Nagradni zadatak

[krcko]

Dokazite: svi brojevi oblika 6n+1 (n prirodan) su prosti.

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[vsego]

[krcko]

[C'Tebo]

Evo, napisah ja tu podosta (cijeli svoj tok misli), kadli se zaustavim negdje:
6*4+1=25

Jesam te prokljuvio (al' trebalo mi je)

_________________
Click me!
_______________________
Bad panda!

[C'Tebo]

E, treba mi sna, sad sam skonto nekaj

Neka ostane ovo gore, da se vidi da ne pratim

_________________
Click me!
_______________________
Bad panda!

[krcko]

Sram te bilo! Ja napisem dokazi blablabla, a on ide dokazivat suprotno... stvarno ti treba sna

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[A*s*t*e*r*i*x]

Uočimo da je dovoljno dokazati sljedeći teorem:


[b]Teorem 4.106[/b]: Ako je u uređenom skupu od k prirodnih brojeva oblika 6n+1 barem jedan broj
prost, tada su svi brojevi u tom skupu prosti.

Dokaz:

Tvrdnju dokazujemo matematičkom indukcijom po k;


Baza: Za k=1 tvrdnja očito vrijedi.

Korak: Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki prirodan broj k. Promatramo skup od k+1
elementa. Izbacimo iz skupa element s indeksom k+1. Skup sada ima k elemenata. Ako
niti jedan od elemenata nije prost, nije zadovoljena pretpostavka teorema. Ako je
barem jedan od elemenata skupa prost tada su po pretpostavci svi elementi skupa prosti.
Izbacimo iz skupa element s indeksom 1 (taj element je prost). Skup sada ima k-1 elemenata
koji su prosti pa je onda barem jedan element skupa prost. Ubacimo u skup prethodno
izbačeni element s indeksom k+1. Prema pretpostavci indukcije slijedi da su svi elementi
tog skupa prosti (jer ima k elemenata i barem jedan element skupa je prost). Sada
ubacimo u skup prethodno izbačeni element s indeksom 1 (koji je prost). Dobili smo
skup od k+1 elementa u kojem su svi elementi prosti. S obzirom da smo iz pretpostavke
da tvrdnja vrijedi za neki prirodan k dokazali da ona vrijedi i za k+1 po principu
matematičke indukcije slijedi da tvrdnja vrijedi za svaki prirodan broj k.

Q.E.D.




Korolar 4.107: Ako je u uređenom skupu od k prirodnih brojeva barem jedan broj prost,
tada su svi brojevi u tom skupu prosti.

Dokaz:

Analogan dokazu teorema 4.106.

[krcko]

Bravo! Mozes u terminu konzultacija doci po nagradu. Nagrada je bila kifla... jos uvijek malo lici na kiflu, ali moras jako paziti da si ne iskopas oko s njom

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[vsego]

[vjekovac]

'Ajde, da budemo aktualni, ja otvaram sljedeći natječaj:

"Nađite što dulji aritmetički niz u skupu prostih brojeva."

(Npr. 3,5,7 je duljine 3.)

Evo, recimo ja započinjem s arit. nizom duljine 5:
5,11,17,23,29.

Može li tko bolje?

[krcko]

Ne zaboravi staviti kiflu u frizer

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[Meri]

Kifla.... =D>

[Stratos]

hmmm, paaa mozemo uzeti broj p = 100996972469714247637786655587969840329509324689190041803603417758904341703348882159067229719 i, recimo, k = 210.
i sada, jednostavnom provjerom se mozemo uvjeriti da su brojevi p, p+k, ..., p+9k prosti

[vjekovac]

Provjereno.
Nisi loš....

Zbog dramatike ću te nadmašiti samo za 1.
Niz duljine 11 je:
a,a+d,...,a+10d
a=2021879
d=510510

(Dakle, ne treba ti baš takav astronomski primjer.)

Tko može bolje?!
'Ajde sad rachunarci, ovo je izazov!

[vjekovac]

[Melkor]

Koja su dozvoljena sredstva u traženju što duljeg niza? Jer ako
je dozvoljen Google, lako
poberem tu kiflu s nizom duljine 23.

[krcko]

As I see it, kiflu zasluzujes ako nadmasis rekord od 23

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[vjekovac]

[Meri]

I kaj je bilo na kraju s kifloom??

_________________
Laganini...i stprljivo....

[krcko]

Pa nis, vjekovac je cuva u dubokom smrzavanju.

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.