Determinanta n-tog retka, zad. sa vjezbi-2006. (zadatak)

[13_mac]

A = (aij) element Mn(F), aii = n, inace 1. Izracunaj determinantu. (drugim rijecima, n je na dijagonali matrice, svaki ostali element je 1.
Rjesava se u par koracica. Treba mi samo rjesenje jer sam ja rjesio taj zad vec! Samo me muci uvjet tamo neki...

_________________
Đante tanda fandiga?

[Gost]

Općenito: ako determinanta n-tog reda na dijagonali ima a, dok je na svim ostalim mjestima b, rezultat je

(a-b)^(n-1) * (a + (n-1)b).

[13_mac]

Da, i ja sam dobio rjesenje (2n-1)*(n-1)^(n-1), ali se problem javlja sta se dogadja kada je n = 1, tj. za tvoju opcenitu formulu a = b; za matricu retka n = 1....
dobiva se izraz 1*(0)^0 za tocno ovaj zadatak, sto je nedefinirano
ili za opcenito se dobiva, (0^0)*a

A rjesenje za matricu retka 1 je u mom primjeru 1, ili opcenito a!

Help!

_________________
Đante tanda fandiga?

[Gost]

U čemu je problem?
Za n=1, matrica je (a) i determinanta je a, što je točno u skladu s formulom ( n-1 =0, a^0 = 1), a iznimku a=0 ne moramo "strpati" pod istu formulu ako baš nećemo, ali i tada je rezultat 0.

[ma]

[13_mac]

Ako je tako, onda sve 5. Btw, jel moze podsjetnik zasto 0^0 = 1??
Ide preko nekih limesa tamo, jel?

_________________
Đante tanda fandiga?

[13_mac]

@@Novi problem@@

Dn=(aij) element Mn(F);

aij = a, za i=j
aij = x, za i<j
aij = y, za i>y

Rjesenje je: Dn=[y*(a-x)^n - x*(a-y)^n]/(y-x)

Par pitanja u vezi ovog zad.(i njemu slicnih):

1)Da li mogu mnozit neki red(stupac) sa x ili y ili a (ili nekom nepoznanicom) bez postavljanja ikakvih uvjeta(ala, x,y,a != 0)-mislim da mogu, molim potvrdu

2)Gledam rjesenje, ovo gore zapisano, i pitam se da li je to kraj zadatka ili trebam jos kako se ponasa rjesenje kada je:

(**slucajevi**)

2.1)ispitati x-y = 0
2.1)ispitati a-x = 0 i a-y != 0
2.2)ispitati a-y = 0 i a-x != 0
2.3)ispitati a-x = 0 i a-y = 0, tj. a=x=y

Edit(12.12.07"): Stavljen minus u rjesenju.

_________________
Đante tanda fandiga?

[Gost]

Kao prvo, rješenje nije sasvim dobro napisano, zbog jednog predznaka u brojniku. Treba biti:
Dn=[y*(a-x)^n - x*(a-y)^n]/(y-x).

OK, to je lapsus.

Očito se rješenje ne može napisati na ovaj način kada je x=y, zbog dijeljenja s 0,
ali u biti vrijedi kad se prvo brojnik podijeli s nazivnikom, kao polinomi.
No, u tom slučaju je znatno lakše rješenje - to je onaj zadatak koji se prije razmatrao i nije ni potrebno ovako zapisivati.
Dakle, zapisana racionalna funkcija u varijablama x i y nije isto što i polinom u x,y dobiven nakon dijeljenja pa se rješenje ne može tako zapisati za bilo koje x i y. Ali, ovdje i nije poanta u tome.

Slučajevi kada je a=x ili a=y, ali x različito od y, ne stvaraju nikakav problem i ne moraju se posebno diskutirati, ali i tada rješenje ima znatno jednostavniji zapis.

Što se tiče množenja retka ili stupca nekom "nepoznanicom", to se može bez postavljanja uvjeta jer znamo da se determinanta pomnoži tada npr. s tim x, po poznatom pravilu, a onda će nova determinanta naravno biti jednaka 0 u slučaju da x poprimi vrijednost 0.