|
La latinskom se zove [i]Pons Asinorum[/i]. To je propozicija 5 iz I. knjige Euklidovih "Elemenata" (djelomicno se podudara s teoremom 2.5 iz [url=http://web.math.hr/nastava/eg/EGskripta.pdf]skripte[/url]). Evo kako glasi:
[i]U jednakokračnim trokutima kutovi uz osnovicu međusobno su jednaki i ako jednake dužine produžimo, kutovi ispod osnovice bit će međusobno jednaki.[/i]
[img]http://web.math.hr/~krcko/pict/ponsasinorum.gif[/img]
[b]Euklidov dokaz[/b]:
Neka je ABC jednakokračan trokut koji ima stranicu AB jednaku stranici AC i neka se dužine BD, CE produže u dužini s AB, AC.
Tvrdim da je kut ABC jednak kutu ACB, a kut CBD kutu BCE. Neka se naime na BD uzme bilo koja točka F i od veće AE neka se oduzme AG jednaka manjoj AF te neka se povuku dužine FC, GB.
Budući da je dakle AF jednaka AG, a AB jednaka AC, dvije su stranice FA, AC jednake dvjema odgovarajućim stranicama GA, AB i obuhvaćaju zajednički kut, kut FAG.
Stoga je osnovica FC jednaka osnovici GB, a trokut AFC bit će jednak trokutu AGB i ostali će kutovi biti jednaki ostalim odgovarajućim kutovima, oni nasuprot kojima leže jednake stranice - kut ACF kutu ABG, a kut AFC kutu AGB.
Budući da je cijela AF jednaka cijeloj AG, a njihovi su dijelovi AB i AC jednaki, i preostala BF jednaka je preostaloj CG.
A dokazano je da je i FC jednaka GB. Dakle, dvije stranice BF, FC jednake su dvjema odgovarajućim stranicama CG, GB. K tome, kut BFC jednak je kutu CGB, a BC je njihova zajednička osnovica. I trokut BFC stoga će biti jednak trokutu CGB i ostali će kutovi biti jednaki ostalim odgovarajućim kutovima, oni nasuprot kojima leže jednake stranice. Dakle, kut FBC jednak je kutu GCB, a kut BCF kutu CBG.
Budući da je dokazano da je cijeli kut ABG jednak cijelom kutu ACF, a njihovi su dijelovi CBG i BCF jednaki, preostali kut ABC jednak je preostalom kutu ACB, a oni su kutovi uz osnovicu trokuta ABC. A dokazano je i da je kut FBC jednak kutu GCB, i to su kutovi ispod osnovice.
Dakle, u jednakokračnim trokutima kutovi uz osnovicu međusobno
su jednaki i ako produžimo jednake stranice, kutovi ispod osnovice bit će međusobno jednaki. A to je ono što je trebalo dokazati.
Forumasima ostavljam da napisu kakve to veze ima s mostovima i magarcima :donkey: :D
La latinskom se zove Pons Asinorum. To je propozicija 5 iz I. knjige Euklidovih "Elemenata" (djelomicno se podudara s teoremom 2.5 iz skripte). Evo kako glasi:
U jednakokračnim trokutima kutovi uz osnovicu međusobno su jednaki i ako jednake dužine produžimo, kutovi ispod osnovice bit će međusobno jednaki.
Euklidov dokaz:
Neka je ABC jednakokračan trokut koji ima stranicu AB jednaku stranici AC i neka se dužine BD, CE produže u dužini s AB, AC.
Tvrdim da je kut ABC jednak kutu ACB, a kut CBD kutu BCE. Neka se naime na BD uzme bilo koja točka F i od veće AE neka se oduzme AG jednaka manjoj AF te neka se povuku dužine FC, GB.
Budući da je dakle AF jednaka AG, a AB jednaka AC, dvije su stranice FA, AC jednake dvjema odgovarajućim stranicama GA, AB i obuhvaćaju zajednički kut, kut FAG.
Stoga je osnovica FC jednaka osnovici GB, a trokut AFC bit će jednak trokutu AGB i ostali će kutovi biti jednaki ostalim odgovarajućim kutovima, oni nasuprot kojima leže jednake stranice - kut ACF kutu ABG, a kut AFC kutu AGB.
Budući da je cijela AF jednaka cijeloj AG, a njihovi su dijelovi AB i AC jednaki, i preostala BF jednaka je preostaloj CG.
A dokazano je da je i FC jednaka GB. Dakle, dvije stranice BF, FC jednake su dvjema odgovarajućim stranicama CG, GB. K tome, kut BFC jednak je kutu CGB, a BC je njihova zajednička osnovica. I trokut BFC stoga će biti jednak trokutu CGB i ostali će kutovi biti jednaki ostalim odgovarajućim kutovima, oni nasuprot kojima leže jednake stranice. Dakle, kut FBC jednak je kutu GCB, a kut BCF kutu CBG.
Budući da je dokazano da je cijeli kut ABG jednak cijelom kutu ACF, a njihovi su dijelovi CBG i BCF jednaki, preostali kut ABC jednak je preostalom kutu ACB, a oni su kutovi uz osnovicu trokuta ABC. A dokazano je i da je kut FBC jednak kutu GCB, i to su kutovi ispod osnovice.
Dakle, u jednakokračnim trokutima kutovi uz osnovicu međusobno
su jednaki i ako produžimo jednake stranice, kutovi ispod osnovice bit će međusobno jednaki. A to je ono što je trebalo dokazati.
Forumasima ostavljam da napisu kakve to veze ima s mostovima i magarcima  
_________________
Vedran Krcadinac
Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.
|
