| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
googol
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 09. 2011. (21:23:09)
Postovi: (71)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
ceps
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07)
Postovi: (13A)16
|
|
| [Vrh] |
|
sz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 01. 2011. (15:17:39)
Postovi: (35)16
|
 Postano: 21:11 ned, 5. 2. 2012 Naslov: |
    |
|
|
Preciznije, znaš da za fiksiranu točku (x, y) vrijedi [tex]\nabla F(x,y)\neq 0[/tex], što znači da bar jedna od parcijalnih derivacija nije 0.
1. [tex]\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)\neq 0[/tex]; onda po Tmu o implicitnoj fji postoji okolina U točke (x,y) na kojoj se [tex]C\cap U[/tex] može parametrizirati sa [tex]\phi:I\to\mathbb{R}^2,\quad \phi(y):=(f(y),y)[/tex] za neku fju [tex]f:I\to\mathbb{R}[/tex] klase [tex]C^1[/tex] (u ovom slučaju Tm o implicitnoj fji primjenjujemo s varijablom x u ulozi varijable y u iskazu tma).
2. [tex]\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)\neq 0[/tex]; analogno, ali sad varijabla y ima ulogu koju y ima u iskazu tma i [tex]\phi(x):=(x,f(x))[/tex].
Preciznije, znaš da za fiksiranu točku (x, y) vrijedi [tex]\nabla F(x,y)\neq 0[/tex], što znači da bar jedna od parcijalnih derivacija nije 0.
1. [tex]\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)\neq 0[/tex]; onda po Tmu o implicitnoj fji postoji okolina U točke (x,y) na kojoj se [tex]C\cap U[/tex] može parametrizirati sa [tex]\phi:I\to\mathbb{R}^2,\quad \phi(y):=(f(y),y)[/tex] za neku fju [tex]f:I\to\mathbb{R}[/tex] klase [tex]C^1[/tex] (u ovom slučaju Tm o implicitnoj fji primjenjujemo s varijablom x u ulozi varijable y u iskazu tma).
2. [tex]\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)\neq 0[/tex]; analogno, ali sad varijabla y ima ulogu koju y ima u iskazu tma i [tex]\phi(x):=(x,f(x))[/tex].
Zadnja promjena: sz; 21:50 ned, 5. 2. 2012; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
| [Vrh] |
|
googol
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 09. 2011. (21:23:09)
Postovi: (71)16
Spol:
|
| Postano: 21:13 ned, 5. 2. 2012 Naslov: |
|
|
|
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2009-10-kol1/kol1_0910.pdf
5.
vidjeh ga negdje na forumu, no trenutno ga ne nalazim.
Odredite najvecu i najmanju vrijednost f-je:
f(x,y,z) = X^2 + y^2 + 3z^2
na skupu
{(x,y,z,): x^2 + y^2 + z^2 <=100}.
Min mi je jasan no sto s max?
Neka je A = B[0,1] zatvorena kugla na R^n i f-ja f klase C1.
a) Dokazite da je Df ogranicena na A.
b) Dokazite da je f Lipschitzeva.
c) Iz b) dokazite da je uniformno neprekidna.
d) Iz c) dokazite da je neprekidna na A.
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2009-10-kol1/kol1_0910.pdf
5.
vidjeh ga negdje na forumu, no trenutno ga ne nalazim.
Odredite najvecu i najmanju vrijednost f-je:
f(x,y,z) = X^2 + y^2 + 3z^2
na skupu
{(x,y,z,): x^2 + y^2 + z^2 ⇐100}.
Min mi je jasan no sto s max?
Neka je A = B[0,1] zatvorena kugla na R^n i f-ja f klase C1.
a) Dokazite da je Df ogranicena na A.
b) Dokazite da je f Lipschitzeva.
c) Iz b) dokazite da je uniformno neprekidna.
d) Iz c) dokazite da je neprekidna na A.
Zadnja promjena: googol; 22:35 ned, 5. 2. 2012; ukupno mijenjano 2 put/a.
|
|
| [Vrh] |
|
sz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 01. 2011. (15:17:39)
Postovi: (35)16
|
| Postano: 21:24 ned, 5. 2. 2012 Naslov: |
|
|
|
Ovdje: http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=17279&start=0#161852
Drugo:
[tex]x^2+y^2+3z^2=(x^2+y^2+z^2)+2z^2\leq100+2z^2\leq100+2(x^2+y^2+z^2)\leq100+2\cdot100=300[/tex].
Jednakosti vrijede akko [tex]x^2+y^2+z^2=100, x^2+y^2=0[/tex], tj. za [tex](0,0,10)[/tex] i [tex](0,0,-10)[/tex]. Znači, max vrijednost je 300.
Ovo treće...
a) Fja f je po definiciji klase [tex]C^1[/tex] akko Df postoji i neprekidna je, a onda je i [tex]||Df||[/tex] neprekidna kao kompozicija neprekidnih fja pa na kompaktnoj kugli postiže maksimum, tj. [tex]||Df||\leq M[/tex] (operatorska norma) za neki M.
b) Sad iskoristimo nejednakost srednje vrijednosti za vektorske fje i dobijemo [tex]||f(x)-f(y)||\leq M||x-y||[/tex], tj. f je Lipschitzova s konstantom lipschitzovosti M.
c) Lema 9.2.
d) Kaj nismo cijelo vrijeme na A? :shock:
Ovdje: http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=17279&start=0#161852
Drugo:
[tex]x^2+y^2+3z^2=(x^2+y^2+z^2)+2z^2\leq100+2z^2\leq100+2(x^2+y^2+z^2)\leq100+2\cdot100=300[/tex].
Jednakosti vrijede akko [tex]x^2+y^2+z^2=100, x^2+y^2=0[/tex], tj. za [tex](0,0,10)[/tex] i [tex](0,0,-10)[/tex]. Znači, max vrijednost je 300.
Ovo treće...
a) Fja f je po definiciji klase [tex]C^1[/tex] akko Df postoji i neprekidna je, a onda je i [tex]||Df||[/tex] neprekidna kao kompozicija neprekidnih fja pa na kompaktnoj kugli postiže maksimum, tj. [tex]||Df||\leq M[/tex] (operatorska norma) za neki M.
b) Sad iskoristimo nejednakost srednje vrijednosti za vektorske fje i dobijemo [tex]||f(x)-f(y)||\leq M||x-y||[/tex], tj. f je Lipschitzova s konstantom lipschitzovosti M.
c) Lema 9.2.
d) Kaj nismo cijelo vrijeme na A? 
Zadnja promjena: sz; 21:47 ned, 5. 2. 2012; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
| [Vrh] |
|
googol
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 09. 2011. (21:23:09)
Postovi: (71)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
mini
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 02. 2009. (14:31:34)
Postovi: (69)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
googol
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 09. 2011. (21:23:09)
Postovi: (71)16
Spol:
|
| Postano: 0:17 pon, 6. 2. 2012 Naslov: |
|
|
|
Vidi sto je Df. F-ja je neprekidna na Df pa lim (x,y) -> (x0,y0) f(x,y) = f(x0,y0) za v (x0,yo) iz domene. Sad moras provjeriti postojanje limesa na ostalim tockama gomilisita koji nisu iz Df.
Moze 6.b)?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2009-10/zavrsni.pdf
Vidi sto je Df. F-ja je neprekidna na Df pa lim (x,y) -> (x0,y0) f(x,y) = f(x0,y0) za v (x0,yo) iz domene. Sad moras provjeriti postojanje limesa na ostalim tockama gomilisita koji nisu iz Df.
Moze 6.b)?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2009-10/zavrsni.pdf
|
|
| [Vrh] |
|
sz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 01. 2011. (15:17:39)
Postovi: (35)16
|
| Postano: 0:43 pon, 6. 2. 2012 Naslov: |
|
|
|
Aha...
d) se onda svodi na dokaz da je fja neprekidna ako je uniformno neprekidna, ali to je očito iz definicija: uniformna neprekidnost je samo posebna vrsta neprekidnosti koja se dobije ako za svaki [tex]\epsilon[/tex] postoji [tex]\delta[/tex] koji je OK za proizvoljnu točku [tex]c\in A[/tex]. Ako hoćeš 100% precizno, uniformna neprekidnost:
[dtex]\forall \epsilon>0 \quad\exists \delta>0\quad \forall x,y\in A\quad (d(x,y)<\delta \Rightarrow d(f(x),f(y))<\epsilon),[/dtex]
kad fiksiramo [tex]x\in A[/tex], povlači
[dtex]\forall \epsilon>0 \quad\exists \delta>0\quad\forall y\in A \quad(d(x,y)<\delta \Rightarrow d(f(x),f(y))<\epsilon),[/dtex]
tj. običnu neprekidnost u proizvoljnoj točki [tex]x\in A[/tex].
[quote="mini"]aaaaaaa! pa ja cu se ubit! ne znan kako to dosad nisam pokusavala rijesit no dobro. zad sa prvog kolokvija: odrediti limes funkcije f u gomilistima. f(x,y)=(x^2+y-1)sin(1\x)cos(1\(y-1)). ne mogu izracunat limese Sad molim vas da netko bar nesto napise. hvala[/quote]
Imamo
[dtex]f(x,y)=(x^2+y-1)\sin\frac{1}{x}\cos\frac{1}{y-1}.[/dtex]
Gomilišta prirodne domene su sve točke iz [tex]\mathbb{R}^2[/tex], u onima iz prirodne domene limes je jednak vrijednosti fje (jer je ona neprekidna), preostaju točke sa [tex]x=0[/tex] ili [tex]y=1[/tex].
[tex](0,y_0)...[/tex]
[tex]\sin\frac{1}{x}[/tex] divlja kad x ide u 0; ako preostala dva faktora idu u nešto različito od 0, to će biti katastrofa, ali ako neki od njih ide u 0, onda će to cijelu stvar smiriti i odvesti u 0 jer sinus može divljati samo između -1 i 1.
[tex](0,1)...[/tex] prvi faktor vuče u 0, a sinus, pa i kosinus divljaju, ali samo između -1 i 1 i sve skupa ode u 0, precizno: [tex]|(x^2+y-1)\sin\frac{1}{x}\cos\frac{1}{y-1}|\leq|x^2+y-1|\to 0[/tex] pa Teorem o sendviču.
[tex](0,1+\frac{1}{\frac{\pi}{2}+k\pi})...[/tex] točno će ovakvi y-i odvesti kosinus u 0 pa će on sve odvesti u 0, precizno: [tex]|(x^2+y-1)\sin\frac{1}{x}\cos\frac{1}{y-1}|\leq|(x^2+y-1)\cos\frac{1}{y-1}|\to 0[/tex].
Za svaki drugi [tex]y_0\quad[/tex] [tex]x^2+y-1\to y_0-1\neq0,\quad \cos\frac{1}{y-1}\to\cos\frac{1}{y_0-1}\neq0[/tex], a sinus divlja pa npr. za nizove [tex](\frac{1}{k\pi},y_0)[/tex] i [tex](\frac{1}{\frac{\pi}{2}+k\pi},y_0)[/tex] nizovi funkcijskih vrijednosti imaju različite limese pa limesa nema.
Dalje, [tex](x_0,1),\quad x_0\neq 0[/tex]...
Na sličan način za [tex](\frac{1}{k\pi},1)[/tex] sinus odvede stvari u 0 iako kosinus divlja, a inače oba nesinusna faktora idu u nešto smisleno i nenula, a ludi kosinus odvede funkciju u razne vrijednosti (npr. nizovi [tex](x_0,\frac{1}{\frac{\pi}{2}+k\pi}+1)[/tex] i [tex](x_0,\frac{1}{2k\pi}+1)[/tex]) pa limesa nema.
Aha...
d) se onda svodi na dokaz da je fja neprekidna ako je uniformno neprekidna, ali to je očito iz definicija: uniformna neprekidnost je samo posebna vrsta neprekidnosti koja se dobije ako za svaki [tex]\epsilon[/tex] postoji [tex]\delta[/tex] koji je OK za proizvoljnu točku [tex]c\in A[/tex]. Ako hoćeš 100% precizno, uniformna neprekidnost:
[dtex]\forall \epsilon>0 \quad\exists \delta>0\quad \forall x,y\in A\quad (d(x,y)<\delta \Rightarrow d(f(x),f(y))<\epsilon),[/dtex]
kad fiksiramo [tex]x\in A[/tex], povlači
[dtex]\forall \epsilon>0 \quad\exists \delta>0\quad\forall y\in A \quad(d(x,y)<\delta \Rightarrow d(f(x),f(y))<\epsilon),[/dtex]
tj. običnu neprekidnost u proizvoljnoj točki [tex]x\in A[/tex].
| mini (napisa): | | aaaaaaa! pa ja cu se ubit! ne znan kako to dosad nisam pokusavala rijesit no dobro. zad sa prvog kolokvija: odrediti limes funkcije f u gomilistima. f(x,y)=(x^2+y-1)sin(1\x)cos(1\(y-1)). ne mogu izracunat limese Sad molim vas da netko bar nesto napise. hvala |
Imamo
[dtex]f(x,y)=(x^2+y-1)\sin\frac{1}{x}\cos\frac{1}{y-1}.[/dtex]
Gomilišta prirodne domene su sve točke iz [tex]\mathbb{R}^2[/tex], u onima iz prirodne domene limes je jednak vrijednosti fje (jer je ona neprekidna), preostaju točke sa [tex]x=0[/tex] ili [tex]y=1[/tex].
[tex](0,y_0)...[/tex]
[tex]\sin\frac{1}{x}[/tex] divlja kad x ide u 0; ako preostala dva faktora idu u nešto različito od 0, to će biti katastrofa, ali ako neki od njih ide u 0, onda će to cijelu stvar smiriti i odvesti u 0 jer sinus može divljati samo između -1 i 1.
[tex](0,1)...[/tex] prvi faktor vuče u 0, a sinus, pa i kosinus divljaju, ali samo između -1 i 1 i sve skupa ode u 0, precizno: [tex]|(x^2+y-1)\sin\frac{1}{x}\cos\frac{1}{y-1}|\leq|x^2+y-1|\to 0[/tex] pa Teorem o sendviču.
[tex](0,1+\frac{1}{\frac{\pi}{2}+k\pi})...[/tex] točno će ovakvi y-i odvesti kosinus u 0 pa će on sve odvesti u 0, precizno: [tex]|(x^2+y-1)\sin\frac{1}{x}\cos\frac{1}{y-1}|\leq|(x^2+y-1)\cos\frac{1}{y-1}|\to 0[/tex].
Za svaki drugi [tex]y_0\quad[/tex] [tex]x^2+y-1\to y_0-1\neq0,\quad \cos\frac{1}{y-1}\to\cos\frac{1}{y_0-1}\neq0[/tex], a sinus divlja pa npr. za nizove [tex](\frac{1}{k\pi},y_0)[/tex] i [tex](\frac{1}{\frac{\pi}{2}+k\pi},y_0)[/tex] nizovi funkcijskih vrijednosti imaju različite limese pa limesa nema.
Dalje, [tex](x_0,1),\quad x_0\neq 0[/tex]...
Na sličan način za [tex](\frac{1}{k\pi},1)[/tex] sinus odvede stvari u 0 iako kosinus divlja, a inače oba nesinusna faktora idu u nešto smisleno i nenula, a ludi kosinus odvede funkciju u razne vrijednosti (npr. nizovi [tex](x_0,\frac{1}{\frac{\pi}{2}+k\pi}+1)[/tex] i [tex](x_0,\frac{1}{2k\pi}+1)[/tex]) pa limesa nema.
|
|
| [Vrh] |
|
googol
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 09. 2011. (21:23:09)
Postovi: (71)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
sz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 01. 2011. (15:17:39)
Postovi: (35)16
|
| Postano: 1:13 pon, 6. 2. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="googol"]Moze 6.b)?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2009-10/zavrsni.pdf[/quote]
Dokaz u predavanjima (Teorem 16.5).
[size=9][color=#999999]Added after 24 minutes:[/color][/size]
[quote="googol"]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2009-10/popravni.pdf
5.[/quote]
a) Ako je parcijalna derivacija po z u nekoj točki [tex](x_0, y_0, z_0)[/tex] te plohe različita od 0, onda postoji okolina U točke [tex](x_0,y_0)[/tex] i V točke [tex]z_0[/tex] i jedinstvena fja [tex]f:U\to V[/tex] klase [tex]C^p[/tex] (gdje je F klase p) t. d. [tex]F(x,y,f(x,y))=0,\quad (x,y)\in U[/tex].
b) [tex]\nabla F(0,0,c)=(0,0,\frac{2}{c})[/tex], vidimo da je parc. derivacija po z različita od nule pa možemo primijeniti gornji tm, a fja nam je čak klase [tex]C^\infty[/tex], dakle postoji okolina U od [tex](0,0)[/tex] i okolina V od c i jedinstvena fja [tex]f:U\to V[/tex] klase [tex]C^\infty[/tex] t. d. [tex]F(x,y,f(x,y))=0[/tex].
Slobodnim rječnikom, postoji neka okolina točke (0, 0, c) na kojoj je ova ploha graf fje [tex]f:U\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}[/tex] klase [tex]C^\infty[/tex].
c) [tex](\nabla F(0,0,c)|(x,y,z-c))=0[/tex], tj. [tex]((0,0,\frac{2}{c})|(x,y,z-c))=0[/tex].
Sretno sutra, mislim danas, i laku noć! :zzz:
Dokaz u predavanjima (Teorem 16.5).
Added after 24 minutes:
| googol (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2009-10/popravni.pdf
5. |
a) Ako je parcijalna derivacija po z u nekoj točki [tex](x_0, y_0, z_0)[/tex] te plohe različita od 0, onda postoji okolina U točke [tex](x_0,y_0)[/tex] i V točke [tex]z_0[/tex] i jedinstvena fja [tex]f:U\to V[/tex] klase [tex]C^p[/tex] (gdje je F klase p) t. d. [tex]F(x,y,f(x,y))=0,\quad (x,y)\in U[/tex].
b) [tex]\nabla F(0,0,c)=(0,0,\frac{2}{c})[/tex], vidimo da je parc. derivacija po z različita od nule pa možemo primijeniti gornji tm, a fja nam je čak klase [tex]C^\infty[/tex], dakle postoji okolina U od [tex](0,0)[/tex] i okolina V od c i jedinstvena fja [tex]f:U\to V[/tex] klase [tex]C^\infty[/tex] t. d. [tex]F(x,y,f(x,y))=0[/tex].
Slobodnim rječnikom, postoji neka okolina točke (0, 0, c) na kojoj je ova ploha graf fje [tex]f:U\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}[/tex] klase [tex]C^\infty[/tex].
c) [tex](\nabla F(0,0,c)|(x,y,z-c))=0[/tex], tj. [tex]((0,0,\frac{2}{c})|(x,y,z-c))=0[/tex].
Sretno sutra, mislim danas, i laku noć! 
|
|
| [Vrh] |
|
googol
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 09. 2011. (21:23:09)
Postovi: (71)16
Spol:
|
| Postano: 23:13 pon, 6. 2. 2012 Naslov: |
|
|
|
f:R^2 -> R, f je C1(R2) te
M = {(x,y,z) : f(x,y) = z}
odredite normalni na plogu tangencijalne ravnine na plohu M u proizvojnoj tocki.
odredite bazu tangencijalne ravnine na plohu M u proizvojnoj tocki.
f(x,y) = x^2 - 2y^3, odredite sve tocke plohe M u kojima je tangecijalna ravnn paralelna tan. ravnini od M u
tocki (2, 1, 2)
f:R^2 -> R, f je C1(R2) te
M = {(x,y,z) : f(x,y) = z}
odredite normalni na plogu tangencijalne ravnine na plohu M u proizvojnoj tocki.
odredite bazu tangencijalne ravnine na plohu M u proizvojnoj tocki.
f(x,y) = x^2 - 2y^3, odredite sve tocke plohe M u kojima je tangecijalna ravnn paralelna tan. ravnini od M u
tocki (2, 1, 2)
|
|
| [Vrh] |
|
sz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 01. 2011. (15:17:39)
Postovi: (35)16
|
| Postano: 0:04 uto, 7. 2. 2012 Naslov: |
|
|
|
[quote="googol"]f:R^2 -> R, f je C1(R2) te
M = {(x,y,z) : f(x,y) = z}
odredite normalni na plogu tangencijalne ravnine na plohu M u proizvojnoj tocki.
odredite bazu tangencijalne ravnine na plohu M u proizvojnoj tocki.
f(x,y) = x^2 - 2y^3, odredite sve tocke plohe M u kojima je tangecijalna ravnn paralelna tan. ravnini od M u
tocki (2, 1, 2)[/quote]
Plohu možemo zapisati u implicitnom obliku kao [tex]F(x,y,z)=f(x,y)-z=0[/tex], a onda je normala tangencijalne ravnine u proizvoljnoj točki [tex](x,y,z)[/tex] te plohe [tex]\nabla F(x,y,z)=(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y),-1)[/tex].
Tangencijalna ravnina je ortogonalni komplement normale pa je dovoljno odrediti neku bazu za to, tj. dva linearno nezavisna vektora okomita na normalu, a to se lako namjesti, npr. jedna baza je [tex]\{(1,0,\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)),(0,1,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y))\}[/tex].
Za konkretan primjer normala u proizvoljnoj točki je [tex](2x,-6y^2,-1)[/tex], a u točki (2, 1, 2) normala je (4, -6, -1). Dvije ravnine su paralelne akko su njihove normale kolinearne. Dakle, tražimo sve točke oblika [tex](x,y,x^2-2y^3)[/tex] koje zadovoljavaju
[dtex](2x,-6y^2,-1)=\lambda(4,-6,-1).[/dtex]
Rješenja su [tex](2,1,2)[/tex] i [tex](2,-1,6)[/tex].
| googol (napisa): | f:R^2 → R, f je C1(R2) te
M = {(x,y,z) : f(x,y) = z}
odredite normalni na plogu tangencijalne ravnine na plohu M u proizvojnoj tocki.
odredite bazu tangencijalne ravnine na plohu M u proizvojnoj tocki.
f(x,y) = x^2 - 2y^3, odredite sve tocke plohe M u kojima je tangecijalna ravnn paralelna tan. ravnini od M u
tocki (2, 1, 2) |
Plohu možemo zapisati u implicitnom obliku kao [tex]F(x,y,z)=f(x,y)-z=0[/tex], a onda je normala tangencijalne ravnine u proizvoljnoj točki [tex](x,y,z)[/tex] te plohe [tex]\nabla F(x,y,z)=(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y),-1)[/tex].
Tangencijalna ravnina je ortogonalni komplement normale pa je dovoljno odrediti neku bazu za to, tj. dva linearno nezavisna vektora okomita na normalu, a to se lako namjesti, npr. jedna baza je [tex]\{(1,0,\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)),(0,1,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y))\}[/tex].
Za konkretan primjer normala u proizvoljnoj točki je [tex](2x,-6y^2,-1)[/tex], a u točki (2, 1, 2) normala je (4, -6, -1). Dvije ravnine su paralelne akko su njihove normale kolinearne. Dakle, tražimo sve točke oblika [tex](x,y,x^2-2y^3)[/tex] koje zadovoljavaju
[dtex](2x,-6y^2,-1)=\lambda(4,-6,-1).[/dtex]
Rješenja su [tex](2,1,2)[/tex] i [tex](2,-1,6)[/tex].
|
|
| [Vrh] |
|
|
molim vas da netko bar nesto napise. hvala