Par pitanja iz predavanja (objasnjenje gradiva)

[kristina]

Ovak, imam par pitanja iz gradiva za usmeni:

1. Što su cijele funkcije (može neki primjer ili tako nešto da lakše skužim )

2. Što su analitičke funkcije?

3. Jordanov rastav na poluprosti i nilpotentni dio operatora
Ovdje me zanima što je to uopće, kak glasi taj tm? Nigdje u knjizi ne piše konkretno taj naziv al sumnjam na ovo:

Jel to ovaj da je A = (direktna suma od 1 do m) (Lambda_k*I_k + N_k)

Što je uopće poluprosti operator?

Hvala!

[MB]

funkcija sa C u C je analiticka u nekoj tocki ako ju mozes razviti u Taylorov red na nekoj okolini te tocke. ono sto je korisno i sto je tebi jedino bitno je da se na kompleksnoj analizi pokaze da je to ekvivalentno uvjetu da je funkcija derivabilna u toj tocki (derivabilnost u z_0 opet definiramo kao limes (f(z)-f(z_0))/(z-z_0) kad z tezi u z_0).

cijela funkcija je ona koja je analiticka u svakoj tocki iz C. postoji teorem koji kaze da je svaka ogranicena cijela funkcija konstanta. ne znam zasto ti to sve skupa treba, ali u vektorskim ti je jedino potrebno promatrati funkcije koje su analiticke na nekoj okolini spektra (pa je mozda zakljucivanje ako je funckija cijela onda je i analiticka negdje oko spektra).
primjeri bi bili eksponencijalna funckije, sinus, kosinus.
1/1-z npr nije cijela jer nije definiranu 1, slicno tangens nije cijela funkcija.

http://en.wikipedia.org/wiki/Semi-simple_operator
nad C je poluprost operator onaj koji se da dijagonalizirati.

_________________

[kristina]

Hvala puno! Ma učim onaj dio s funkcijom operatora i konvergencijom reda i tamo se spominju cijele funkcije, a nigdje ne piše točno što je to. Malo mi je glupo da to samo tak naučim, a da zapravo nemam pojma o čemu se radi.

Zahvaljujem još jednom!

[zoja]

Evo jos jedno pitanje....

Kod Fittingove dekompozicije tvrdimo da postoji k iz N takav da ce se jezgre potencija operatora A stabilizirati, tj.

kerA^k = kerA^k+1 = ... = kerA^s, za sve s>=k,

gdje je A:V ->V linearan operator i V je konacnodimenzionalan vektorski prostor.

Nije mi jasno zasto se, nakon nekog k, jezgre moraju stabilizirati?

[MB]

zato sto ti dimenzija tih jezgara ne moze rasti unedogled, omedjena je sa dimenzijom prostora.

_________________

[Gost]

Ima par pitanja koji hitno trebaju odgovor:

1. meni u biljeynici pise da je fitingova dekompozicija:

vektorki prostor V moze napisati kao direktna uma jezgre i slike
operatora A na k-tu potenciju

2. teorem o dijagonalizaciji normalnog operatora nad C

mi smo pokazali:

Ker(N-aI)+Ker(N-aI)^T=V (ova druga suma predstavlja otrotogonalni komplement)

Ker(N-aI) je N invarijantan ==> ortog. komplement je N* invarijantan
Ker(N-aI) je N* invarijantan ==> ortog. komplement je N invarijantan

Tada smo zakljucili da je N restringirano po jezgri normalan operator.

Ono sto meni nije jasno je : kako smo zakljucili da se N moze dijagonalizirati

3. polarna forma operatora

Nije ni samo jasno zadnji korak u dokazu egzistencije

Zasto ste U1 napiasli kao ortogonalnu sumu operatora U1' i U1".
yamolio bih vas ako bi te mi mogli to yadnje i dokayati.