Jednakostranican trokut (zadatak)

[mini-matematicar]

PLIZZZZZ, help, po mogucnosti koristeci samo Euklidove propozicije:

Neka je dan trokut ABC, te neka su M i N polovista stranica BC i AC
Dokazite da je ABC jednakokracan ako je duzina AM kongruentna duzini BN

THANKS!
Toni b.

[Luuka]

Evo ovako:
Prati sliku da vidiš...

Da bi ABC bio jednakokračan moramo dokazati da su AMB i BNA sukladni. Imamo 2 stranice koje su im iste (AB i BN&AM) pa želimo da onak kut među njima bude isti u oba trokuta. NM je srednjica pa je duljine AB/2 (sličnost trokuta to garantira).
E sad, ADB i NMD su slični (stranice paralelne i kut), a koeficijent sličnosti je 1/2 (jer je MN:AB=1:2) Pa je sad prema tome DM:AD=DN:DB=1:2. Sad napišemo AD=AM-DM, i DB=BN-DN=AM-DN (iz uvjeta zadatka). Iz tog se sad dobije DN=DM (raspisom pa izjednačavanjem). Zaključak: NDM je jednakokračan, pa je i ADB jednakokračan (jer su slični) pa su ona 2 kuta uz osnovicu jednaka, što smo i htjeli. ( Sad je AN=BM -> AC=BC )

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy