zadatak iz skripte

[rush]

Zadatak 20 iz grupa. Neka je G grupa i neka su A,B<=G podgrupe. Dokazi da vrijedi ekvivalencija: Kompleks AB je podgrupa od G akko imamo AB=BA.
Molim dobru dusu da mi pomogne.

[Gost]

Za podgrupe vrijedi A^(-1) = A, A A^(-1) = A.

Kriterij za podgrupu: H H^(-1) sadržano u H.

Sad (AB)(AB)^(-1) = AB B^(-1) A^(-1) = ABA.
Ako vrijedi AB = BA, onda je ABA = AAB = AB pa je AB podgrupa.

Ako je AB podgrupa, onda je ABA sadržano u AB pa tada očito i
BA sadržano u AB. Lako se dobije i obrnuta inkluzija.

[rush]

hvala

[rafaelm]

Ovako ide: grupa, . Treba dokazati
Ja sam uspio dokazati samo , pa ako može mala pomoć...

_________________
Rafael Mrđen

[Gost]

Dakle, zapravo preostaje provjeriti da ako je x iz <A> i g iz N_G(A), onda je i g x g^(-1) takodjer iz <A>. No, x je oblika umnoška nekoliko elemenata iz A ili inverznih elemenata elemenata iz A. "Trik" je u tome da vrijedi
g (a1 a2) g^(-1) = (g a1 g^(-1)) (g a2 g^(-1)), što je opet umnožak elemenata iz A, dakle to je element iz <A>.
To se lako raspiše za opći slučaj, kad umjesto a1 a2 imamo produkt nekoliko elemenata iz A ili njihovih inverza, jer uvijek se između dva faktora umetne neutralni element napisan kao g g^(-1) pa se onda grupira po konjugatima a1 g^(-1), a oni uvijek jesu u A.

[Gost]

U prethodnom postu kod zapisa konjugata zabunom mi je ispao jedan g, dakle treba na kraju glasiti

...g a1 g^(-1), a oni uvijek jesu u A.

[desire]

Da ne otvaram novu temu... Imam pitanje u vezi zadatka sa vježbi.

Treba odrediti grupu automorfizama cikličke grupe Z15. Ja baš i ne kužim kako smo mi to odedili pa ako bi mi netko mogao malo pojasniti.

Hvala

_________________

[Luuka]

Z15 je ciklička i konačna. Z15 = <1>

Tražimo sve automorfizme, dakle homomorfizme sa Z15 u Z15 koji su bijekcije.

sad, pošto je f homo onda f(a^k)=f (a*a*...*a) =x*x*...*x =x^k=xk (modulo 15)

gledamo sve takve homomorf, očito ih ima 15 (jer 1 može otić u 0,1,2,...,14), pa neka je fi(1)=i za i=0,1,...,14

Želimo da ta fja bude bijekcija, a dovoljno nam je da bude injekcija jer je Z15 konačan pa je to ekvivalentno. nadalje f inj <=>Kerf=0.

Pa gledamo sve f-ove koji imaju trivijalnu jezgru. Želimo da fi(x)=0<=>x=0.

f(1^k)=f(1)^k=i^k (uz onaj modulo 15), i to izjednačimo s 0, dakle, ik dijeljeno 15=0. -> 15 |ik.

Mi želimo da to ne vrijedi pa inj<=> 15 ne| ik , k=0,1,2,...,14.
Dakle 15 ne| {i,2i,3i,...,14i} , a to vrijedi ako 15 i i nemaju zajedničkog višekratnika, tj mjera(i,15)=1. Sad tu dobiješ 8 fi-ova i to je to.

Nadam se da je bar malo jasnije....

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[desire]

Puno jasnije. Hvala.

_________________

[sun]

[putanja]

Imam jedno, pomalo glupo pitanje vjerojatno, ali cisto ako se nekome da rspisati... radi se o zadatku 10 iz skripte..
Dakle u nekom trenutku treba dokazat ako je xNx^-1 podskup od N da je N normalna (dakle xNx^-1=N) tj. da je N podskup od od xNx^-1...A kako to?

[rafaelm]

Meni ovako pada napamet:
Definiramo funkciju , koja je očito kompozicija dvije funkcije: množenja s lijeva i s desna, a te su znamo da su bijekcije. Pa je i gornja funkcija surjekcija, tj .

_________________
Rafael Mrđen

[putanja]

Hm da, nebi se tog nikad sjetila..
Ja sam mislila ovako:
znamo da za svaki n1 iz N vrijedi da je x*n1*x^-1 iz N (po pretpostavci) tj. mozemo rec da postoji n2 iz N t.d. x*n1*x^-1=n2, i sad kad zelim za proizvoljni n1 iz N pokazat da je on i u xNx^-1 za svaki x iz G, kazem da iz gornje jednakosti slijedi da n1=x^(-1)*n2*x=x^(-1)*n2*(x^(-1))^(-1), za n2 iz N, a to je iz xNx^-1 ( G je grupa pa sveki element ima inverz)...
jel se to moze tako rec ili je prevelika muljaza?

[rafaelm]

[putanja]

Ma je da, al mene je mucilo to da mozda treba dokazat bas za taj isti x a ne za njegov inverz il nesto proizvoljno..

[woodstock]

možda bedasto pitanje, al ne mogu shvatiti:
u teoremu o dijeljenju s ostatkom za polinome, zašto invertibilnost vodećeg člana povlači da on nije djelitelj nule tj. da
deg(g*(q1-q2))>=deg(g)

hvala

[Luuka]

[woodstock]

aha
gle stvarno
a kak onda treba lijepo to onda sročit? taj dio dokaza?
jer bm invertibilan, nije djelitelj nule pa...što?

[5ra]

jer je bm invertibnilan nije djelitelj nule, pa uz X na m-tu kad se g pomnoži sa nekim polinomom (u ovom slučaju to je q1-q1) neće biti nula. to znači da će taj polinom g*(q1-q2) biti najmanje stupnja m.

_________________
http://www.youtube.com/watch?v=xYVoUEly-jA

[woodstock]

da li za faktorijalni prsten a iz integralne domene ne smije biti invertibilan ili smije?