Zadaci za vježbu - Linearni operatori (informacija)

[Ilja]

U prilogu možete naći zadatke za vježbu iz gradiva točke 1.2 - Linearni operatori. To su neobavezni zadaci namijenjeni za ponavljanje linearne algebre. U uputi zadatka 2 u papirima koje sam danas podijelio na vježbama (gupa A-M) postoji greška: umjesto treba pisati .

[alen]

Rješenja zadataka 1-5. Pusa

Jedino vjerujem da se u 3. može neki lakše provjerljiv uvjet postavit na A i nisam pokazo da je i dovoljan, al to kad razmislim.

U drugom još treba pokazat da je onak definirano preslikavanje linearno.

Kolegica mi je ukazala da bi trebalo objasnit zašt se u 1. zadatku vektori iz baze nakon r-tog preslikaju u 0-vektor. Dakle, to je zato što slike po A od prvih r vektora čine bazu za sliku od A. Kad bi se bar još neki vektor preslikao u linearnu kombinaciju vektora iz baze za sliku od A, onda bi jezgra od A bila najviše dimenzije dimV-r(A)-1, ali to je kontradikcija s teoremom o rangu i defektu pa zaključujemo da takvo preslikavanje ne bi bilo linearno. Ali opet, A mora biti linearno pa se svi ostali vektori nakon r-tog iz baze za V moraju preslikati u 0-vektor (u W).

_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine

[Mad Wilson]

[alen]

Evo za 7.
(a) Ne vrijedi, protuprimjer:
, jednoznačno definiramo operatore njihovim djelovanjem na bazi tako da je . Sada imamo i pa vidimo da su i kolinearni .

Međutim, kada bi postojao takav da je , onda bi bilo , ali i istovremeno što je nemoguće jer je , a obratno . Dakle i nisu kolinearni.

_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine