te m i n.. tako da ti je 221 ili a ili b ili c.. (znaci nekako 3 slucaja) i onda dobijes sve trokute tj trojke brojeva to zadovoljavaju.
Provjeri jos u skripti vjerovatno ima i pokoj primjer.
Uzivaj!
Mas
| Ančica (napisa): | Da ne otvaram temu.. Može mi netko polako objasniti kako se rješava ovaj zadatak?
Nadite sve Pitagorine trokute u kojima je jedna stranica jednaka 221.
Hvala! |
Nisam poceo jos intenzivno ucit, ali znam s cime ima veze, pa ti mozda pomogne.
Kad smo radili sume kvadrata onda smo pokazali kakvi trebaju biti brojevi a, b i c da bi vrijedilo a^2 + b^2 = c^2 (otud i naziv pitagorini trokuti.. jel' =) ).
Mislim.. (znaci ovo dalje je po sjecanju i moguce krivo) da a = m^2 - n^2, b = 2mn i c = m^2 + n^2, gdje su m i n relativno prosti i razlicite parnosti.. pa onda pokusas 221 rastavit na te m i n.. tako da ti je 221 ili a ili b ili c.. (znaci nekako 3 slucaja) i onda dobijes sve trokute tj trojke brojeva to zadovoljavaju.
Provjeri jos u skripti vjerovatno ima i pokoj primjer.
Uzivaj!
Mas
_________________
Smisao zivota, Svemira i svega je rekurzivno prebrojiv.
|
|
| [Vrh] |
|
Grga
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 12. 2004. (23:05:23)
Postovi: (280)16
Spol:
|
| Postano: 18:29 pet, 26. 6. 2009 Naslov: |
|
|
|
[quote="Mas"][quote="Ančica"]Da ne otvaram temu.. Može mi netko polako objasniti kako se rješava ovaj zadatak?
[b]Nadite sve Pitagorine trokute u kojima je jedna stranica jednaka 221.[/b]
Hvala![/quote]
Nisam poceo jos intenzivno ucit, ali znam s cime ima veze, pa ti mozda pomogne.
Kad smo radili sume kvadrata onda smo pokazali kakvi trebaju biti brojevi a, b i c da bi vrijedilo a^2 + b^2 = c^2 (otud i naziv pitagorini trokuti.. jel' =) ).
Mislim.. (znaci ovo dalje je po sjecanju i moguce krivo) da a = m^2 - n^2, b = 2mn i c = m^2 + n^2, gdje su m i n relativno prosti i razlicite parnosti.. pa onda pokusas 221 rastavit na te m i n.. tako da ti je 221 ili a ili b ili c.. (znaci nekako 3 slucaja) i onda dobijes sve trokute tj trojke brojeva to zadovoljavaju.
Provjeri jos u skripti vjerovatno ima i pokoj primjer.
Uzivaj!
Mas[/quote]
To, uz jasno uvjet m > n (sve su stranice pozitivne) su primitivne Pitagorine trojke, dakle ako trazimo da su a, b i c relativno prosti. Za sve Pitagorine trojke imamo identitetu
[latex](d(m^2 - n^2))^2 + (2dmn)^2 = (d(m^2 + n^2))^2, d \in \mathbb{N}[/latex]
Kako je 221 neparan, onda to nije duljina druge stranice jer je ona parna, pa moramo gledati za prvu stranicu i hipotenuzu.
Kako [latex]d | 221 = 13 * 17[/latex], onda idemo provjeravati pomogucnostima za odabir d:
[latex]d = 1[/latex],
gledamo za prvu stranicu
[latex](m^2 - n^2) = (m - n) (m + n) = 221 = 13 \cdot 17 = 1 \cdot 221[/latex]
[latex]m + n = 17, m - n = 13 \Rightarrow m = 15, n = 2[/latex]
Prva trojka je [latex](221, 60, 229)[/latex]
[latex]m = 111, n = 110[/latex]
[latex](221, 24420, 24421)[/latex]
Gledamo za hipotenuzu
[latex]m^2 + n^2 = 221 [/latex], treba naci odgovarajuce parove m, n, ne znam postoji li pametnija metoda, ali mozes uzeti da su kandidati [latex]11 = \left\lceil \sqrt{\frac{221}{2}} \right\rceil \leq m \leq \left\lfloor \sqrt{221} \right\rfloor = 14[/latex](jer m > n)
[latex](m, n) = (11, 10), (14, 5)[/latex]
Dakle imamo trojke:
[latex](21, 220, 221), (171, 140, 221)[/latex]
[latex]d = 13[/latex], opet za prvu stranicu:
[latex]13(m^2 - n^2) = 13 (m - n)(m + n) = 221[/latex]
[latex](m - n)(m + n) = 1 \cdot 17 \Rightarrow m = [/latex]
[latex]m = 9, n = 8[/latex]
[latex](221, 1872, 1885)[/latex]
Hipotenuza:
[latex]m^2 + n^2 = 17[/latex]
[latex]m = 4, n = 1[/latex]
[latex](195, 104, 221)[/latex]
[latex]d = 17[/latex]
[latex](m - n) (m + n) = 1 \cdot 13[/latex]
[latex]m = 7, n = 6[/latex]
[latex](221, 1092, 1105) [/latex]
[latex]m^2 + n^2 = 13[/latex]
[latex]m = 3, n = 2[/latex]
[latex](85, 204, 221)[/latex]
Vec vidim koji cu zadatak na kolokviju krivo rijesiti :D
(mislim da nisam fulao nigdje, ali uvijek je moguce)
| Mas (napisa): | | Ančica (napisa): | Da ne otvaram temu.. Može mi netko polako objasniti kako se rješava ovaj zadatak?
Nadite sve Pitagorine trokute u kojima je jedna stranica jednaka 221.
Hvala! |
Nisam poceo jos intenzivno ucit, ali znam s cime ima veze, pa ti mozda pomogne.
Kad smo radili sume kvadrata onda smo pokazali kakvi trebaju biti brojevi a, b i c da bi vrijedilo a^2 + b^2 = c^2 (otud i naziv pitagorini trokuti.. jel' =) ).
Mislim.. (znaci ovo dalje je po sjecanju i moguce krivo) da a = m^2 - n^2, b = 2mn i c = m^2 + n^2, gdje su m i n relativno prosti i razlicite parnosti.. pa onda pokusas 221 rastavit na te m i n.. tako da ti je 221 ili a ili b ili c.. (znaci nekako 3 slucaja) i onda dobijes sve trokute tj trojke brojeva to zadovoljavaju.
Provjeri jos u skripti vjerovatno ima i pokoj primjer.
Uzivaj!
Mas |
To, uz jasno uvjet m > n (sve su stranice pozitivne) su primitivne Pitagorine trojke, dakle ako trazimo da su a, b i c relativno prosti. Za sve Pitagorine trojke imamo identitetu
Kako je 221 neparan, onda to nije duljina druge stranice jer je ona parna, pa moramo gledati za prvu stranicu i hipotenuzu.
Kako  , onda idemo provjeravati pomogucnostima za odabir d:
 ,
gledamo za prvu stranicu
Prva trojka je 
Gledamo za hipotenuzu
 , treba naci odgovarajuce parove m, n, ne znam postoji li pametnija metoda, ali mozes uzeti da su kandidati  (jer m > n)
Dakle imamo trojke:
 , opet za prvu stranicu:
Hipotenuza:
Vec vidim koji cu zadatak na kolokviju krivo rijesiti 
(mislim da nisam fulao nigdje, ali uvijek je moguce)
_________________
Bri
Zadnja promjena: Grga; 14:59 sub, 27. 6. 2009; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
| [Vrh] |
|
Luuka
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol:
Lokacija: Hakuna Matata
|
|
| [Vrh] |
|
Ančica
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 12. 2006. (16:12:53)
Postovi: (F6)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
ma
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 27. 01. 2007. (12:06:50)
Postovi: (347)16
Spol:
|
| Postano: 22:16 pet, 26. 6. 2009 Naslov: |
|
|
|
[quote="Grga"]Gledamo za hipotenuzu
[latex]m^2 + n^2 = 221 [/latex], treba naci odgovarajuce parove m, n, ne znam postoji li pametnija metoda ...[/quote]
može se eventualno provjeriti ima li smisla tražiti te parove:
broj se može zapisati kao zbroj 2 kvadrata akko mu svi prosti faktori oblika 4k+3 dolaze s parnom potencijom.
u dotičnom slučaju, 221=13*17.
13=4*3+1,
17=4*4+1.
dakle, 221 se može zapisati kao zbroj 2 kvadrata. sad valjda slijedi metoda koju si opisao.
| Grga (napisa): | Gledamo za hipotenuzu
, treba naci odgovarajuce parove m, n, ne znam postoji li pametnija metoda ... |
može se eventualno provjeriti ima li smisla tražiti te parove:
broj se može zapisati kao zbroj 2 kvadrata akko mu svi prosti faktori oblika 4k+3 dolaze s parnom potencijom.
u dotičnom slučaju, 221=13*17.
13=4*3+1,
17=4*4+1.
dakle, 221 se može zapisati kao zbroj 2 kvadrata. sad valjda slijedi metoda koju si opisao.
_________________
ima let u finish
|
|
| [Vrh] |
|
duje
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31)
Postovi: (55C)16
Spol:
|
| Postano: 7:51 sub, 27. 6. 2009 Naslov: |
|
|
|
[quote="ma"][quote="Grga"]Gledamo za hipotenuzu
[latex]m^2 + n^2 = 221 [/latex], treba naci odgovarajuce parove m, n, ne znam postoji li pametnija metoda ...[/quote]
može se eventualno provjeriti ima li smisla tražiti te parove:
broj se može zapisati kao zbroj 2 kvadrata akko mu svi prosti faktori oblika 4k+3 dolaze s parnom potencijom.
u dotičnom slučaju, 221=13*17.
13=4*3+1,
17=4*4+1.
dakle, 221 se može zapisati kao zbroj 2 kvadrata. sad valjda slijedi metoda koju si opisao.[/quote]
Metoda koju je Grga opisao je sasvim dobra za brojeve velicina kakve dolaze u zadacima na vjezbama i kolokvijima.
Za vece brojeve, najprije se svaki prosti faktor (oblika 4k+1) prikaze
(na jednoznacan nacin) kao suma dva kvadrata. Dvije metode za to se mogu naci u [url=http://web.math.hr/~duje/tbkript/tbkriptlink.pdf]skripti iz kolegija Teorija brojeva u kriptografiji[/url] (na kraju Poglavlja 2.6). A onda se iskoristi formula
(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2=(ax-by)^2+(ay+by)^2
(specijalni slucaj identiteta kojeg smo koristili u dokazu Teorema o cetiri kvadrata; moze se pogledati i [url=http://web.math.hr/~duje/utb/sumekvadrata2.pdf]dodatni materijal[/url] za kolegij Elementarna teorija brojeva).
U ovom primjeru je 13=3^2+2^2, 17=4^2+1^2, pa formula daje dva prikaza broja 221=13*17 u obliku sume dva kvadrata.
| ma (napisa): | | Grga (napisa): | Gledamo za hipotenuzu
, treba naci odgovarajuce parove m, n, ne znam postoji li pametnija metoda ... |
može se eventualno provjeriti ima li smisla tražiti te parove:
broj se može zapisati kao zbroj 2 kvadrata akko mu svi prosti faktori oblika 4k+3 dolaze s parnom potencijom.
u dotičnom slučaju, 221=13*17.
13=4*3+1,
17=4*4+1.
dakle, 221 se može zapisati kao zbroj 2 kvadrata. sad valjda slijedi metoda koju si opisao. |
Metoda koju je Grga opisao je sasvim dobra za brojeve velicina kakve dolaze u zadacima na vjezbama i kolokvijima.
Za vece brojeve, najprije se svaki prosti faktor (oblika 4k+1) prikaze
(na jednoznacan nacin) kao suma dva kvadrata. Dvije metode za to se mogu naci u skripti iz kolegija Teorija brojeva u kriptografiji (na kraju Poglavlja 2.6). A onda se iskoristi formula
(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2=(ax-by)^2+(ay+by)^2
(specijalni slucaj identiteta kojeg smo koristili u dokazu Teorema o cetiri kvadrata; moze se pogledati i dodatni materijal za kolegij Elementarna teorija brojeva).
U ovom primjeru je 13=3^2+2^2, 17=4^2+1^2, pa formula daje dva prikaza broja 221=13*17 u obliku sume dva kvadrata.
|
|
| [Vrh] |
|
duje
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31)
Postovi: (55C)16
Spol:
|
| Postano: 11:11 sub, 27. 6. 2009 Naslov: |
|
|
|
[quote="Luuka"]
1) Jel će i na ovom kolokviju biti zadatak tipa 3. prošle godine (multiplikativne fje) ?[/quote]
Jedan od tipova zadataka iz poglavlja o aritmerickim funkcijama koji se moze pojaviti na kolokviju je i poput 3. zadatka iz proslogodisnjeg kolokvija.
[quote="Luuka"]
2) kad računamo sve reducirane forme sa diskriminantom d, koji je hint za odbacit neke a-ove (recimo iz kolokvija prošle godine, u A grupi smo mogli odmah odbaciti a=3,5). Znam da ima neka fora s nekom djeljivosti... [/quote]
Nisam siguran na sto se tocno misli, ali mozda moze biti od koristi to da iz b^2-4ac=d slijedi da je d kvadratni ostatak modulo a, pa se mogu eliminirati svi a-ovi za koje to ne vrijedi. Npr. ako je d==2(mod 3), onda otpada a=3; ako je d==2 ili 3 (mod 5), onda otpada a=5, i sl.
| Luuka (napisa): |
1) Jel će i na ovom kolokviju biti zadatak tipa 3. prošle godine (multiplikativne fje) ? |
Jedan od tipova zadataka iz poglavlja o aritmerickim funkcijama koji se moze pojaviti na kolokviju je i poput 3. zadatka iz proslogodisnjeg kolokvija.
| Luuka (napisa): |
2) kad računamo sve reducirane forme sa diskriminantom d, koji je hint za odbacit neke a-ove (recimo iz kolokvija prošle godine, u A grupi smo mogli odmah odbaciti a=3,5). Znam da ima neka fora s nekom djeljivosti... |
Nisam siguran na sto se tocno misli, ali mozda moze biti od koristi to da iz b^2-4ac=d slijedi da je d kvadratni ostatak modulo a, pa se mogu eliminirati svi a-ovi za koje to ne vrijedi. Npr. ako je d==2(mod 3), onda otpada a=3; ako je d==2 ili 3 (mod 5), onda otpada a=5, i sl.
|
|
| [Vrh] |
|
Luuka
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol:
Lokacija: Hakuna Matata
|
|
| [Vrh] |
|
betty
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 02. 2006. (19:17:18)
Postovi: (2D)16
|
|
| [Vrh] |
|
Ančica
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 12. 2006. (16:12:53)
Postovi: (F6)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
|
