| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Greda
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 07. 2006. (14:00:26)
Postovi: (44)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
C
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 01. 2005. (17:27:47)
Postovi: (4C)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Greda
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 07. 2006. (14:00:26)
Postovi: (44)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
 Postano: 20:13 pet, 24. 11. 2006 Naslov: |
    |
|
|
[quote="C"]Funkcija je f je očito neprekidna na cijeloj domeni. [0,1] je zatvoren skup. Praslika zatvorenog skupa po neprekidnoj funkciji je zatvoren skup (karakterizacija neprekidnosti, na vježbama smo dokazali istu stvar za otvorene skupove). Kako je domena od f zatvorena kugla oko 0 radijusa 1 (ograničen skup), jasno je da će i praslika bilo kojeg skupa po toj funkciji biti ograničen skup.
Dakle, tražena praslika je zatvorena i ograničena što je ekvivalentno s kompaktna.
HTH 8)[/quote]
Neka je [latex]f:A \to {\bf R}^{\bf 2} ,A \subseteq {\bf R}^{\bf 3} ,A = \left\{ {\left( {x,y,z} \right):x^2 + y^2 + z^2 < 1} \right\}[/latex], [latex]f\left( {x,y,z} \right) = \left( {0,0} \right)[/latex]. [latex]f[/latex] je očito neprekidna i [latex]\left\{ {\left( {0,0} \right)} \right\}[/latex] je očito zatvoren u [latex]{\bf R}^{\bf 2}[/latex], ali [latex]f^{ - 1} \left\{ {\left( {0,0} \right)} \right\}[/latex] nije zatvoren. Mislim da se radi o tome da neprekidna funkcija zatvoren skup preslika u zatvoren skup, i to se dosta lako pokaže preko nizova.
| C (napisa): | Funkcija je f je očito neprekidna na cijeloj domeni. [0,1] je zatvoren skup. Praslika zatvorenog skupa po neprekidnoj funkciji je zatvoren skup (karakterizacija neprekidnosti, na vježbama smo dokazali istu stvar za otvorene skupove). Kako je domena od f zatvorena kugla oko 0 radijusa 1 (ograničen skup), jasno je da će i praslika bilo kojeg skupa po toj funkciji biti ograničen skup.
Dakle, tražena praslika je zatvorena i ograničena što je ekvivalentno s kompaktna.
HTH  |
Neka je  ,  .  je očito neprekidna i  je očito zatvoren u  , ali  nije zatvoren. Mislim da se radi o tome da neprekidna funkcija zatvoren skup preslika u zatvoren skup, i to se dosta lako pokaže preko nizova.
_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
|
|
| [Vrh] |
|
vanish
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 02. 10. 2005. (22:45:35)
Postovi: (6D)16
Spol: 
Lokacija: stambena zgrada
|
|
| [Vrh] |
|
nana
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 11. 2005. (12:24:35)
Postovi: (2AD)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
C
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 01. 2005. (17:27:47)
Postovi: (4C)16
Spol:
|
| Postano: 14:41 sub, 25. 11. 2006 Naslov: |
|
|
|
[quote="vanish"]Ccc, Alene, radi se o tome da je praslika zatvorena u A, a A je zatvoren sam u sebi (osim što je i otvoren).
Bar ja tako mislim. Hm.[/quote]
[quote="nana"]
[quote="C"]unkcija je f je očito neprekidna na cijeloj domeni. [0,1] je zatvoren skup. Praslika zatvorenog skupa po neprekidnoj funkciji je zatvoren [color=red]pod[/color]skup [color=red]od Kugle, tj domene[/color].[/quote]
Mislim da je alen htio nadopisat crveno 8)[/quote]
:ok:
Da, u Alenovom primjeru domena funkcije je skup A (ne R^3), koji je i otvoren i zatvoren u metričkom prostoru A.
Inače, dokaz tvrdnje (praslika zatvorenog skupa po neprekidnoj funkciji je zatvoren skup) se može naći u skripti prof. Ungara, "Matematička analiza 3", Teorem 2.1
Mislim da to ne vrijedi za slike - npr. funkcija arctg:R->R preslikava R (zatvoren skup u domeni) u interval (otvoren skup u kodomeni).
| vanish (napisa): | Ccc, Alene, radi se o tome da je praslika zatvorena u A, a A je zatvoren sam u sebi (osim što je i otvoren).
Bar ja tako mislim. Hm. |
| nana (napisa): |
| C (napisa): | | unkcija je f je očito neprekidna na cijeloj domeni. [0,1] je zatvoren skup. Praslika zatvorenog skupa po neprekidnoj funkciji je zatvoren podskup od Kugle, tj domene. |
Mislim da je alen htio nadopisat crveno |
Da, u Alenovom primjeru domena funkcije je skup A (ne R^3), koji je i otvoren i zatvoren u metričkom prostoru A.
Inače, dokaz tvrdnje (praslika zatvorenog skupa po neprekidnoj funkciji je zatvoren skup) se može naći u skripti prof. Ungara, "Matematička analiza 3", Teorem 2.1
Mislim da to ne vrijedi za slike - npr. funkcija arctg:R→R preslikava R (zatvoren skup u domeni) u interval (otvoren skup u kodomeni).
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
tihana
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 06. 2006. (13:26:54)
Postovi: (30D)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
| Postano: 14:58 ned, 26. 11. 2006 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]može pomoć oko 2.b) i 3.a) zadatka.pliz pliz pliz.hvala hvala hvala[/quote]
2b
dokažite da je skup otvoren:
(1) f(x,y)=2x-y nepr na R2-->R
R\{0} otvoren podskup od R (jer je {0} zatvoren)
f^-1 (R\{0}) otvoren podskup od R2
R\{0}={(x,y)e R2 : 2x-y != o}
(2) g(x,y)=x2 + 2y2 nepr na R2-->R
<1, +beskon> podskup R otvoren
g^-1 (<1, +beskon>) otvoren podskup od R2
S=f^-1 (R\{0}) PRESJEK g^-1 (<1, +beskon>) otvoren kao presjek 2 otvorena skupa
| Anonymous (napisa): | | može pomoć oko 2.b) i 3.a) zadatka.pliz pliz pliz.hvala hvala hvala |
2b
dokažite da je skup otvoren:
(1) f(x,y)=2x-y nepr na R2→R
R\{0} otvoren podskup od R (jer je {0} zatvoren)
f^-1 (R\{0}) otvoren podskup od R2
R\{0}={(x,y)e R2 : 2x-y != o}
(2) g(x,y)=x2 + 2y2 nepr na R2→R
<1, +beskon> podskup R otvoren
g^-1 (<1, +beskon>) otvoren podskup od R2
S=f^-1 (R\{0}) PRESJEK g^-1 (<1, +beskon>) otvoren kao presjek 2 otvorena skupa
_________________
I aim to misbehave
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
| Postano: 15:01 ned, 26. 11. 2006 Naslov: |
|
|
|
[quote="C"][quote="vanish"]Ccc, Alene, radi se o tome da je praslika zatvorena u A, a A je zatvoren sam u sebi (osim što je i otvoren).
Bar ja tako mislim. Hm.[/quote]
[quote="nana"]
[quote="C"]unkcija je f je očito neprekidna na cijeloj domeni. [0,1] je zatvoren skup. Praslika zatvorenog skupa po neprekidnoj funkciji je zatvoren [color=red]pod[/color]skup [color=red]od Kugle, tj domene[/color].[/quote]
Mislim da je alen htio nadopisat crveno 8)[/quote]
:ok:
Da, u Alenovom primjeru domena funkcije je skup A (ne R^3), koji je i otvoren i zatvoren u metričkom prostoru A.
Inače, dokaz tvrdnje (praslika zatvorenog skupa po neprekidnoj funkciji je zatvoren skup) se može naći u skripti prof. Ungara, "Matematička analiza 3", Teorem 2.1
Mislim da to ne vrijedi za slike - npr. funkcija arctg:R->R preslikava R (zatvoren skup u domeni) u interval (otvoren skup u kodomeni).[/quote]
[latex]{\bf R}[/latex] je također i otvoren. Dobro, nije mi baš neki argument, ali ovo bi moglo poslužit: dokaz da je slika zatvorenog skupa zatvoren skup po neprekidnoj funkciji bi išao nekako ovako:
Neka je [latex]f:A \to {\bf R}^k ;A \subseteq {\bf R}^n[/latex], [latex]A[/latex] zatvoren, [latex]f[/latex] neprekidna na [latex]A[/latex]. Kako je [latex]A[/latex] zatvoren, svaki konvergentan niz [latex]\left( {x_n } \right)_n \subseteq A[/latex] ima limes [latex]x_0 \in A[/latex]. Kako je [latex]f[/latex] neprekidna na [latex]A[/latex], vrijedi da je [latex]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {x_n } \right) = f\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } x_n } \right) = f\left( {x_0 } \right)[/latex], odnosno da svaki konvergentan niz [latex]\left( {y_n } \right)_n \subseteq f\left( A \right)[/latex] ima limes [latex]y_0 \in f\left( A \right)[/latex], odnosno [latex]f\left( A \right)[/latex] je zatvoren.
Sad uzmem "konvergentan" niz koji divergira prema [latex] \pm \infty[/latex], a kako je [latex]{\bf R}[/latex] zatvoren, imam [latex] \pm \infty \in {\bf R}[/latex] i stavim da je [latex]f\left( { - \infty } \right) = - \frac{\pi }{2},f\left( { + \infty } \right) = \frac{\pi }{2}[/latex]. Ovo čak i meni zvuči dosta nategnuto, valjda će netko od asistenata priskočit u pomoć.
Nadam se da je Ungar mislio na topološke prostore, jer u metričkom [latex]{\bf R}^n[/latex] očito ne vrijedi.
Postupak rješavanja za 2.a je sljedeći:
Domena funkcije [latex]f[/latex] je ograničena pa je praslika svakog skupa iz kodomene te funkcije ograničena. [latex]f[/latex] je neprekidna pa je svaka praslika zatvorenog skupa u kodomeni zatvoren skup u [latex]\overline {K\left( {0,1} \right)}[/latex], što znači da postoji [latex]X \subseteq {\bf R}^{\bf 2}[/latex] takav da je [latex]X \cap \overline {K\left( {0,1} \right)} = f^{ - 1} \left( {\left[ {0,1} \right]} \right)[/latex], a kako su oba skupa na lijevoj strani jednakosti zatvorena, slijedi da je i njihov presjek zatvoren, odnosno [latex]f^{ - 1} \left( {\left[ {0,1} \right]} \right)[/latex] je zatvoren. Odavde slijedi kompaktnost.
Evo, još jednom ću napisat jer mislim da to treba snažno naglasit:
Neka je [latex]f:A \to {\bf R}^k ;A \subseteq {\bf R}^n[/latex] i [latex]B \subseteq f\left( A \right)[/latex] zatvoren u [latex]{\bf R}^k[/latex]. Tada je [latex]f^{ - 1} \left( B \right)[/latex] skup koji je zatvoren u [latex]A[/latex]. [b] Ne mora biti zatvoren[/b], ali mora biti zatvoren u [latex]A[/latex].
| C (napisa): | | vanish (napisa): | Ccc, Alene, radi se o tome da je praslika zatvorena u A, a A je zatvoren sam u sebi (osim što je i otvoren).
Bar ja tako mislim. Hm. |
| nana (napisa): |
| C (napisa): | | unkcija je f je očito neprekidna na cijeloj domeni. [0,1] je zatvoren skup. Praslika zatvorenog skupa po neprekidnoj funkciji je zatvoren podskup od Kugle, tj domene. |
Mislim da je alen htio nadopisat crveno |
Da, u Alenovom primjeru domena funkcije je skup A (ne R^3), koji je i otvoren i zatvoren u metričkom prostoru A.
Inače, dokaz tvrdnje (praslika zatvorenog skupa po neprekidnoj funkciji je zatvoren skup) se može naći u skripti prof. Ungara, "Matematička analiza 3", Teorem 2.1
Mislim da to ne vrijedi za slike - npr. funkcija arctg:R→R preslikava R (zatvoren skup u domeni) u interval (otvoren skup u kodomeni). |
 je također i otvoren. Dobro, nije mi baš neki argument, ali ovo bi moglo poslužit: dokaz da je slika zatvorenog skupa zatvoren skup po neprekidnoj funkciji bi išao nekako ovako:
Neka je  ,  zatvoren, neprekidna na . Kako je zatvoren, svaki konvergentan niz  ima limes  . Kako je neprekidna na , vrijedi da je  , odnosno da svaki konvergentan niz  ima limes  , odnosno  je zatvoren.
Sad uzmem "konvergentan" niz koji divergira prema  , a kako je zatvoren, imam  i stavim da je  . Ovo čak i meni zvuči dosta nategnuto, valjda će netko od asistenata priskočit u pomoć.
Nadam se da je Ungar mislio na topološke prostore, jer u metričkom  očito ne vrijedi.
Postupak rješavanja za 2.a je sljedeći:
Domena funkcije je ograničena pa je praslika svakog skupa iz kodomene te funkcije ograničena. je neprekidna pa je svaka praslika zatvorenog skupa u kodomeni zatvoren skup u  , što znači da postoji  takav da je  , a kako su oba skupa na lijevoj strani jednakosti zatvorena, slijedi da je i njihov presjek zatvoren, odnosno  je zatvoren. Odavde slijedi kompaktnost.
Evo, još jednom ću napisat jer mislim da to treba snažno naglasit:
Neka je i  zatvoren u  . Tada je  skup koji je zatvoren u . Ne mora biti zatvoren, ali mora biti zatvoren u .
_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
Zadnja promjena: alen; 15:51 ned, 26. 11. 2006; ukupno mijenjano 8 put/a.
|
|
| [Vrh] |
|
tihana
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 06. 2006. (13:26:54)
Postovi: (30D)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
|
| [Vrh] |
|
Debla
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 12. 2005. (16:54:24)
Postovi: (94)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
vini
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 09. 2006. (18:10:50)
Postovi: (9E)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
tihana
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 06. 2006. (13:26:54)
Postovi: (30D)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
| Postano: 18:22 ned, 26. 11. 2006 Naslov: |
|
|
|
[quote="Debla"]jel neko rješio 3.c s probnog kolokvija..
[/quote]
{ (x,y,z) e [0,1]*[0,1]*[0,1] : (x^2 +2y, x-y-z) = (1,1) } (kompaktnost?)
skup je ogranicen jer je sadrzan u [0,1]^3 koji je i sam ogranicen..
skup je zatvoren: f: R^3 -> R^2.. f(x,y,z) = ( x^2 + 2y, x- y -z ) neprekidna
nas skup je f^(-1) ({1,1)} => zatvorena
(tocka zatvorena)
prsjek toga i [0,1] je zatvorena..
| Debla (napisa): | jel neko rješio 3.c s probnog kolokvija..
|
{ (x,y,z) e [0,1]*[0,1]*[0,1] : (x^2 +2y, x-y-z) = (1,1) } (kompaktnost?)
skup je ogranicen jer je sadrzan u [0,1]^3 koji je i sam ogranicen..
skup je zatvoren: f: R^3 → R^2.. f(x,y,z) = ( x^2 + 2y, x- y -z ) neprekidna
nas skup je f^(-1) ({1,1)} ⇒ zatvorena
(tocka zatvorena)
prsjek toga i [0,1] je zatvorena..
_________________
I aim to misbehave
|
|
| [Vrh] |
|
Debla
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 12. 2005. (16:54:24)
Postovi: (94)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
vini
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 09. 2006. (18:10:50)
Postovi: (9E)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Bee
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 31. 01. 2005. (11:27:34)
Postovi: (91)16
Spol:
Lokacija: Hicksville
|
|
| [Vrh] |
|
|
ispravite me
