|
u tockama (x,x) neprekidnost se stvarno pokazuje tako da prvo primjetis da vrijednost funkcije ne ovisi o tome u kojoj se grani nalazi. formalno to mozes zapisati na dva nacina:
1. po Heineovoj karakterizaciji, lim kad (x,y) ide u (x_0, x_0) od f(x,y) jest f(x_0, x_0)=x_0 (bas koristimo to da bez obzira kako se priblizavali tocki (x_0, x_0) vrijednost funkcije uvijek teži prema x_0.
2. nacin je da po definiciji kazes da su funkcije g:R^2->R zadana sa g(x,y)=x i h:R^2->R h(x,y)=y neprekidne, pa za zadani epsilon, mozes naci odgovarajuci delta_1 za funckiju g, te delta_2 za funkciju h, te se onda lako vidi da je delta=min{delta_1, delta_2} dobar za dokazivanje neprekidnosti funckije f u toj tocki.
no to ne znaci da mozemo zakljuciti da u ostalim tockama imamo prekid. mozda je najjednostavnije za te ostale tocke dokazati negaciju definicije neprekidnost, dakle za tocku (x_0,y_0) td. x_0<>y_0 pronaci epsilon (npr. |x_0-y_0|>0),te za svako delta u delta-okolini tocke (x_0,y_0) pronaci tocku (x,y) koja ce biti iz one druge grane definicije funkcije f i to tako da razlika |f(x,y)-f(x_0,y_0)>=epsilon.
ovdje morao razlikovati dva slucaja, x_0-y_0 element od Q, onda odabiremo (x,y) tako da x-y nije element od Q, te obrnuto.
egzistencija takve tocke unutar svake delta-okoline je osigurana time sto je Q^2 gust u R^2.
lakse je ako si te stvari nacrtate i jos detaljnije raspisete ono sto nisam napisao. ako jos ima nejasnoce kad pogledate malo bolje ovo pitajte!
i pripazite na dvije tehnicke stvari (x,y) je uredjeni par, pa on je ili nije element od Q^2, a ne od Q, te x-y moze biti iz Q i kad (x,y) nije iz Q^2, npr za pra (pi, 1+pi).
u tockama (x,x) neprekidnost se stvarno pokazuje tako da prvo primjetis da vrijednost funkcije ne ovisi o tome u kojoj se grani nalazi. formalno to mozes zapisati na dva nacina:
1. po Heineovoj karakterizaciji, lim kad (x,y) ide u (x_0, x_0) od f(x,y) jest f(x_0, x_0)=x_0 (bas koristimo to da bez obzira kako se priblizavali tocki (x_0, x_0) vrijednost funkcije uvijek teži prema x_0.
2. nacin je da po definiciji kazes da su funkcije g:R^2->R zadana sa g(x,y)=x i h:R^2->R h(x,y)=y neprekidne, pa za zadani epsilon, mozes naci odgovarajuci delta_1 za funckiju g, te delta_2 za funkciju h, te se onda lako vidi da je delta=min{delta_1, delta_2} dobar za dokazivanje neprekidnosti funckije f u toj tocki.
no to ne znaci da mozemo zakljuciti da u ostalim tockama imamo prekid. mozda je najjednostavnije za te ostale tocke dokazati negaciju definicije neprekidnost, dakle za tocku (x_0,y_0) td. x_0<>y_0 pronaci epsilon (npr. |x_0-y_0|>0),te za svako delta u delta-okolini tocke (x_0,y_0) pronaci tocku (x,y) koja ce biti iz one druge grane definicije funkcije f i to tako da razlika |f(x,y)-f(x_0,y_0)>=epsilon.
ovdje morao razlikovati dva slucaja, x_0-y_0 element od Q, onda odabiremo (x,y) tako da x-y nije element od Q, te obrnuto.
egzistencija takve tocke unutar svake delta-okoline je osigurana time sto je Q^2 gust u R^2.
lakse je ako si te stvari nacrtate i jos detaljnije raspisete ono sto nisam napisao. ako jos ima nejasnoce kad pogledate malo bolje ovo pitajte!
i pripazite na dvije tehnicke stvari (x,y) je uredjeni par, pa on je ili nije element od Q^2, a ne od Q, te x-y moze biti iz Q i kad (x,y) nije iz Q^2, npr za pra (pi, 1+pi).
_________________  |
