Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Realcije-zadatak
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Teorija skupova
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
toni
Gost
PostPostano: 20:59 pet, 25. 4. 2008    Naslov: Realcije-zadatak Citirajte i odgovorite
Kako se rjesava zadatak 10 iz skripte,pretp. da je I=R, uzmemo neki (x,z) iz RQ,sto znaci da postoji neki y iz A takav da vrijedi (x,y) iz Q i (y,z) iz R sto povlaci da je y=z i kako sad zakljucit da je (x,z) iz QR? Ili se dokazuje nekako drugacije
Kako se rjesava zadatak 10 iz skripte,pretp. da je I=R, uzmemo neki (x,z) iz RQ,sto znaci da postoji neki y iz A takav da vrijedi (x,y) iz Q i (y,z) iz R sto povlaci da je y=z i kako sad zakljucit da je (x,z) iz QR? Ili se dokazuje nekako drugacije


[Vrh]
Melkor
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 10. 2004. (18:48:00)
Postovi: (291)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
140 = 152 - 12
Lokacija: Void
PostPostano: 23:12 pet, 25. 4. 2008    Naslov: Re: Realcije-zadatak Citirajte i odgovorite
[quote="toni"]kako sad zakljucit da je (x,z) iz QR?[/quote]
Pa za [latex]x\in A[/latex] ti vrijedi da je [latex](x,x)\in R[/latex] i [latex](x,z)=(x,y)\in Q[/latex]. Po definiciji kompozicije je zato [latex](x,z)\in QR[/latex].

Drugi smjer je jasan?
toni (napisa):
kako sad zakljucit da je (x,z) iz QR?

Pa za ti vrijedi da je i . Po definiciji kompozicije je zato .

Drugi smjer je jasan?



_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Gost
PostPostano: 21:58 sub, 26. 4. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite
Pa i nije bas...
I sto predstavlja [x] u rjesenju zadatka 20
Hvala
Pa i nije bas...
I sto predstavlja [x] u rjesenju zadatka 20
Hvala


[Vrh]
Melkor
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 10. 2004. (18:48:00)
Postovi: (291)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
140 = 152 - 12
Lokacija: Void
PostPostano: 12:14 ned, 27. 4. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite
Drugi smjer: Pretpostavimo [latex](\forall Q\subseteq A\times A)(RQ=QR=Q)[/latex]. Tad specijalno za [latex]Q=I_A[/latex] vrijedi [latex]RI_A=I_AR=I_A[/latex]. S druge strane, pokazali smo da [latex]I_A[/latex] ima svojstvo da je [latex]RI_A=I_AR=R[/latex]. Zaključujemo da je [latex]R=I_A[/latex].

[latex][x][/latex] označava [i]najveće cijelo[/i], tj. [i]pod[/i] od [latex]x[/latex]. To je najveći cijeli broj koji je manji ili jednak [latex]x[/latex]. Češća oznaka za istu stvar je [latex]\lfloor x\rfloor[/latex].
Drugi smjer: Pretpostavimo . Tad specijalno za vrijedi . S druge strane, pokazali smo da ima svojstvo da je . Zaključujemo da je .

označava najveće cijelo, tj. pod od . To je najveći cijeli broj koji je manji ili jednak . Češća oznaka za istu stvar je .



_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
ira
Gost
PostPostano: 15:38 pon, 28. 4. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite
Nije vezano za relaciju ali da ne otvaram novu temu...
Kako dokazati da je kardinalnost skupa svih konacnih podskupova od R jednaka c.Znam kako dokazati da je kardinalnost veca ili jednaka c,ali ne znam kako za ovaj drugi smjer
Nije vezano za relaciju ali da ne otvaram novu temu...
Kako dokazati da je kardinalnost skupa svih konacnih podskupova od R jednaka c.Znam kako dokazati da je kardinalnost veca ili jednaka c,ali ne znam kako za ovaj drugi smjer


[Vrh]
Melkor
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 10. 2004. (18:48:00)
Postovi: (291)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
140 = 152 - 12
Lokacija: Void
PostPostano: 0:43 uto, 29. 4. 2008    Naslov: Citirajte i odgovorite
@ira:

Prvo lema koja je i inače korisna: [i]Prebrojiva unija (u parovima disjunktnih) skupova kardinalnosti c ima kardinalnost c.[/i]

Dokaz: Neka je [latex]\{A_n\ |\ n\in\mathbb{N}\}[/latex] familija skupova pri čemu je [latex]A_n\sim\mathbb{R}[/latex] i [latex]i\neq j\Rightarrow A_i\cap A_j=\varnothing[/latex].

Iskorištavanjem aksioma izbora možemo izabrati bijekcije [latex]f_n\colon A_n\to \left[0,1\right>[/latex]. (Budući da je svaki [latex]A_n[/latex] ekvipotentan s [latex]\mathbb{R}[/latex], ekvipotentan je i s [latex]\left[0,1\right>[/latex].)

Zbog disjunktnosti skupova u parovima, za svaki [latex]x\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n[/latex] postoji jedinstveni [latex]n_x\in\mathbb{N}[/latex] takav da je [latex]x\in A_{n_x}[/latex].

Definiramo funkciju [latex]f\colon\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n\to\mathbb{R}[/latex] na sljedeći način:

[latex]\displaystyle f(x):=
\begin{cases}
n_x/2 + f_{n_x}(x) & n_x\text{ je paran} \\
-(n_x+1)/2 + f_{n_x}(x) & n_x\text{ je neparan}
\end{cases}[/latex]

Definirana funkcija je bijekcija. (Inverzna funkcija se može napisati eksplicitno -- ostavljam za probu.) Pretpostavke disjunktnosti skupova u parovima se možemo riješiti na isti način kao u dokazu jedne od propozicija s predavanja kad se dokazuje prebrojivost prebrojive unije prebrojivih skupova.

E sad, dokažimo da je c kardinalnost skupa [latex]S=\{A\subseteq\mathbb{R}\ |\ A\text{ kona\v{c}an }\}[/latex].

Naime, konstruiramo injekciju: [latex]\{a_1,\ldots,a_n\}\mapsto (a_1,\ldots,a_n)[/latex] pri čemu elemente poredamo, primjerice, uzlazno s obzirom na standardan uređaj na [latex]\mathbb{R}[/latex]. Prazan skup je isto konačan podskup od [latex]\mathbb{R}[/latex] -- njega preslikamo npr. u [latex]i[/latex] da ne pravi probleme.

To je injekcija [latex]S\to\bigcup_{n\in\mathbb{N}\backslash\{0\}}\mathbb{R}^n\cup\{i\}[/latex]. Budući da je svaki [latex]\mathbb{R}^n[/latex] ekvipotentan s [latex]\mathbb{R}[/latex] ([latex]\mathbb{R}^2[/latex] ekvipotentan s [latex]\mathbb{R}[/latex] u skripti, dalje indukcijom), imamo situaciju iz leme. Ta unija je ekvipotentna s [latex]\mathbb{R}[/latex]. (Naravno, ovaj [latex]i[/latex] ništa posebno ne mijenja, to je tehnička stvar da riješimo slučaj praznog skupa.)

Stoga je [latex]k(S)\leqslant k(\mathbb{R})[/latex].
@ira:

Prvo lema koja je i inače korisna: Prebrojiva unija (u parovima disjunktnih) skupova kardinalnosti c ima kardinalnost c.

Dokaz: Neka je familija skupova pri čemu je i .

Iskorištavanjem aksioma izbora možemo izabrati bijekcije . (Budući da je svaki ekvipotentan s , ekvipotentan je i s .)

Zbog disjunktnosti skupova u parovima, za svaki postoji jedinstveni takav da je .

Definiramo funkciju na sljedeći način:



Definirana funkcija je bijekcija. (Inverzna funkcija se može napisati eksplicitno – ostavljam za probu.) Pretpostavke disjunktnosti skupova u parovima se možemo riješiti na isti način kao u dokazu jedne od propozicija s predavanja kad se dokazuje prebrojivost prebrojive unije prebrojivih skupova.

E sad, dokažimo da je c kardinalnost skupa .

Naime, konstruiramo injekciju: pri čemu elemente poredamo, primjerice, uzlazno s obzirom na standardan uređaj na . Prazan skup je isto konačan podskup od – njega preslikamo npr. u da ne pravi probleme.

To je injekcija . Budući da je svaki ekvipotentan s ( ekvipotentan s u skripti, dalje indukcijom), imamo situaciju iz leme. Ta unija je ekvipotentna s . (Naravno, ovaj ništa posebno ne mijenja, to je tehnička stvar da riješimo slučaj praznog skupa.)

Stoga je .



_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Teorija skupova Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan