| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
The Lord of Murder
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3562)16
Spol: 
Lokacija: /sbin/init
|
 Postano: 11:56 pet, 28. 11. 2003 Naslov: Re: Konstrukcija bijekcije iz IN u Q |
    |
|
|
[quote="The Lord of Murder"]Nedavno smo radili ekvipotentnost skupova.
Može li mi netko konstruirati bijekciju iz skupa prirodnih brojeva u skup racionalnih i cijelih brojeva?[/quote]
Za Z (cijeli brojevi):
f(2n)=n
f(2n+1)=-n
Tj. parne brojeve podijelis sa dva, a neparnima oduzmes 1, podijelis sa 2 i stavis negativni predznak. :) Ocito ces tako "pokupiti" sve cijele brojeve i to tocno jednom svakog. 8) Za kucni uradak (alias [i]domacu zadacu[/i] ;)) mozes pokusati dokazati da je f(n) bijekcija. :)
Za Q cemo opisno. Raspises Q+ (strogo pozitivni racionalni brojevi) na slijedeci nacin:
[code:1]1/1 1/2 1/3 1/4 ...
2/1 2/2 2/3 2/4 ...
3/1 3/2 3/3 3/4 ...
...[/code:1]
Tj, na mjestu (i,j) se nalazi razlomak i/j. Ocito ces pokupiti sve moguce razlomke, i to cak i vise puta (npr. i/j, 2i/2j,... ki/kj,...). Sada pridruzujes:
[code:1] 1->1/1
2->1/2, 3->2/1,
4->1/3, 5->2/2, 6->3/1,
7->1/4, 8->2/3, 9->3/2, 10->4/1,
11->1/5,12->2/4,...[/code:1]
Dakle, pridruzujes "po redu", po pomocnim "dijagonalama". Opet je solidno ocito da ces "pokupiti" cijelu tablicu, no ovaj put to nije bijekcija (npr. 2 se preslikava u 1/2 isto kao i 12). No, funkcija je surjekcija (jer "pokupi" sve).
To znaci da Q ima "manje ili jednako" elemenata kao N. Stavljam navodnike jer tu ipak usporedjujemo beskonacnosti, a ne obicne brojeve i to treba imati na umu.
Obratno, ako svakom pozitivnom razlomku m/n pridruzis [m/n+1] (najvece cijelo od m/n+1) "pokupit" ces sve prirodne brojeve. Dakle, g(q)=[q] (g: Q->N) je surjekcija sa Q na N. To znaci da N ima "manje ili jednako" elemenata kao Q. 8)
Zakljucak: ti skupovi su ekvipotentni. 8)
Prosirenje sa Q+ na cijeli Q ide slicno kao sa N na Z, pa onda imas bijekcije N->Q+->Q. Kompozicija bijekcija je bijekcija, pa imas i bijekciju N->Q. 8)
Jasno, dosta su surjekcije u oba smjera ili injekcije u oba smjera (ali ne mijesano!). Ovo o "manje ili vise elemenata" je samo objasnjenje sto ti pojmovi konkretno znace... 8)
[quote="The Lord of Murder"]Možete li mi malo rasvijetliti te stvari...mislim,ta bijekcija koju mi zahtjevamo da je ostvariva između dva skupa nam je zapravo alat kojim ćemo osigurati da u oba skupa imamo jednak broj elemenata?[/quote]
Recimo. Dakle, ako je dana bijekcija f:X->Y, to znaci:[list=1][*]x<>y => f(x)<>f(y) (injekcija) :arrow: Y (ocito) ima barem onoliko elemenata kao X (jer da ima manje, onda bi bar dva elementa iz X morali biti preslikani u isti element iz Y)
[*] za svaki y iz Y postoji x takav da je f(x)=y (surjekcija) :arrow: Drugim rijecima, svaki element iz Y ima svog "prijatelja" u X, tj. elemenata u X ima barem onoliko koliko elemenata u Y (jer se ni jedan x ne moze preslikati u vise y-ova) 8)[/list:o]
Bijekcije se jos zovu "1-1 preslikavanje"... Nadam se da je sad jasnije zasto... :)
[quote="The Lord of Murder"]Ne mogu reći da me nije zbunila rečenica profesora Šikića:BESKONAČNA PREBROJIVOST?
Ono,skup prirodnih brojeva je prebrojiv,ali smo prelijeni( :lol: ) da brojimo,dajte me prosvijetlite :wink:[/quote]
Da, to je malo zbunjujuci pojam. Nije rijec o tome da ih sve prebrojis, nego da li postoji raspored (uredjaj) tih brojeva takav da mozes brojati do svakog od njih. 8)
Konkretno, ako ti ja kazem neki prirodni broj n, ti mozes brojati od 1 to n. 8) Slicno je sa rac. brojevima, ako ih nekako poredas (recimo, kao u gornjoj bijekciji). Jasno, uobicajeni uredjaj kod racionalnih brojeva nije dobar (jer izmedju svaka dva imas beskonacno mnogo drugih). :|
No, nema nacina da poredas SVE realne brojeve tako da mozes brojati do svakog od njih... :?
Nadam se da je sada donekle jasnije... 8)
P.S. Bas bi se mogao i registrirati... 8) ;)
| The Lord of Murder (napisa): | Nedavno smo radili ekvipotentnost skupova.
Može li mi netko konstruirati bijekciju iz skupa prirodnih brojeva u skup racionalnih i cijelih brojeva? |
Za Z (cijeli brojevi):
f(2n)=n
f(2n+1)=-n
Tj. parne brojeve podijelis sa dva, a neparnima oduzmes 1, podijelis sa 2 i stavis negativni predznak.  Ocito ces tako "pokupiti" sve cijele brojeve i to tocno jednom svakog.  Za kucni uradak (alias domacu zadacu  ) mozes pokusati dokazati da je f(n) bijekcija.
Za Q cemo opisno. Raspises Q+ (strogo pozitivni racionalni brojevi) na slijedeci nacin:
| Kod: | 1/1 1/2 1/3 1/4 ...
2/1 2/2 2/3 2/4 ...
3/1 3/2 3/3 3/4 ...
... |
Tj, na mjestu (i,j) se nalazi razlomak i/j. Ocito ces pokupiti sve moguce razlomke, i to cak i vise puta (npr. i/j, 2i/2j,... ki/kj,...). Sada pridruzujes:
| Kod: | 1->1/1
2->1/2, 3->2/1,
4->1/3, 5->2/2, 6->3/1,
7->1/4, 8->2/3, 9->3/2, 10->4/1,
11->1/5,12->2/4,... |
Dakle, pridruzujes "po redu", po pomocnim "dijagonalama". Opet je solidno ocito da ces "pokupiti" cijelu tablicu, no ovaj put to nije bijekcija (npr. 2 se preslikava u 1/2 isto kao i 12). No, funkcija je surjekcija (jer "pokupi" sve).
To znaci da Q ima "manje ili jednako" elemenata kao N. Stavljam navodnike jer tu ipak usporedjujemo beskonacnosti, a ne obicne brojeve i to treba imati na umu.
Obratno, ako svakom pozitivnom razlomku m/n pridruzis [m/n+1] (najvece cijelo od m/n+1) "pokupit" ces sve prirodne brojeve. Dakle, g(q)=[q] (g: Q→N) je surjekcija sa Q na N. To znaci da N ima "manje ili jednako" elemenata kao Q.
Zakljucak: ti skupovi su ekvipotentni.
Prosirenje sa Q+ na cijeli Q ide slicno kao sa N na Z, pa onda imas bijekcije N→Q+→Q. Kompozicija bijekcija je bijekcija, pa imas i bijekciju N→Q.
Jasno, dosta su surjekcije u oba smjera ili injekcije u oba smjera (ali ne mijesano!). Ovo o "manje ili vise elemenata" je samo objasnjenje sto ti pojmovi konkretno znace...
| The Lord of Murder (napisa): | | Možete li mi malo rasvijetliti te stvari...mislim,ta bijekcija koju mi zahtjevamo da je ostvariva između dva skupa nam je zapravo alat kojim ćemo osigurati da u oba skupa imamo jednak broj elemenata? |
Recimo. Dakle, ako je dana bijekcija f:X→Y, to znaci:- x<>y ⇒ f(x)<>f(y) (injekcija)
 Y (ocito) ima barem onoliko elemenata kao X (jer da ima manje, onda bi bar dva elementa iz X morali biti preslikani u isti element iz Y)
- za svaki y iz Y postoji x takav da je f(x)=y (surjekcija) Drugim rijecima, svaki element iz Y ima svog "prijatelja" u X, tj. elemenata u X ima barem onoliko koliko elemenata u Y (jer se ni jedan x ne moze preslikati u vise y-ova)
Bijekcije se jos zovu "1-1 preslikavanje"... Nadam se da je sad jasnije zasto...
| The Lord of Murder (napisa): | Ne mogu reći da me nije zbunila rečenica profesora Šikića:BESKONAČNA PREBROJIVOST?
Ono,skup prirodnih brojeva je prebrojiv,ali smo prelijeni(  ) da brojimo,dajte me prosvijetlite |
Da, to je malo zbunjujuci pojam. Nije rijec o tome da ih sve prebrojis, nego da li postoji raspored (uredjaj) tih brojeva takav da mozes brojati do svakog od njih.
Konkretno, ako ti ja kazem neki prirodni broj n, ti mozes brojati od 1 to n. Slicno je sa rac. brojevima, ako ih nekako poredas (recimo, kao u gornjoj bijekciji). Jasno, uobicajeni uredjaj kod racionalnih brojeva nije dobar (jer izmedju svaka dva imas beskonacno mnogo drugih). 
No, nema nacina da poredas SVE realne brojeve tako da mozes brojati do svakog od njih... 
Nadam se da je sada donekle jasnije...
P.S. Bas bi se mogao i registrirati...
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.  |
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 15:13 sub, 29. 11. 2003 Naslov: |
|
|
|
Hvala na respawn-u,imam par pitanja,naravno:
1.možeš li mi reći koji je broj ''pogodio'' nulu jer je ona u skupu cijelih brojeva?
2.Dakle ja sam kreirao dvije funkcije,dakle smijem to napraviti?Mislim u definiciji piše da su skupovi ekvipotentni ako postoji funkcija koja je bijekcija,a ja ovdje imam dvije funkcije bijekcije.Možda će ti se pitanje činiti glupim ali Šikić kaže da moramo iz teorema ''čupati'' samo ono što piše.
3.Jesu li ova dva opća zapisa neparnog broja ekvivalentna:
2n-1
2n+1
pitam zato jer za n=1,donji zapis ''preskače'' jedinicu pa nemam sve neparne.
Hvala na respawn-u,imam par pitanja,naravno:
1.možeš li mi reći koji je broj ''pogodio'' nulu jer je ona u skupu cijelih brojeva?
2.Dakle ja sam kreirao dvije funkcije,dakle smijem to napraviti?Mislim u definiciji piše da su skupovi ekvipotentni ako postoji funkcija koja je bijekcija,a ja ovdje imam dvije funkcije bijekcije.Možda će ti se pitanje činiti glupim ali Šikić kaže da moramo iz teorema ''čupati'' samo ono što piše.
3.Jesu li ova dva opća zapisa neparnog broja ekvivalentna:
2n-1
2n+1
pitam zato jer za n=1,donji zapis ''preskače'' jedinicu pa nemam sve neparne.
|
|
| [Vrh] |
|
The Lord of Murder
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3562)16
Spol:
Lokacija: /sbin/init
|
| Postano: 19:25 sub, 29. 11. 2003 Naslov: |
|
|
|
[quote="The Lord of Murder"]zaboravih se potpisat…ovaj,budem se registir'o čim provider počne normalno funkcionirat,reže me nakon 30 sekundi s neta…[/quote]
:shock: Cudan neki provider... :?
[quote="The Lord of Murder"]1.možeš li mi reći koji je broj ''pogodio'' nulu jer je ona u skupu cijelih brojeva?[/quote]
Ponekad se za N racuna {1,2,3,...}, a ponekad {0,1,2,3,...}. U osnovi, za ovo sto tebi treba je svejedno jer su i ti skupovi bijektivni:
f:{1,2,3,...}->{0,1,2,3,...}
f(n)=n-1 je bijekcija!
Dakle, ako zelis N={1,2,3,...} onda mozes definirati:
f(2n-1)=-n
f(2n)=n-1
8)
[quote="The Lord of Murder"]2.Dakle ja sam kreirao dvije funkcije,dakle smijem to napraviti?Mislim u definiciji piše da su skupovi ekvipotentni ako postoji funkcija koja je bijekcija,a ja ovdje imam dvije funkcije bijekcije.Možda će ti se pitanje činiti glupim ali Šikić kaže da moramo iz teorema ''čupati'' samo ono što piše.[/quote]
Kompozicija bijekcija je opet bijekcija. 8) To se trivijalno dokaze (pokusaj samostalno).
Ja sam definirao dvije bijekcije i rekao da je moja funkcija njihova kompozicija. Dakle, definirao sam bijekciju, ne? ;)
[quote="The Lord of Murder"]3.Jesu li ova dva opća zapisa neparnog broja ekvivalentna:
2n-1
2n+1
pitam zato jer za n=1,donji zapis ''preskače'' jedinicu pa nemam sve neparne.[/quote]
Pa, ako promijenis domenu od n, onda jesu:
2n-1, n iz {1,2,3,...} je ekvivalentno 2n+1, n iz {0,1,2,3,...} :D
Dapace, to je isto sto i, ne znam, sqrt(n), n iz {1,9,25,49,...} :shock: Nikada nije samo pravilo pridruzivanja bitno! Postoji razlog zasto se funkcija definira preko [u]domene[/u], [u]kodomene[/u] [size=18][u][b]i[/b][/u][/size] [u]pravila pridruzivanja[/u]... :)
| The Lord of Murder (napisa): | | zaboravih se potpisat…ovaj,budem se registir'o čim provider počne normalno funkcionirat,reže me nakon 30 sekundi s neta… |
 Cudan neki provider...
| The Lord of Murder (napisa): | | 1.možeš li mi reći koji je broj ''pogodio'' nulu jer je ona u skupu cijelih brojeva? |
Ponekad se za N racuna {1,2,3,...}, a ponekad {0,1,2,3,...}. U osnovi, za ovo sto tebi treba je svejedno jer su i ti skupovi bijektivni:
f:{1,2,3,...}→{0,1,2,3,...}
f(n)=n-1 je bijekcija!
Dakle, ako zelis N={1,2,3,...} onda mozes definirati:
f(2n-1)=-n
f(2n)=n-1
| The Lord of Murder (napisa): | | 2.Dakle ja sam kreirao dvije funkcije,dakle smijem to napraviti?Mislim u definiciji piše da su skupovi ekvipotentni ako postoji funkcija koja je bijekcija,a ja ovdje imam dvije funkcije bijekcije.Možda će ti se pitanje činiti glupim ali Šikić kaže da moramo iz teorema ''čupati'' samo ono što piše. |
Kompozicija bijekcija je opet bijekcija. To se trivijalno dokaze (pokusaj samostalno).
Ja sam definirao dvije bijekcije i rekao da je moja funkcija njihova kompozicija. Dakle, definirao sam bijekciju, ne?
| The Lord of Murder (napisa): | 3.Jesu li ova dva opća zapisa neparnog broja ekvivalentna:
2n-1
2n+1
pitam zato jer za n=1,donji zapis ''preskače'' jedinicu pa nemam sve neparne. |
Pa, ako promijenis domenu od n, onda jesu:
2n-1, n iz {1,2,3,...} je ekvivalentno 2n+1, n iz {0,1,2,3,...} 
Dapace, to je isto sto i, ne znam, sqrt(n), n iz {1,9,25,49,...} Nikada nije samo pravilo pridruzivanja bitno! Postoji razlog zasto se funkcija definira preko domene, kodomene i pravila pridruzivanja...
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju. |
|
| [Vrh] |
|
The Lord of Murder
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 12. 2003. (08:34:25)
Postovi: (2)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
